1、 1柔顺机构拓扑优化设计 * 张宪民 (华南理工大学机械工程学院 广州 510640) 摘要: 首先介绍了柔顺机构拓扑设计的现状,在此基础上进一步讨论了柔顺机构拓扑设计的基础结构法和均匀化方法;对相关的优化模型、材料模型进行了讨论,给出了拓扑结构的提取及过滤算法。最后指出了机构拓扑优化设计的发展动态和应重点研究的内容。 关键词: 柔顺机构 拓扑优化 基础结构 均匀化 过滤 中图分类号 : TH112.1 TH113 0 前言 1 采用拓扑优化设计方法研究柔顺机构的设计只需给定设计域和指定输入输出位置,无 须从一个已知的刚性机构出发,且所得的机构具有优化的力位移输入输出关系,因而引起了人们的重视
2、。目前,在机构的拓扑优化设计方面主要有以下几种方法:均匀化方法 14、基础结构法 59和遗传算法 1011等。其中均匀化方法和在此基础上派生出的密度法适用于连续体结构,基础结构法适用于杆系类离散结构,而遗传算法对于连续体和离散结构均有较好的适用性,其缺点是计算量很大。在实际应用中,人们总是希望柔顺机构一方面具有足够的柔性,以便顺利完成预定的工作,同时又具有足够的刚性以保证其机械效益和工作的稳定性。柔顺机构 的拓扑优化就是在这样一对相互矛盾的目标下进行的。这也是和结构拓扑优化设计的区别所在。 下面着重介绍基础结构法和均匀化方法的研究思路和研究方法,在此基础上进一步介绍拓扑图的提取和过滤技术。最后
3、对目前机构拓扑设计存在的问题和需要进一步开展的工作进行了评述。 1 机构拓扑优化设计的基础结构法 基础结构法是目前机构拓扑优化设计的主流方法之一。基础结构法的思路是首先在给定的设计域中构造杆、梁或框架单元的完备集合,以这些单元的截面面积或描述截面形状的某些参数为设计变量,在设计过程中,通过去除单元完备集中的某些单元而达 到拓扑优化的目的。 1.1 单输入单输出时的拓扑优化设计 如图 1 所示,给定设计域为 W, iP 为驱动输入点,其中驱动力为 F; oP 为机构的位移输出点。 图 1 单输入单输入输出情况 通常采用应变能来表征系统刚度的大小 58,当驱动载荷给定后,系统的应变能越小则表示系统
4、* 纪念机械工程学报创刊 50 周年 “机械工程技术的历史、进展与展望”主题征文。 高等学校优秀青年教师教学科研奖励计划、国家自然科学基金、广东省自然科学基金 (036548)和广东省“千百十”工程优秀人才基金资助项目。 2的刚度越大。在载荷 F 作用下,系统的应变能为 =OkUUuDu TTs 21d)()(21 WeeE (1) 式中 )(ue 在载荷 F 作用下的应 变 u 设计域内任意一点在载荷 F 作用下的弹性变形 D 弹性矩阵 U 载荷 F 作用下的节点位移矢量 k 系统刚度矩阵 位移矢量 U 可应用有限元方法求出 FkU = (2) 系统的柔性可采用互应变能 59进行表征,互应变
5、能越大则表示系统的柔性越大。 为此,假设在oP 点沿着输出位移 od 方向作用有一虚拟的单位载荷 dF ,则互应变能为 =WWee kUUuDu TdTdms 21d)()(21E (3) 式中 )( due 在载荷 Fd 作用下的应变 du 设计域内任意一点在载荷 Fd 作用下的弹性变形 Ud 载荷 Fd 作用下的节点位移矢量 式中 Ud 可由下式求出 dd FkU = (4) 在设计柔顺机构时,总希望机构既有足够大的刚度又有足够大的柔性。柔顺机构的最优拓扑优化设计就是找出这两个相互对立的最佳平衡点。综上,柔顺机构拓扑优化设计的目标函数可以表示为 ) )(1min( ms1s1 EE mm
6、(5) 式中 1m 权系数 1m 的取值区间为 0, 1,当对刚度要求更严时 1m 取大一点,反之则取小些。 将式 (5)作为目标函数的优点是形式相对简单,缺点是 msE 和 sE 可能会出现量级的差异,而且已取为定值的权系数无法对其进行有效的调节,从而可能会导致目标函数出现病态。 为了解决这一问题,可采用如下形式的目标函数 smsminEE (6) 该目标函数也等价于使系统的机械效率取最大值 9。 为了避免目标函数出现病态,权系数 1m 可取为 smsms1 EEE+=m (7) 可见式 (7)中的 1m 可 在迭代过程中不断进行更新。 综前所述,采用基础结构法,在单输入单输出情况下,柔顺机
7、构拓扑优化设计的数学模型为 ) )(1min( ms11 EEs mm s.t. FkU = (8) dd FkU = eUjjLj njxxx ,2,1, = 式中 jx 第 j 个设计变量 Ljx 第 j 个设计变量的下限 Ujx 第 j 个设计变量的上限 en 系统的设计变量数 31.2 单输入多输出时的拓扑优化设计 如图 2 所示,为一单输入多输出情况。 给定的设计域为 W, iP 为驱动输入 点,其中驱动力为 F;ooj njP ,2,1, = 为机构的位移输出点, on 为位移输出个数。 和前面的处理类似,为了求出互应变能,在 ojP 处,沿着各输出位移 ojd 方向各作用有一虚拟
8、的单位载荷 jdF ,则总的虚拟载荷为 jnjtod1d FF = (9) 图 2 单输入多输出情况 这样处理后,系统的互应变能可表示为 =WWee kUUuDu T1dT1dms 21d)()(E (10) 式中 )( 1due 由载荷 tdF 造成的应变 1du 设计域内某一点由载荷 tdF 造成的弹性变形 1dU 载荷 tdF 作用下的节点位移矢量 为了体现机构在工作状态的刚度特性,如图 3 所示,将驱动力的作用点固定,将各虚拟载荷看成主动载荷。在虚拟载荷作用下,系统的应变能为 =WWee 2ddTd2d2T2ds 21d)()( UkUuDuE (11) 式中 )( 2due 由载荷
9、tdF 形成的应变 2du 设计域内任一点在载荷 tdF 作用下形成的弹性变形 dk 图 3 所示系统的刚度矩阵 2dU 在 tdF 作用下的节点位移矢量 图 3 刚度设计处理方法 在单输入 多输出情况下,柔顺机构拓扑优化设计的数学模型可以表示为 4) )(1min( ms1s1 EE mm s.t. FkU = tdd1 FkU = (12) td2dd FUk = e,2,1, njxxx UjjLj = 可见,在应用基础结构法时,在单元完备集中有多少个单元就有多少个设计变量。 2 均匀化方法 均匀化方法最初由 Bendsoe 和 Kikuchi1于 1988 年提出,其思路是任意一均匀介
10、质在微观结构上其性能和 几何形状均具有周期性。 如图 4 所示,可将设计域看成是由无穷个按一定周期均匀分布的微小空穴组成的。在优化过程中,当空穴充满材料时就认为该处有结构实体存在,否则就认为没有结构实体存在。对于平面设计问题如图 5a 所示 , 其设计变量为单位晶胞中度量其空穴大小和描述其方位的参数 a、 b 和 q。当 a 和b 均为 1 时,表明该晶胞为空穴,而当 a 和 b 均为 0 时,则表明该晶胞为实体。对于三维设计问题,如图 5b 所示 , 其设计变量为度量其空穴大小的参数 a、 b、 g 和方位的参数 q、 j、 f。 当将设计域剖分成 en 个单元时,对于二维问题,将有 3 e
11、n 各设计变量,而对于三维问题,则将有 6 en 各设计变量。不失一般性,以单输入多输出情况为例建立均匀化方法的优化模型。 描述机构刚性的 应变能为 =WWee d)()( 2dTd2s uDu GE (13) 图 4 设计域局部放大 (a) (b) 图 5 单位微结构 描述机构柔性 的互应变能为 =WWee d)()(21 T1dms uDu GE (14) 式中 GD 匀化处理后微结构的 弹性矩阵 式 (13)和式 (14)对任意一设计变量 x 的灵敏度为 =WWee d)()( 2dT2ds uDu xxEG(15) 5 =WWee d)()( T1dms uDu xxEG(16) 采用
12、均匀化方法,在单输入多输出情况下,柔顺机构拓扑优化设计的一般数学模型可以表示为 )(1min ms1s1,EE mmfjqgba (17a) s.t. =WWWW dd)()( FFTF FvueDve G (17b) =WWWW dd)()( FdFdTFd ttGt FvueDve (17c) =WWWW dd)()( FdFdTFd ttGt FvueDve (17d) 10 ,10 ,10 gba (17e) =WWWabggba 0d)1(),( tg (17f) 式中 tW 设计材料的总体积 Fu 图 2 中设计域内任一点在载荷 F 作用下的弹性变形 Fv 图 2 中设计域内任一点
13、在载荷 F 作 用下的虚位移 tFdu 图 2 中设计域内任一点在载荷 tdF 作用下的弹性变形 tFdv 图 2 中设计域内任一点在载荷 tdF 作用下的虚位移 tFdu 图 3 中设计域内任一点在载荷 tdF 作用下的弹性变形 tFdv 图 3 中设计域内任一点在载荷 tdF 作用下的虚位移 微结构的弹性矩阵是设计变量的函数,在迭代设计过程中对其进行求解是 均匀化方法的关键。该 矩阵可由渐进均匀理论 2, 4求得 YYYd)(1H = ?eIDD (18) 式中 D 材料的常规弹性矩阵 I 单位矩阵 Y 任意一微结构 Y 的体积或面 积 ? 特征函数 微结构 Y 的特征函数可由下列方程求得
14、 2 YYYYdd)( TT De?Dee = (19) 对于二维问题,当单位微结构旋转角度 q 时,均匀化处理后微结构的 弹性矩阵为 )()( HT ?RD?RD =G (20) 对于三维问题,当单位微结构旋转角度 yf , 和 q 时,均匀化处理后微结构的 弹性矩阵为 )()()()()()( HTTTG ?RRRDRR?RD yffy= (21) 考虑到拓扑优化设计的实质是设计域内材料的重新分布问题。基于此,又发展出了另一材料建模的方法,即人工材料模型法。在设计域内的任意一点 x 处,其材料特征可用一在区间 0,1取值的连续函数 t表达,即当设计域的材料是各向同性的,则设计域内 x 处的
15、密度 r和弹性矩阵 D 分别 为 0)()( rtr xx = (22) 0)()( DxxD t= (23) 式中 0r 设计域中均匀实体的密度 0D 设计域中均匀实体的弹性矩阵 为了加快收敛速度,可以引入一惩罚因子 m,以便使 )( xt 的值向 0 或 1 收缩。 参考文献 12建议m在区间 3,9内取值。 )( xt 可以用图 5 所示的微结构的设计参数进行表达,对于二维问题 )( xt 可取为 6)()(1)( xxx bat = (24) 对于三维问题 )x(t 可取为 )()()(1)( xxxx gbat = (25) 假设材料各项同性,泊松比为 ,则对于平面应力问题微结构的人
16、工弹性矩阵可以表示为 =2/)1(000101)1()1(2Hnnnnab m ED (26) 由此可见,采用人工材料模型法计算微结构的材料特性时要比传统均匀化方法便捷的多。 求解优化模型的常用方法有最优准则法、序列线性规划方法及序列二次规划方法等。对于均匀化方 法,一般设计变量较多,更适合采用最优准则法。 3 拓扑图的提取和过滤 拓扑优化设计完成后,另一重要任务是从拓扑图中提取出设计好的机构。采用均匀化方法进行机构拓扑优化设计时,如图 6 所示,不可避免地会出现棋盘格现象 2,13。所谓的棋盘格现象是指高低密度分布呈周期性交替出现的现象。参考文献 14指出,在优化过程中对于平面问题当采用 4
17、 节点等参单元或对于空间问题采用 8 节点等参单元时,由于自由度不足,就会出现棋盘格现象。棋盘格现象的出现给机构的提取带来了极大困难。解决这一问题一般情况下有两种途径可以选择,一种途 径是采用更高阶次的单元,另一种途径是采用合适的过滤算法对出现棋盘格现象的部分进行过滤处理。由于第二种方法计算效率高,且可以构造多种有校算法,因而受到了广泛重视。如前所述,棋盘格现象主要是由于密度分布不均匀造成的,因而所有过滤算法的思路都是建立在使密度重新分布基础上的。下面以平面问题为例介绍两种过滤算法 2,13。 如图 7 所示, 4321 rrrr 、 分别为 4 个相邻单元的密度,每个单元的微尺度参数为 ii
18、 ba 、 (i=1,2,3,4)。 图 6 棋盘格现象 图 7 过滤算法图 算法 1:单元密度法 (1) 计算 4 个相邻单元的单元密度 ir 和其中的最大值 maxr 及最小值 minr 。 任意一单元的密度为 iii bar =1 i=1,2,3,4 (27) (2) 计算过滤密度 ir 及其最大值 maxr 和最小 值 minr ,其中 ir 的计算公式为 )(241 241=+= iijji rrrr (28) 式 (28)中的最后一项当 i2 时取减号。 (3) 判断是否同时满足不等式 maxmax rr 。 如果满足则会出现棋盘格现象,此时需要通过使单元密度重新分配来消除该现象。
19、具体做法是作如下代换 44332211 rrrrrrrr = (4) 修正设计参数。 各单元的密度发生改变后,意味着个单元的设 计参数也发生了改变,各单元修正后的的尺度参数 ii ba 、 为 7iiiiiiiiii bbarbabara = 1 1 (29) 算法 2:嵌套算法 (1) 在优化迭代过程中由节点 j 周围单元的密度求出该节点的密度 nodjr =jniijj n1nod 1 rr (30) 式中 nj 围绕第 j 个节点的单元数 (2) 根据有限元原理按下式重新计算个单元的密度 rr =nnijjr N1nodrr (31) 式中 nn 单元的节点数 Nj 单元形函数值 算法一
20、是在优化完成后的一种后处理方法,而算法二是嵌套在优化过程中的。 4 结论 介绍了柔顺机构拓扑设计的现状,讨论了柔顺机构拓扑设计的基础结构法和均匀化方法,给出了拓扑结构的提取及过滤算法。目前柔顺机构的拓扑优化设计主要是根据指定的输入输出关系在静态条件下进行设计的,有关机构动态拓扑优化设计的研究还非常有限。而当设计出的机构作为精密操作或精密定位的主体执行机构时,其动态特性的好坏就显得尤为重要。因而,机构动态拓扑优 化设计的研究就显得十分必要。另外,高精度的拓扑优化也是研究者追求的目标之一。在对大位移柔顺机构进行拓扑优化设计时应考虑几何非线性等非线性因素的影响。另一个重要的发展趋势是驱动单元与机构拓
21、扑优化设计的集成设计研究。 参 考 文 献 1 Bendsoe M P, Kikuchi. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method. Computer methods in Applied mechanics and Engineering, 1988, 71: 197 224 2 Nishiwaki S, Frecker M I, Min S, et al. Topology optimization of compliant mechanisms using homog
22、enization method. International Journal for Numerical Method Engineering, 1998, 42: 535 559 3 Yin L, Ananthasuresh G K. A novel formulation for the design of distributed compliant mechanisms. In: Proceedings of the 2002 ASME Design Engineering Technical Conferences, 2002, DETC2002/MECH-34213 4 Nishi
23、waki S, Min S, Yoo J, et al. Optimal structural design considering flexibility. Int ernational Journal for Numerical Method Engineering, 2001, 190: 4 457 4 504 5 Frecker M I, Ananthasuresh G K, Nishiwaki S, et al. Topological synthesis of compliant mechanisms using multi-criteria optimization. Trans
24、actions of the ASME, Journal of Mechanical Design, 1997, 119(2): 238 245 6 Frecker M I, Kota S, Kikuchi N. Use of penalty function in topological synthesis and optimization of strain energy density of compliant mechanisms. In: Proceedings of the 1997 ASME Design Engineering Technical Conferences, 19
25、97, DETC97/ DAC-3760 7 Frecker M I, Kikuchi N, Kota S. Topology optimization of compliant mechanisms with multiple outputs. Structural Optimization, 1999, 17: 269 278 8 Frecker M I, Canfield S. Design of efficient compliant mechanisms from ground structure based optimal topologies. In:Proceedings of
26、 the 2000 ASME Design Engineering Technical Conferences, 2000, DETC2000/ MECH-14142 9 Hetrick J A, Kota S. Topological and Geometric Synthesis of compliant mechanisms. In: Proceedings of the 2000 ASME 8Design Engineering Technical Conferences, 2000, DETC2000/ MECH-14140 10 Saxena A. On mutiple-mater
27、ial optimal compliant topologies: discrete variable parameterization using genetic algorithm, Proceedings of the 2002 ASME Design Engineering Technical Conferences, 2002, DETC2002 /MECH-34209 11 Tai K, Cui G Y, Ray T. Design synthesis of path generating compliant mechanisms by evolutionary optimizat
28、ion of topology and shape. In: Proceedings of the 2000 ASME Design Engineering Technical Conferences, 2000, DETC2000/ MECH-14518 12 Bulman S, Sienz J, Hinton E. Comparisons between algorithms for structural topology optimization using a series of benchmark studies. Computers & Structures, 2001, 79(1
29、2): 1 203 1 218 13 Youn S K, Park S H. A study on the shape extraction process in the structural topology optimization using homogenized material. Computers & Structures, 1997, 62(3): 527 538 14 Diaz A, Sigmund O. Checkerboard patterns in layout optimization. Structure Optimization, 1995, 10(1): 40
30、45 TOPOLOGY OPTIMOZATION OF COMPLIANT MECHANISMS Zhang Xianmin (South China University of Technology) Abstract: Topology optimization methods of compliant mechanisms are presented. Firstly, the ground structure method and the homogenization method are discussed. The models of optimization are obtain
31、ed. Two material models are discussed for the homogenization method. Secondly, the extraction process and two filter algorithms are presented. One of the algorithm is based on the calculation of the element filter density, the another one is based on the calculation of the nodal density. The former
32、is valid for post process, and the latter is valid in the design process. Finally, the key problems need to be solved in the field are pointed out. Key words: Compliant mechanism Topology optimization Ground structure Homogenization Filter 作者简介: 张宪民,男, 1964 年出生,博士,教授、博士生导师,华南理工大学机械工程学院副院长。主要从事振动与噪声控制、机构动力学及精密定位等方面的研究,发表论文 100 余篇,被 SCI 和 EI 核心版收录 30 余篇次。曾获霍英东基金会青年教师奖、教育部 青年教师奖及教育部首届优秀骨干教师奖等奖励。