1、解析几何中定点定值问题例 1 已知椭圆 的上顶点为 M（0，1） ，过 M 的两条动弦 MA、MB 满足 MAMB。对)1(2ayx于给定的实数 ，证明：直线 AB 过定点。)(a解：由 知 ，从而直线 与坐标轴不垂直，0MABBA故可设直线 的方程为 ，直线 的方程为1ykx1yxk将 代入椭圆 的方程，整理得 1ykxC22()0ak解得 或 ，故点 A 的坐标为02ak221,)同理，点 B 的坐标为 22(,)ak知直线 的斜率为 =l22221akk21()ak直线 的方程为 ，即l2221()()yx221()kayx直线 过定点l20,a例 3 已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点
2、在 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于xA、B 两点， 与 共线.OB)1,3(a（1）求椭圆的离心率；（2）设 M 为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定值.),(RBAM2（I）解：设椭圆方程为 ,0),(12cFbayx则直线 AB 的方程为 ,2yxc代 入化简得 .02)(22baaxba令 ),(),(21yxBA则 .,22121 bacbac共线，得),(2121yxOBA由 aOBA与),13(.0)3y.36,.3,23.,)()2(,221211acebbacaxxcc故 离 心 率 所 以即又（II）证明：由（I）知 ，所以椭圆 可化为 .2b12byax
3、223byx),(),(),(),( 21yxyxOM由 已 知 得设 .21在椭圆上，),(yx.3)(322121 by即 .3)()( 2121byxxx 由（I）知 .,2,21 cac)(33.82121221 cxxyxb.09422c又 又，代入得 22213,3byxbyx .12故 为定值，定值为 1.例 4 设 是椭圆 的左右焦点， 分别为左顶点和上顶点，过右焦点 的直线21,F134:2yxCBA, 2F交椭圆 于 两点，直线 分别与已知直线 交于点 ，试探究以 为直径的圆lNM,AN, 4xQP,与直线 的位置关系 .高二数学作业（13）1.过双曲线 左焦点 的直线交曲
4、线的左支于 两点， 为其右焦点，则2143xy1FMN， 2F的值为_82MFN2. 是椭圆 中不平行于对称轴的一条弦， 是 的中点， 是椭圆的中心，AB21(0)xyabABO=_ OMABk23.在椭圆 上，对不同于顶点的任意三个点 ，存在锐角 ，使21xy,MAB则直线 与 的斜率之积为 . BAsincoOA124.如图， 是平面 的斜线段， 为斜足，若点 在平面 内运动，使得 的面积为定值，则动PABP点 的轨迹是 椭圆P5.在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 12:1yxC.椭圆 14:22yxC. 若 M、N 分别是 1C、2C上的动点，且 OMON，求证：O 到直线 MN
5、的距离是定值.解：当直线 ON 垂直于 x 轴时，|ON|=1，|OM|= 2，则 O 到直线 MN 的距离为 3.当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线 ON 的方程为 ky（显然 2|） ，则直线 OM 的方程为 xyk1.由 142xky，得 241k，所以 241|kN.同理 12|kM. 设 O 到直线 MN 的距离为 d，因为2 |)|(| ONdOM，所以 31|1|1222 kONMd，即 d= 3.综上，O 到直线 MN 的距离是定值. ABP（第 4 题）6.如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 若点 ， 分别是椭圆 的左、右顶点，直线xOyE2143xyABE经过点 且
6、垂直于 轴，点 是椭圆上异于 ， 的任意一点，直线 交 于点 设过点 垂直lBPABPl.M于 的直线为 .求证：直线 过定点，并求出定点的坐标.Pm证明：直线 的斜率为 ，直线 的斜率为12ykxm,12mxky则直线 的方程为 ，102()xy111102()4() 2x yyxyx= = ，22111(4)xy 2111()3xy11xy12()所以直线 过定点 m(,0)7.已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，记椭圆的左顶点为)(12bayx2)21,(P.A（1）求椭圆的方程； （2）设垂直于 轴的直线 交椭圆于 ， 两点，试求 面积的最大值； lBCABC（3）过点 作两条斜率分别为
7、 ， 的直线交椭圆于 ， 两点，且 ，求证：直线 恒过A1k2DE21kDE一个定点. ABOlxym高二数学教学案（13）例 1 已知椭圆 的上顶点为 M（0，1） ，过 M 的两条动弦 MA、MB 满足 MAMB。对)1(2ayx于给定的实数 ，证明：直线 AB 过定点。)(a例 2 一束光线从点 1(,0)F出发，经直线 l:230xy上一点 P反射后，恰好穿过点 2(1,0)F（1）求 P点的坐标；（2）求以 、 2为焦点且过点 P的椭圆 C的方程；（3）设点 Q是椭圆 C上除长轴两端点外的任意一点，试问在 x轴上是否存在两定点 A、 B，使得直线 A、 B的斜率之积为定值？若存在，请
8、求出定值，并求出所有满足条件的定点 、 的坐标；若不存在，请说明理由例 3 已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于xA、B 两点， 与 共线.OB)1,3(a（1）求椭圆的离心率；（2）设 M 为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定值.),(ROBAM2例 4 设 是椭圆 的左右焦点， 分别为左顶点和上顶点，过右焦点 的直线21,F134:2yxCBA, 2F交椭圆 于 两点，直线 分别与已知直线 交于点 ，试探究以 为直径的圆lNM,AN, 4xQP,与直线 的位置关系 .高二数学作业（13）1.过双曲线 左焦点 的直线交曲线的左支于 两点，
9、为其右焦点，则2143xy1FMN， 2F的值为_2MFN2. 是椭圆 中不平行于对称轴的一条弦， 是 的中点， 是椭圆的中心，AB21(0)xyabABO=_ OMk3.在椭圆 上，对不同于顶点的任意三个点 ，存在锐角 ，使21xy,MAB则直线 与 的斜率之积为 . BAsincoOA4.如图， 是平面 的斜线段， 为斜足，若点 在平面 内运动，使得 的面积为定值，则动PABP点 的轨迹是 P5.在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 12:1yxC.椭圆 14:22yxC. 若 M、N 分别是 1C、2C上的动点，且 OMON，求证：O 到直线 MN 的距离是定值.6.如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 若点xOyE2143xy， 分别是椭圆 的左、右顶点，直线 经过点 且垂直于ABElB轴，点 是椭圆上异于 ， 的任意一点，直线 交 于点xPABAPlABP（第 4 题）ABMPOlxym设过点 垂直于 的直线为 .求证：直线 过定点，并求出定点的坐标MPBm7.已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，记椭圆的左顶点为)0(12bayx2)21,(P.A（1）求椭圆的方程； （2）设垂直于 轴的直线 交椭圆于 ， 两点，试求 面积的最大值； lBCABC（3）过点 作两条斜率分别为 ， 的直线交椭圆于 ， 两点，且 ，求证：直线 恒过A1k2DE21kDE一个定点.
