1、- 1 -实数题型归纳练习一.无理数1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数说明：有理数是指有限小数和无限循环小数，而无理数包括：（1）开方开不尽的数，如 ；（2）有特定意义的数，如， 及含 的数；（3）有一定结构的无限小数，如，50.080080008；（4）无限不循环小数。注意：带根号的数不一定是无理数，如 是有理数；不带根号的数也可能是无理数，如4 等。一个有理数 a 与一个无理数 b 进行四则运算时，ab，a-b，都是无理数，当 a0 时，ab， 都是无理数，当 a0 时，ab， 都是有理数。b,2. 无理数的特征：（1）无理数的小数部分位数无限；（2）无理数的小数部分不循环，不能
2、表示成分数的形式。3. 小数的分类4. 确定 的整数部分和小数部分的方法：a把 夹在两个连续的正整数的平方之间，确定其整数部分，例如：求 的整数部分。5因为 ， ，所以 ，因此整数部分为 2。小数部分就是 。2235352二. 平方根1. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个x2正数 x 就叫做 a 的算术平方根，特别地，的算术平方根是 0。（2）算术平方根的表示方法：非负数 a 的算术平方根记作“ ”或“ ”，读作“根号2a”，其中符号 读作“二次根号” ，a 叫做被开方数，2 叫做根指数，通常省略不写。 - 2 -例如：4 216，16
3、 的算术平方根是 4，即 。16（3）算术平方根的性质：正数 a 的算术平方根为 ，0 的算术平方根是 0，即a0 ， （3）负数没有算术平方根。（4）算术平方根 具有双重非负数：被开方数是非负数，即 a0，算术平方根a本身是非负数，即 0。若 和 同时出现在一个式子中，由于 且aa0a，则可得出 。00（5）理解算术平方根要注意的三点： 具有双重非负数：即 a0， 0。aa算术平方根与平方根的相同点是它们的被开方数都必须是非负数，零的平方根与算术平方根都是零。不同点是：任何正实数的平方根都有两个，这两个平方根互为相反数，但是任何正实数的算术平方根只有一个，是正实数平方根中的正值。当二次方根被
4、开方数是含有字母的代数式时，它是否有意义，则需看被开方数是否非负。2. 平方根（1）平方根的概念：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个数 x 就x2叫做 a 的平方根（也叫做二次根式） 。（2）平方根的性质：一个正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根“ ”，另一a个是“ ”，它们互为相反数，合起来记作“ ”，读作“正，负根号 a”，例如：5的平方根是 ；的平方根是；负数没有平方根。53. 开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫做被开平方。如：因为 ，所以2)(52说明：由于开平方与平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求一个数的平方根或算
5、术平方根，也常用平方运算检验所求得的平方根是否正确，注意被开方数是非负数。4. 平方根与算术平方根的区别与联系- 3 -（1）区别：定义不同；个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；表示方法不同：正数 a 的平方根表示为 ，正数 a 的算术平方根表示为 ；取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根a是一正、一负。（2）联系：具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个；存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；0 的平方根与算术平方根都是 0。5. 两个重要的性质（1） ，即当 时， ，当 时，a20a20a2（
6、2） )()(6、理解平方根要把握以下三点： （ ） 由 中 可 知 是 一 个 非 负 数 ， 因 此 在 实 数 范 围 内 ， 只 有 正 数 和102axa零才有平方根，负数没有平方根。（2）非零的两个数互为相反数时，它们的平方是同一个正数，因此一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。零的平方根是零。（3）平方与开平方互为逆运算，因此，可以用平方运算来求一个数的平方根，也可以用平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。7. 算术平方根中小数点的移动规律被开方数的小数点向左（或向右）每移动二位，算术平方根的小数点就向左（或向右）方向移动一位。如 ，则 ，41.214.2014.02.三
7、. 立方根1、立方根的概念（1）一般的，如果一个数 x 的立方等于 a，即 ，那么这个数就叫做 a 的立方根x3（也叫三次方根） 。（2）立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。（3） 立方根的表示方法：每个数都只有一个立方根，用符号“ ”表示，读作“三次3a根号 a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数，要注意这里的根指数不能省略。- 4 -（4）两个互为相反数的立方根之间的关系：根据立方根的定义可知，若 ，则3ax，因为 ，即 ，也就是说，求一个负数的立方根时，3ax03a33a只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号
8、可以移到根号外面。2、开立方：求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。例如把 64 开立方，就是要求 64 的立方根，那么什么数的立方等于 64 呢，因为 ，所以 64 的立方根是 4，即 。643633、 立方根与平方根的区别与联系（1） 区别：（1）用根号表示平方根时，根指数是 2 可以省略，而用根号表示立方根时，根指数 3 不能省略。 （2）平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，且每个数都只有一个立方根，如 没有平方根，但有立方根 。 （3）正数的平方根有两个，而正数的立8方根只有一个，如 2 的平方根是 ，而立方根只有 。22（2） 联系：（1）都与相应的乘
9、方运算互为逆运算。 （2）都可以归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即 。 （3）0 的立方根和平方根都是 0。3a4. 立方根中小数点的移动规律被开方数的小数点向左（或向右）每移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动一位。如： ，则 。131.3.5. 两个重要的性质（1） ，如33a32733（2） ，如)(8)(四. 无理数大小比较的常见方法1. 估算法：例如：比较 与 的大小，因为 ，所以 ，23104103130所以 。2310- 5 -2. 求差法：对于实数 a、b，如果 0，则称 ab， 0，则称 ab,
10、如果bba=0，则称 a=b。ba3. 平方法把含有根号的两个无理数同时开方，根据平方后的大小进行比较，例如： 62和 的大小，因为 ， ，所以324)6(27)3(364. 移动因式法当 ， 时，若 ，则 ，因此可以把根号外的因式移到根号内。0abbaba五、实数1：实数：有理数和无理数统称为实数。按实数的性质符号分类：实数可分为正实数、零、负实数。按定义分类：实数可分为有理数和无理数。2：实数的有关概念和性质（1）有关概念 实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的相反数、绝对值、倒数的意义是相同的，即有理数中的概念在实数范围内仍适用。相反数：a 与 a 表示任意一对相反数，如 与 互为相
11、反数。5倒数 ：如果 a 表示一个非零数，那么 a 与 互为倒数（a0） ，如 与 互为倒数。171- 6 -（2）有关性质 与 b 互为相反数 a+b=0； 与 b 互为倒数 ab=1； ；互为相反数0a的两个数的绝对值相等，即 ；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有a倒数3：实数和数轴上的点的一一对应关系数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示；反过来，每一个实数都可以在数轴上找到表示它的点。4：实数大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍适用。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小。可根据有理数大小
12、的比较法则和不等式的性质等方法比较实数的大小。对于二次根式的大小的比较，可根据前面老师的讲座中所介绍的方法如：作差法、作商法、平方法、倒数法等进行比较。5：实数的运算法则和运算律有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序。实数有加、减、乘、除、乘方、开方等运算，混合运算的顺序是先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号要先算括号里的。6：实数中的非负数的四种形式及性质（1）形式： ； ； ； 中， 。0a2)0a(a0（2）性质：非负数有最小值零；有限个非负数之和仍然是非负数；若几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0。7.、利用非负数的概念及性质来
13、解题：（1）几类常见的非负数有：一个实数的偶次幂、实数的绝对值、算术根、数轴上原点和原点右边的点所表示的数。（2）非负数的性质：（a）若有限个非负数的和为零，则每一个加数都必须是零。 （c）最小的非负数是零。 （c）没有最大的非负数。 （d）非负数大于一切负数。习题- 7 -一、实数的有关概念及分类1. 实数 ，0， ,3.1415926， ， ， 中无理数有 个，则 （ ）32733mA 1 B 2 C 3 D 42. 下列各数中，不是无理数的是 （ ）A B 0.5 C D 0.15115111573. 下列说法正确的是（ ）A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限小数 C. 无限小数
14、是无理数 D. 是分数324、下列语句中正确的是【 】(A)带根号的数是无理数 (B)不带根号的数一定是有理数 (C)无理数一定是无限不循环的小数 (D)无限小数都是无理数5 - 的相反数是_， - 的相反数是_。6以下说法错误的是( )A. 是无理数 B. 是无限不循环小数 C. 是实数 D. 是无限循环小数7若 a 是 1- 的相反数，则 a 的值为（ ）A.1+ B.1 C.1+ D.以上都不是8边长为 2 的正方形的对角线长是（ ）A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数二、平方根、立方根定义及求法1. 的平方根是 ； 4 2的平方根是 812. 的被开方数是 ；根指数是 ；203.
15、 144 有 个平方根，它们是 ；它们的和是 ；它们互为 ；4. 的算术平方根是（ ）16A ,4 B,4 C ,2 D,2- 8 -5，下列等式中：， ， ， ， =0.001 8162)(34)(2610， ， ， 中正确的有（ ）个。4327335A,2 B ，3 C，4 D.56、若一个正数的平方根分别为 3a+1 和 42a，则这个正数是多少？7， 的平方根是 的平方根是 40)5(三、平方根有意义1. 若 和 都有意义，则 的值是 （ ）aa2. 是个整数,那么最小正整数 a 是_.203. 要使 成立,那么 a 的取值范围是（ ）.134.y= ，求 3 +2 的算术平方根.8x
16、xy5、已知实数 满足 ，则 的取值范围是_。a54a6、 代数式 在实数范围内有意义的条件是_1四、非负数之和为 01. 如果 ，那么 ；)6(42yxyx2、若 ，则8)1(2ab _的 平 方 根 是ba3若 ，则 的值等于（ ）30ac23cA B C D064324.在实数范围内，设 a= ,则 a 的个位数字是_.206)|14(xx5、已知 x、y 互为倒数，c、d 互为相反数，a 的绝对值为 3，z 的算术平方根是 5， 求：4（c+d）+xy+ 的值。z- 9 -五、比较大小1. 比较大小： ；（填 或 符号） = ；14_75212，满足 的整数 是 .3xx3、比较大小：
17、 （1） 5与 1。 （2）1 与 1 3。（3） 62与 53 ； （4）2 7与 3 4、当 时， 2x， ， 1的大小顺序是_。106、数形结合题1、点 A 在数轴上表示的数为 ，点 B 在数轴上表示的数为 ，则 A， B 两点的距535离为_2、数轴上表示-1， 的对应点分别为 A，B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 表2示的数是_。 七、去绝对值1、如图，实数 a、b、c 对应数轴上的点 A、B、C 化简a 。22、代数式 的所有可的值有（ ）abA、2 个 B、3 个 C、4 个 D、无数个3、化简： 2214、 若 a、b、c 是ABC 的三边，化简：ACOB- 1
18、0 -2222()()()()abcabcacb八、平方根、立方根小数点移动规律1 0.0196 的算术平方根是（ ）A、014 B、0.014 C、 0.14 D、 0.142. 若 ，则 =_。2.1.220.3、已知 ,85,3则 5_。4、若 736.46则 _463._,0463.3。九、解方程（1） (2) 04)2(x 027)3(x(3) (4) 012573x 25)1(x十、整数部分和小数部分的探讨1、已知 x 是 的整数部分，y 是 的小数部分，求 的平方根。10 10 10xy（ ）- 11 -2 设 m 是 的小数部分，n 为 的小数部分，求 的值？137137208)(nm
