1、圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。设 P（ ）为圆锥曲线 （A、B、C 不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为： 。（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。该方程的推导，原则上用“法”求出在点 P 处的切线斜率 ，进而用点斜式写出切线方程 ，则在点 P 处的法线方程为。1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线 上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如
2、图 1 中 。事实上，设 为抛物线 上一点，则切线 MT 的方程可由替换法则，得，即 ，斜率为 ，于是得在点 M 处的法线方程为令 ，得法线与 x 轴的交点 N 的坐标为 ，所以又焦半径所以 ，从而得 即当点 M 与顶点 O 重合时，法线为 x 轴，结论仍成立。所以过 M 的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。也可以利用点 M 处的切线方程求出 ，则 ，又 故，从而得也可以利用到角公式来证明抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图 2 中证明也不
3、难，分别求出 ，然后用到角公式即可获证。椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图 3 中 。仍可利用到角公式获证。这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。这里仅举例说明这些光学性质在解圆锥曲线的有关问题中的应用。应用圆锥曲线光学性质解题，特别是切线问题是十分方便的。其间要注意一个基本关系式
4、的应用，即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”。如图 4，MN 切曲线C 于点 P，则APM BPN。这是很容易由物理学的“入射角等于反射角”及平面几何中“等角的余角相等来证明的。例 1 求证：椭圆 和双曲线 在交点处的切线互相垂直。分析：如图 5，用圆锥曲线光学性质证明1390即可。证明：如图 5，两曲线的公共焦点 ，设 P 为两曲线的一个交点，PQ、 PR 分别为椭圆、双曲线的切线，连 ，并延长 ，由椭圆光学性质，推得12；由双曲线光学性质，得34。又25，46（对顶角相等），所以15，36（等量代换）。又1356180，所以1390，即 PQPR，命题得证。评注：（1）本题也可
5、采用代数运算证出 的方法来证明，但比较复杂。这里采用光学性质证明法则直观简捷。（2）由本题得到一个一般性命题：焦点相同的一个椭圆与一双曲线在交点处的切线互相垂直，于是有定义：两圆锥曲线在交点处的两条切线互相垂直，叫做这两曲直交。例 2 如图 6，已知 是椭圆 的焦点， 分别是 在椭圆任一切线 CD 上的射影。（1）求证： 为定值；（2）求 的轨迹方程。分析：（1）欲证 为定值，即证 为定值（由光学性质推得 ），从而知应用余弦定理于 即可获证。）（2）求出 分别为定值即知其轨迹，易得轨迹方程。证明：（1）设 Q 为切线，由椭圆光学性质推知 设为 ，则所以又 ，则在 中，则所以 为常数，即定值。（
6、2）设点 O 在 CD 上的射影为 M，则 OM 是直角梯形 的中位线，于是有。在 中，同理所以 的轨迹是以 O 为圆心， a 为半径的圆，其方程为例 3 设抛物线 的焦点为 F，以 F 与 A（4，4）为焦点作椭圆，使其与已知抛物线有公共点（如图 7），当长轴最短时，求椭圆方程。分析：求解的关键是光线 FP 的反射线 PA 平行于 x 轴。解：设以点 A（4，4）、F （4，0）为焦点的椭圆为 （a 为长半轴长）。再设 P 为抛物线与椭圆的公共点，由椭圆第一定义知：即长轴长 2a 等于抛物线上一点 P 到两定点 A、F 距离之和，若 2a 最小，当且仅当椭圆与抛物线相切。此时，由圆锥曲线的光
7、学性质知，光线 FP 的反射线 PA 平行于 x 轴。所以 P（1，4）。由知所以所求的椭圆方程为例 4 如图 8，已知探照灯的轴截面是抛物线 ，平行于对称轴 的光线于此抛物线上的入射点、反射点分别为 P、Q，设点 P 的纵坐标为 ，当 a 为何值时，从入射点 P 到反射点 Q 的路程 PQ 最短？分析：设 ，由抛物线光学性质知 PQ 过焦点 ，故可用弦长公式建立目标函数 ，求出最小值条件 a 即可。解：由抛物线光学性质知光线 PQ 必过其焦点 ，设点 ，则直线 PQ 的方程为将方程 代入，消去 x，得或故知点 Q 坐标为则当且仅当 ，即 时，等号成立。此刻 ，即当 时，亦即入射点 、反射点 时 最短，过时 P、Q 恰好关于 x 轴对称。
