1、 本 科 毕 业 论 文 (设 计 )正定矩阵及其应用学生姓名： 学 号： 专 业： 指导老师： 答辩时间： 装订时间： A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science， Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016Positive definite matrices and their applicationsStudent Name: Student N
2、o.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding: 摘 要矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及
3、其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用.关键词：矩阵 正定二次型 正定矩阵 极值 AbstractThe matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of moder
4、n science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars attention
5、, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At l
6、ast, we study its application in theory and the solution of the function extremum.Keywords: matrix， positive definite quadratic， positive definite matrix， extremum 目录摘 要 .IAbstractII1 绪论 .11.1 课题背景 .11.2 课题研究的目的和意义 .11.3 国内外研究概况 .22 预备知识 32.1 矩阵 32.2 二次型 53 正定矩阵 .83.1 正定二次型 83.2 正定矩阵的判定定理 94 正定矩阵的应用
7、 .134.1 正定矩阵的相关命题 134.2 正定矩阵在函数极值中的应用 14总结与展望 18致 谢 191 绪论我们知道矩阵是高等代数中非常重要的内容之一. 在学习高等代数时，矩阵方面的知识也经常被用到. 而正定矩阵又是矩阵中的重点，它不单单用来解决数学中的问题，还应用于许多的科学领域. 本课题阐述了正定矩阵研究背景、正定矩阵的研究的目的和意义、正定矩阵的现状以及发展方向，明确指出了研究正定矩阵应用所面临的问题.1.1 课题背景正定矩阵作为一类常用矩阵，对它的研究最早出现在二次型中. 它也是从正定二次型中抽象出来的一个概念，有了正定矩阵的概念后，解决二次型的问题就变得简单方便. 不仅在代数
8、学中应用广泛，在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 因此它的性质、定理以及应用问题一直备受学者关注. 而在实际生活问题中也经常出现一些相关数学问题，而用正定矩阵解决问题可能会更方便简洁一点. 这就需要我们研究正定矩阵的应用，如正定矩阵在四则运算、在函数极值、在不等式中的应用. 因此可以使得我们可以更好地使用正定矩阵这一重要工具. 本文通过对正定矩阵的理解和掌握，查阅各种相关资料，对正定矩阵及其相关知识点进行归纳总结，并且由此给出了正定矩阵在四则运算和函数极值及中的应用.根据课题研究内容和手中相关文献资料，了解课题研究现状，学习掌握相关理论基础知识，并进行初
9、步研究，撰写开题报告.1.2 课题研究的目的和意义矩阵是代数中一个非常重要的概念，是研究和解决数学问题的一个重要工具. 而正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在矩阵中扮演着重要的角色，因此是我们学习矩阵时不可忽略的重点. 本文对我们对数学感兴趣的学生深入理解和掌握正定矩阵理论有非常重要的意义. 能够加强我们对正定矩阵的掌握，也可以促进正定矩阵理论的进一步完善，丰富正定矩阵的应用，加强我们对正定矩阵的理解，丰富矩阵的理论知识. 有助于我们对整个高等代数知识的一体化的认识. 从而可以培养我们对代数知识的串联思想. 正定矩阵多方面的应用，能够开阔我们的视野，加强我们的联想能力，引起我们对数学的探究欲望，对
10、知识的渴望. 研究矩阵的正定性，在代数理论和应用中具有重要意义. 正定矩阵不仅在数学方面，在其他各个领域都具有广泛的应用价值，因此引起了学者们极大的研究兴趣. 这些研究不断丰富了正定矩阵的理论知识，也引起了我们对正定矩阵的兴趣.1.3 国内外研究概况随着数学的影响力越来越大，矩阵对数学的研究也显得越来越重要. 在代数方面，正定矩阵也同样占有非常重要的地位. 因此人们对正定矩阵的研究也越来越广泛. 因而对正定矩阵的理解和应用也越来越深入，其应用范围也越来越广泛. 在函数学、几何学、经济学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用.在历史上，正定矩阵的相关研究最早出现在二次型和 He
11、rmite 型中. 但是当时对于的正定矩阵局限于对实对称矩阵或者 Hermite 矩阵 . 1970 年，Johnson 引入了不再局限于对实对称矩阵或者 Hermite 矩阵实对称矩阵的概念 . 他给出了正定矩阵较为广义的定义. 1985 年，李炯生也给出了正定矩阵较为广义的定义. 1984 年，佟文廷再次将正定矩阵的定义进行了推广. 他给出了推广正定矩阵的各种定义. 1988 年，夏长富将实对称矩阵的正定性做了深入推广. 他又进一步极大的丰富了正定矩阵的理论. 1990年，屠伯埙将各类广义正定矩阵进行深度结合. 他重新定义了广义正定矩阵，将它称之为亚正定矩阵. 在研究正定矩阵的过程中，许多
12、学者取得了惊人的理论成果，其成果也得到了广泛的应用. 除了对正定矩阵的研究，许多学者还对正定矩阵相关内容进行了研究，同样取得了巨大的成就. 近年来，在完善正定矩阵理论成果的历史中，得出了许多其他的概念和定理，将各类正定阵统一起来. 这些新的研究成果对完善正定矩阵的理论和其应用具有非常大的价值.虽然对正定矩阵的研究这么广泛，但是这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面. 它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 预备知识2.1 矩阵定义 2.1.1 由 个数 排成的 行 列的数表nm),1,1(njmiaj ； mn，mnmaaA 2122称为 矩阵，记作nm.nij）（
13、特殊地，当 时，矩阵称为方阵.定义 2.1.2 把一矩阵 的行列互换，所得到的矩阵称为 的转置. 记为 (或者记AATA为 ).A即， 设，snsnaaA 212112所谓 的地转置就是指矩阵A.212112snnsTaaA 显然， 矩阵的转置是 矩阵，即 ，则 nssijA）（ .snijaA）（转置矩阵满足以下运算规律.TTkAB， ，定义 2.1.3 数域 上的 矩阵 称为对称矩阵，如果 .PnATA即若,nnnaaA 212112且满足,nnnaa 212112 nnna 212121则称 为对称矩阵.A定理 2.1.1 任意一个 阶实对称矩阵 ，都存在一个 阶正交矩阵 ，使得AT成对
14、角型. 对角线上的元素为矩阵 的特征根 .T定义 2.1.4 数域 上的 矩阵 称为非退化的，如果 ；否则称为退Pn0A化的. 即，若.0212112nnnaaA 则 为非退化的.A定义 2.1.5 级方阵 称为可逆的，如果有 级方阵 ，使得NAB（1）.EB这里 是 级单位阵.En如果矩阵 适合（1），那么 称为 的逆矩阵，记为 .B TA注 1：只有方阵才可能可逆；注 2：非零的矩阵不一定可逆；注 3：若 可逆，则（1）中的 必唯一；AB注 4：若 ，且 可逆，则 .CC设 是 阶可逆矩阵，下列结论成立：n.5);(4;132;11nTTAkkA为 非 零 数定理 2.1.2 矩阵 是可逆
15、的充分必要条件是 是非退化的.A定义 2.1.6 数域 上 矩阵 称为合同的，如果有数域 上可逆的 矩PnB, Pn阵 ，使C.ACT合同是矩阵之间的的一个关系，不难看出，合同关系具有:（1） 反身性： ;ET（2） 对称性：由 即得B;1BT（3） 传递性: 由 和 即得11ACT22.21212CAT定义 2.1.7 设 是两组文字，系数在数域 中的一组关nnyx,2121 ； P系式（2）.2121211 nnn nycycx ，称为由 到 的一个线性替换，或者简称线性替换，如果系数行nx,21 y,21列式，0ij那么线性替换（2）称为非退化的.2.2 二次型定义 2.2.1 设 是一
16、数域. 一个系数在数域 中的 的二次齐次多项PPnx,21式2121321,xaxfnn xaxa2212(3) n称为数域 上的一个 元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型.P令，jiija.j由于，ijjix所以二次型（3）可以写成nxaxaf 12121321, 221nnnxx（5）jiija1把（5）的系数排成一个 矩阵，nnnaaA 212112它就称为二次型（5）的矩阵.令 .21nxX于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来.nnnnT xaaxAX 21211221,故.),(21AXxfTn定理 2.2.1 在数域 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角阵. 即，对于任意P一个
17、对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 使CACT成对角矩阵. 定义 2.2.2 二次型 经过非退化的线性替换所变成的平方和形式称),(21nxf为二次型 的一个标准形. 即),(21nxf 22121),( nnxdxdxf 为二次型 的标准形.定义 2.2.3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形. 且规范形是唯一的. 即任一复数的对称矩阵合同于01的对角阵.定义 2.2.4 实二次型 经过某一个非线性替换，可使),(21nxf变成标准形),(21nxf，1221 rppydyd再做一次非退化线性替换就变成，22121rpzz称为实二次型 的规范形.),(nxf3
18、 正定矩阵在二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 作为本章的开始，我们给出了它的定义，引出正定矩阵的定义. 正定矩阵同样占有非常特殊的地位，我们给出了正定矩阵的判定定理.3.1 正定二次型定义 3.1.1 在实二次型 的标准型形中，正平方项的个数 称为),(21nxf p的正惯性指数；负平方项的个数 称为 的负惯性),(21nxf pr),(21nxf指数；它们的差 称为 的符号差.rprp),(21nf定义 3.1.2 实二次型 称为正定的 . 如果对于任意一组不全为零),(21nxf的实数 都有 .nc,21 0,c定理 3.1.1 元实二次型 是正定的充分必要条件是它的正惯性),(21n
19、xf指数等于 .推论 3.1.1 正定矩阵的行列式大于零.定义 3.1.3 在 阶矩阵中任选 行，再取相同行号的列，所选取的行列交汇nk处的 个元素组成的新的矩阵称为 阶矩阵的一个 阶主子式.2k k定义 3.1.4 子式，),21(21212niaaPiii ii 称为矩阵 的顺序主子式. nijA定理 3.1.2 实二次型AXxxf Tnijjia121),(是正定的充分必要条件为：矩阵 的顺序主子式全大于零.A定义 3.1.5 若对于方阵 存在一个非零向量 和实数 ，使得 成立. XA则称 为矩阵 的特征值， 称为 相对于 的特征向量.AX定义 3.1.6 设实二次型 （ 为对称矩阵).
20、 如果对于任AXxfTn),(21意的 ，有 ，则称该二次型为正定二次型. 矩0X21nx 0),(21AXxfTn阵 为正定矩阵.A注：本文所讨论的都为实正定矩阵.3.2 正定矩阵的判定定理定理 3.2.1 实对称矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵 ，A P使得 .PAT证明 必要性 因为矩阵 为正定矩阵，所以矩阵 合同于单位矩阵，即存在A可逆矩阵 ，使得 ， 即 ，若我们记 ，QET11QEQTT 1Q则有 .T充分性 设存在可逆矩阵 使得 ，则对任意 ， 有PAT 0,x21Tnx，若我们记 . 则XPXATTT nyPXY,21，所以矩阵 为正定矩阵. 221nyyY定理
21、3.2.2 实对称矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵 ，A P使得 .nTEAP证明 充分性 因为矩阵 为正定矩阵，所以矩阵 对应的是正定二次型. 因A此可以经过非退化线性替换 . 其中 . 使得PYXTny,21 ).,(),( 21221 nnTTTn ygaaYAxf 所以有 . nEAP必要性 存在可逆矩阵 使得 ，则其对应的二次型PnTE因).,()(),( 2121 nTTn xfPYAYyg 为正定二次型，所以 也为正定二次型 . 所以其对应的矩,x ,21nxf阵 为正定矩阵. A定理 3.2.3 实对称矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵 的正惯性指AA数 .n
22、p证明 充分性 因为矩阵 为正定矩阵. 由定理 3.2.2 知矩阵 合同于单位阵. 所以矩阵 的正惯性指数为 .EAn必要性 因为矩阵 的正惯性指数为 ，由定理 3.1.1 知矩阵 对应的二次型AnA为正定二次型. 因此矩阵 为正定矩阵.定理 3.2.4 实对称矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵 的所有顺序主子式都大于零.证明 充分性 因为矩阵 为正定矩阵，所以矩阵 对应的二次型为正定二次AA型. 则构造函数 也为正定二次型 . 所以其对应的矩阵顺序主)0)(,(21kxf子式 为正定矩阵，即 . 所以正定矩阵 的所有顺序主子式都大于零.kAk必要性 因为矩阵 的所有顺序主子式都大于零，所
23、以矩阵 的任一顺序主子式 对应的二次函数都为正定二次型. 因此当 时对应的二次型k nk为正定二次型. 即对应的矩阵 为正定矩阵.),(21nxf A例 3.2.1 设二次型 ，求3212232121 4-4),( xxxxfn 的取什么范围，使得 为二次型.,解 二次型 的矩阵为),(21nxf.2-14A由定理 3.2.4 得,01A得,02422 .2得,-42-123 .综合可知当 时， 正定.0),(21nxf定理 3.2.5 实对称矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵 的所有主子AA式都大于零.证明 设正定矩阵 ，则它的任一 阶主子式为nijam.mmkkkkaA 111作二次型
24、 和 对任意 ，都有 其中XT.YmT 0,10b .0,10ncX，由于 正定，所以 . 从而其 它 时当 ,0,21mii kbc AXT 00AXT由 的任意性即证 是正定二次型，即.0YAXTT0Ym.m例 3.2.2 判断 是否为正定矩阵.1-2解 我们直接可以看出矩阵 的主子式不全大于零.A定理 3.2.6 实对称矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵 的所有特征值A都大于零.证明 由定理 2.1.1 知对于对称矩阵 存在一个 阶正交矩阵 . 使得 成nTT对角型. 对角线上的元素为矩阵 的特征根.A充分性 因为矩阵 为正定矩阵，所以存在正交矩阵 ，满足P. 其中 是矩阵 的全部特
25、征值. 则矩阵 对应的nTaaAP21 na,21 AA二次型为 . 令 ，则有AXxfT),(21 PY.,)(),( 2121 nTTn ygPYxf 又因为矩阵 为正定矩阵，所以二次型为正定二次型. 因此矩阵 的特征值全部大A A于零.必要性 因为矩阵 的特征值 都是大于零，所以存在正交矩阵),21(nia，满足 . 则矩阵 所对应的二次型 PnTaaA21 A),(,),(21 21212121nTT nnnxfPYAPY yayyg 所以二次型 是正定二次型. 因此矩阵 为正定矩阵.nyg,21 A4 正定矩阵的应用正定矩阵作为本论文的中心内容，我们不仅仅只是研究它的定义和性质，它的
26、应用也是我们需要研究的反向. 正定矩阵的应用非常广泛，它在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 本论文主要研究了它在理论证明中和在函数极值中的应用.4.1 正定矩阵的相关命题命题 4.1.1 若矩阵 是 阶正定矩阵，则矩阵 也是正定矩阵.BA,nBA证明 因为矩阵 为正定矩阵，所以对所有 .0,0XXTT，因此 .0)(XT命题 4.1.2 若矩阵 是 阶正定矩阵， ，则 也为正定矩阵.AnRk0A证明 因为所有 ，所以 .,0XT 0)()(XTT命题 4.1.3 若矩阵 都是 阶正定阵， ，则 也是正定阵.B, B证明 因为 ，所以 . 所以 是对称矩阵
27、AAT又因为 为正定矩阵，所以存在可逆矩阵 ，使得 , QP, .,QBPTT因此 .QPBT又因为 正定， 且与 相似，所以 正定.TTP1 A命题 4.1.4 设矩阵 是正定阵，则 为正定阵.A*1A，证明 因为矩阵 为正定矩阵. 所以存在可逆矩阵 ，使得 . 因此 CT. 所以 正定.TTTCCA1111 1又因为 ，所以 也是正定阵.0*， 此 时 *命题 4.1.5 设矩阵 为正定阵，则与矩阵 合同的矩阵也是正定阵.AA证明 因为正定矩阵 合同于单位矩阵 ，又因为合同矩阵具有传递性E所以结论成立. 命题 4.1.6 若矩阵 为正定矩阵，那么矩阵 的绝对值最大的元素一定在矩阵的主对角线
28、上.A证明 设 ，0,max0 jijji .00jiji这与矩阵 为正定矩阵矛盾.A例 4.1.1 判断矩阵 是不是正定矩阵 .132B解 因为绝对值最大的元素不在主对角线上，所以矩阵 不是正定矩阵.B4.2 正定矩阵在函数极值中的应用定义 4.2.1 设 元函数 在 的某个邻域内存在n),(21nxfxnRx210一阶和二阶连续偏导数. 记 . 称为函数nffxff )(,)(,)( 02010 )(xf在点 处的梯度，或记为)(xfnx210 ).(0gradf定义 4.2.2 设 元函数 有二阶连续偏导数，并且在),(21nxfx处的一阶偏导全部为零. 则称 为 的一个驻点，则n21
29、),(21nxf阶矩阵.nnn nxxxxxxffffH 212212 1)(称为 在 点的黑塞矩阵.),(21nxf定理 4.2.1 设函数 的一阶和二阶连续偏导数存在. 并且在),()21nxf处的一阶偏导为零. 则由函数二阶偏导所确定的 元黑塞矩阵),(21n n，满足nnn nxxxxxxffffH 212212 1)(（1）当 为正定矩阵时， 在 处取得极小值；)(),(1 （2）当 为负定矩阵时， 在 处取得极大值；2nf（3）当 为不定矩阵时， 在 无极值. )(H),(1xx证明 因为 在 的所有二阶偏导数都存在，所以由泰勒公),(21nfx式得nxxf ,21n2 nn xx
30、fxxx ,2121 )10(,2 21221 其 中！ nnf又因为 在 处的一阶偏导为零，),(1xfx所以 nnixi xxfi ,! 2112 ).,211 nni xjjifji 所以我们可以得到nxfji ,21 ).,21,(,21 njicfnxji 当 时， 所以02nx .ijcnnixiiff ,(!2112ni xjnjijif,211.)112ni jjijnii xcc因为 时 所以存在 的一个领域，使得在这个区域0,2nx .ij x内 的符号与 的符号一fnixiiff ,2112 ni xjnjijif,211致.所以由实二次型及正定矩阵的定义可以证明以上定理
31、的正确性.例 4.2.1 求三元函数 的极值.3212321321 64, xxxf 解 求驻点 0643232321 xxff ，所以驻点为 .,-，求得二阶偏导分别为.0,6,0,2,0,4 3133211 xxxxxx ffffff所以矩阵 ， 由以上判定定理可知 为正定矩阵.6HH所以 在 处取得极小值，极小值为),(321xf1,-，.51,ff例 4.2.2 求三元函数 的极值.321323121 6),( xxxf 解 求驻点 .,79.,0.633232312321 xxff 或，所以驻点为 ， .,01，,792，求得二阶偏导分别为.0,2,0,6,6 13313233221
32、2211 xxxxxxxxx fffffffff所以矩阵 .0H所以矩阵 .261在 处的顺序主子式为,01，.720632601 HH，由定理 3.2.4 知矩阵 不是正定矩阵，所以 不是 的极值点.11,，),(321xf.206542在 处的顺序主子式为1,279，.0142065072654054321 HH，由定理 3.2.4 知矩阵 是正定矩阵，在 处取得极小值，极小值为 2,792，.91,72ff总结与展望正定矩阵在高等代数中有很多重要的应用，其实质就是简化二次型的运算. 本文一共有四章. 第一章主要介绍了本文的研究背景和现状；第二章归纳了部分矩阵知识和二次型知识；第三章通过正
33、定二次型导出正定矩阵的定义，并且整理了正定矩阵的相关知识，着重归纳证明了正定矩阵的六个判定定理及其证明；第四章在前面两部分的知识基础上，给出了正定矩阵的六个命题及其证明，给出了解决了函数极值存在问题的方法，即正定矩阵在函数极值中的应用. 从代数方面解决分析问题，使我意识到数学的跨度非常大，我们应该加强自己的逻辑思维和联想能力并且要学会多方面思考问题.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，也可能总结不太完整，归纳的不够完善，这就希望其它研究者完善，还有它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 本文作者知识和写作水平有限，不足之处请读者和专家批评指正.致 谢在论文完成
34、之际，我首先要向我的指导老师刘老师表示最真挚的谢意，本论文是在导师刘老师的悉心指导下完成的.在论文写作期间，刘老师一边要兼顾自己的学业一边还耐心认真地指导我的论文，不辞辛苦，花费了许多宝贵时间和心血. 导师渊博的学识，宽厚待人的学者风范，严谨求学的治学态度，忘我的敬业精神让我受益匪浅. 能够师从刘先平老师，是我的幸运，更是我的荣幸.衷心感谢和我是同一个指导老师的付江林同学. 感谢他帮助我指正和修改我论文的不足之处. 因为他的帮助我才能顺利完成我的论文.感谢我的室友们，感谢他们的督促与各方面的帮助.还有感谢我的家人们，没有他们的支持，我的论文不可能顺顺利利的完成.最后，向评阅论文和参加论文答辩的
35、老师们表示由衷的感谢.由于我知识水平的限制，再加上我写此论文的时间仓促. 文中难免有错误和有待改进之处. 真诚欢迎各位老师、同学提出宝贵意见.参考文献1 姚慕生. 高等代数 M. 复旦大学出版社, 2007.9.2 王蕚芳. 石生明. 高等代数M. 北京. 高等教育出版社, 2003.9.3 岳贵鑫. 正定矩阵及其应用J. 辽宁省交通高等专科学校学报, 2008, 10(5):31-33.4 周杰. 矩阵分析及应用M. 四川大学出版社, 2009.7.5 王松江. 矩阵不等式 M. 科学出版社. 科学出版社, 2006.5.6 杨文杰. 孙静. 多元函数的极值问题J. 辽宁工业大学学报: 自然
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39、（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：日期： 年 月 日学位论文（设计）版权使用授权书本论文（设计）作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅。本人授权湖北民族学院可以将本论文（设计）的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本论文（设计）。保密 ，在_年解密后适用本授权书。不保密。（请在以上方框内打“”）学位论文作者签名： 指导教师签名：日期： 年 月 日 日期： 年 月 日本论文属于
