1、阿氏圆几何画板作法及应用我们知道，到两定点 F1、F 2的距离之和为定值（大于 F1F2）的点 M 的轨迹为椭圆，而距离之差为定值（小于 F1F2）的点 M 的轨迹为双曲线，那么圆是否有相类似的结论呢？答案是肯定的，事实上满足到两定点 F1、F 2的距离之比为定值 t(t0 且 t1)点 M 的轨迹为圆，这个结论是阿波罗尼(Apollonius，约前260前 190)发现的，所以往往称为阿波罗尼圆。但圆的这一性质比较“隐晦” ，为帮助学生直观理解需要我们创设“所见即所得”的教学情境，本文以几何画板 5.0 为例谈谈在画板环境中阿波罗尼圆的构造方式，并与读者分享画板中自定义工具功能的实现与应用。
2、一、阿波罗尼圆的画板实现1.几何构造法实现阿波罗尼圆步骤 1、构造一直线上两点 F1、F 2，新建参数 t，其初值赋为 2；步骤 2、度量计算 并标记为比t 值，双击点F1标记为中心，选中 F2按标记比值缩放得 到点 P；步骤 3、度量计算 并标记为比t 值，双击点F1标记为中心，选中 F2按标记比值缩放得 到点得到点Q；步骤 4、构造线段 PQ 并构造线段 PQ 的中点 C，以 C 为圆心以 P 为圆上一点构造圆 C。试试效果如何？取圆 C 上任意一点 M 构造线段 MF1、MF 2，并先后选中两线段度量比值，拖动点 M 会发现比值不变并且与参数 t 值恒相等（如图 1 所示） 。2.解析构
3、造法实现阿波罗尼圆步骤 1、在 x 轴上任取两点 F1、F 2， 度量其横坐标将标签分别设为 x1、x 2，新建参数 t 初 值赋为 3；步骤 2、计算 ，选中后点击t 绘图菜单中的在轴上绘制点命令，在弹出窗 口中选择“绘制”按纽得到点 P；步骤 3、计算 ，重复步骤 2 可得到点 Q；12xt步骤 4、同方法一，以 PQ 为直径构造圆 C。我们也可仿照方法一验证效果（如图 2 所示） 。3.实现方法构造详解及比较从以上构造过程我们可以发现，确实阿波罗尼圆关键在于找到 圆与直线 F-1F2的交点 P、Q（因为圆 C 以 PQ 为直径） 。事实上，P、Q 两点一个在 线段 F1F2内一个在线段
4、F1F2外，于是这两个点便称为圆的内分点、外分点；更 进一步地，如果参数 t1，则 Q 点在 F1F2的延长线上，此时圆 C 偏向 F2一侧； 如果图 1图 3图 20t1，则 Q 点在 F1F2的反向延长线上，此时圆 C 偏向 F1一侧。这样，我们可以将实现阿波罗尼圆问题界定为“知三求二”问题：三条件（定点 F1、F 2、定值 t）确实两结论（内分点 P、外分点 Q） ，而确定 P、Q点的位置恰是构造的重点和难点。【评注】方法一将点 F2以 F1为中心进行放缩属于几何构造，而放缩比例分别确定为 、 却1tt是考虑到 的缘故； 方法二则是解析法计算，为将问题简化，我们将 F1、F 2限定在了
5、x 轴12FPtQ上，设 F1(x1,0)、F 2(x2,0)、P(x,0)，由 可得 从而 ，这样便可确定点 P，同12PtF12xt1tx理可得到点 Q。两种构造方法本质上是一致的，都用到了定比分点公式，相比较而言方法一略显繁琐。二、自定义工具的创设及应用1自定义工具的创设以方法 1 为例，先后选中参数值 t、点 F1、点 F2和圆 C，点击工具栏中的自定义工具选项，弹出窗口中选择创建新工具（如图 3 所示） ；在弹出“新建工具” 窗口的工具名称中输入“阿波罗尼圆”点击确实即可。如果在“新建工具” 窗口中勾选显示脚本视图（如图 4 所示） ，我们会发现“阿波罗尼圆”工具的先决条件为度量结果
6、 t、点 F1、F 2，只要给定这三个先决条件便可得到相应的阿波罗尼圆 C，简而言之相当于由条件“度量结果 t、点 F1、F 2”便可得到结论“圆 C”。需要强调的是：一方面创设工具时要关注 F-1、F 2的选中的先后顺序，如果顺序错了得到的结果就“南辕北辙”了；另一方面如果在创建工具过程中同时选中“点 C、线 段 MF1、线段MF2”的话，我们 会发现结论中也多了相应的结果， 读者不妨一试；同时，对于方法二 的构造而言，因为构造过程中依 赖于坐标系，所以在创新工具时 选择对象应包括坐标轴，这样需 要选中轴 x、轴 y、参数值 t、点 F1、点 F2和圆 C，但在“脚本视图”中出现的 先决条件
7、只有“轴 y、轴 x、度量结果 t”（如图 5 所示） ，究其原因在于在工具的操作步骤中画板将点 F1、F 2设置为自由点了。2自定义工具的应用举例案例（2009 年江苏高考第 18 题的推广）：圆 C1和圆 C2的半径分别为 r1、r 2，则平面上存在两个点P 满足：过点 P 有无穷多对夹角为 的直线 l1和 l2，它们分别与圆 C1和圆 C2相交，且直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长比值为 。2r步骤 1、构造线段 r1、r 2，点 C1、 点 C2；以 C1为圆心 r1为半径构造圆 C1，同理得到圆 C2，度量 r1与 r2的线段长的比值并将标签修改为 t；图
8、 4 图 5步骤 2、点击工具栏中的自定义工具选项，选中自定义工具“阿波罗尼圆” ，先后选中比值 t 及点C1、 点 C2，得到相应的阿波罗尼圆 M；步骤 3、以 C1 C2为直径构造圆 N，构造圆 M 与圆 N 的交点 P1、P 2（这便是我们要找寻的定点，如图6 所示） 。步骤 4、过 P1作两条相互垂直的直线 l1、l 2，度量 C1、 C2到两条直线的距离（效果如图 7 所示） 。三、两点思考和启示1教育技术可以为“研究数学”提供有效载体以案例中所涉及问题为例，如果仅以代数推演的方式我们可以得出正确的结论，但只囿于以教师讲述启发学生用“心灵”去想象，对于学生来说除了被动接受一无意义的事
9、实外便无所收获了，而在图 7 创设的情境里学生可以在感受数学结论的真实性的同时产生探究欲望，继而积极探求影响结果的数学本质（当然要达成这一目标还需要我们推敲细节设计过程） ，从而使数学研究成为学生的内在诉求。事实上，以几何画板为代表的教育技术能为学生提供“多元联系表征”的学习环境，因为作为一种认知工具，教育技术能对同一数学对象（数学的概念、法则、表达式、定义等等）给出几种不同表征，从而对学生真实理解数学产生重要影响；与此同时，教育技术能为学生创设数学研究情境，让学生在观察问题、猜想结论、验证猜想、体验本质、归纳和发现新结论的过程中感受数学的全过程。因此我们需要发挥教育技术的力量，更好地组织和管
10、理教学资源，构建交互式、多样化的实验学习环境，呈现“以往教学中难以呈现的课程内容” ；促进学生对数学的基本理解和形成直觉思维，使学生感受“数学是自然的，数学是清楚的，数学是水到渠成的” 。2教育技术支持下的数学情境创设离不开教师的精心设计我们知道，几何画板作为一种动态几何演示软件，可以把抽象的数量、图形关系形象地描述出来，再现真实环境的数形的动态变化过程。但如何利用几何画板构建易于学生理解和接受的问题情境，创建易于学生观察问题、猜想结论、验证猜想、体验本质、归纳和发现结论的数学实验平台，这就离不开教师的精心设计、巧妙构造。一方面我们需要研究技术本身，因为“工欲善其事必先利其器” ，如需要在实践中思考几何画板 5版本的新功能（方法 2 中“在轴上绘制点”便是一例）和目标问题的构造实现方法，使技术成为如纸笔一样方便的数学研究工具（在此一过程中，需要重视自定义工具的创设和应用） 。更为重要的是，我们不应仅仅局限于使用技术的绘图、测算、演示探索功能去组织教学，更应该从方法论高度来认识教育技术，需要设计好数学探究和发现的流程，因为计算机技术本身只是工具，它在数学教学中的优势并不是天然就有的，好的教学设想才是灵魂。 图 6 图 7
