1、正余弦定理的应用题型一 求高度问题例 1 如图所示，A、B 是水平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为45， BAD120，又在 B 点测得ABD45 ，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.跟踪训练 1 (1)甲、乙两楼相距 a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲、乙两楼的高分别是_(2)如图，地平面上有一旗杆 OP，为了测得它的高度 h，在地面上选一基线 AB，AB20 m，在 A 点处测得 P 点仰角OAP30，在 B 点处测得 P 点的仰角OBP45 ，又测得AOB60，求旗杆的高度 h.(结果保留两个有效数字
2、)题型二 三角形的面积公式及其应用例 2 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， B ，cos A ，b .3 45 3(1)求 sin C 的值； (2)求ABC 的面积跟踪训练 2 如图所示，已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为AB2，BC6 ，CDDA4，求四边形 ABCD 的面积题型三 三角形面积的最值问题例 3 已知ABC 的外接圆半径为 R，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足2R(sin2Asin 2C)( ab)sin B，求ABC 面积的最大值2跟踪训练 3 若ABC 的三边长分别为 a，b，c，面积为 S，且 Sc 2(ab) 2，ab
3、2，求面积 S 的最大值题型四 三角形中的综合问题例 4 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为ABC 的面积，满足S (a2b 2c 2)(1) 求角 C 的大小；(2)求 sin Asin B 的最大值34跟踪训练 4 已知ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m( a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2， a2) (1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，C ，求ABC 的面积3题型一 求高度问题例 1 如图所示，A、B 是水平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为45
4、， BAD120，又在 B 点测得ABD45 ，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.解 由于 CD平面 ABD，CAD45，所以 CDAD.因此只需在ABD 中求出 AD 即可，在ABD 中，BDA1804512015，由 ，得 AD 800( 1)(m)ABsin 15 ADsin 45 ABsin 45sin 15800226 24 3即山的高度为 800( 1) m.3跟踪训练 1 (1)甲、乙两楼相距 a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲、乙两楼的高分别是_答案 a， a3233解析 甲楼的高为 atan 60 a，3乙楼的高为 aa
5、tan 30 a a a.3 333 233(2)如图，地平面上有一旗杆 OP，为了测得它的高度 h，在地面上选一基线 AB，AB20 m，在 A 点处测得 P 点仰角OAP30，在 B 点处测得 P 点的仰角OBP45 ，又测得AOB60，求旗杆的高度 h.(结果保留两个有效数字)解 在 RtAOP 中，OAP30， OPh.OAOP h.1tan 30 3在 RtBOP 中，OBP 45，OBOP h.1tan 45在AOB 中，AB20，AOB60，由余弦定理得 AB2OA 2OB 22OA OBcos 60，即 202( h)2h 22 hh ，解得 h2 176.4，h13 m.3
6、312 4004 3题型二 三角形的面积公式及其应用例 2 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， B ，cos A ，b .3 45 3(1)求 sin C 的值； (2)求ABC 的面积解 (1)因为角 A，B，C 为ABC 的内角，且 B ，cos A ，所以 C A，sin A .3 45 23 35于是 sin Csin cos A sin A .(23 A) 32 12 3 4310(2)由(1)知 sin A ，sin C ，35 3 4310又因为 B ，b ，所以在 ABC 中，由正弦定理得 a .3 3 bsin Asin B 65于是ABC 的面积 S
7、absin C .12 12 65 3 3 4310 36 9350跟踪训练 2 如图所示，已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为AB2，BC6 ，CDDA4，求四边形 ABCD 的面积解 连接 BD，则四边形 ABCD 的面积为SS ABD S CDB ABADsin A BCCDsin C.12 12AC180，sin Asin C，S (ABADBCCD)sin A (246 4)sin A16sin A.12 12在ABD 中，由余弦定理得BD2AB 2AD 22ABAD cos A2 24 22 24cos A2016cos A.在CDB 中，由余弦定理得BD2CB 2CD 22C
8、BCDcos C5248cos C.2016cos A5248cos C.cos C cos A，64cos A 32，cos A ，12又 A(0，180)，A120 ，S16sin 120 8 .3题型三 三角形面积的最值问题例 3 已知ABC 的外接圆半径为 R，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足2R(sin2Asin 2C)( ab)sin B，求ABC 面积的最大值2解 由正弦定理得 a2c 2( ab)b，2即 a2b 2c 2 ab.2由余弦定理得 cos C ，a2 b2 c22ab 2ab2ab 22C(0，)，C .4S absin C 2Rsin A2R
9、sin B R2sin Asin B R2sin Asin( A)12 12 22 2 2 34 R2sin A( cos A sin A)R 2(sin Acos Asin 2A)R 2( sin 2A )222 22 12 1 cos 2A2R 2 sin(2A ) 22 4 12A(0， )2A ( ， )sin(2A )( ，1，S(0， R2，34 4 4 54 4 22 2 12面 积 S 的最大值为 R2.2 12跟踪训练 3 若ABC 的三边长分别为 a，b，c，面积为 S，且 Sc 2(ab) 2，ab2，求面积 S 的最大值解 Sc 2(ab) 2c 2a 2b 22ab2
10、ab( a2b 2c 2)，由余弦定理得 a2b 2c 22abcos C，c2(a b) 2 2ab(1cos C) ，即 S2ab(1cos C)，S absin C，sin C4(1 cos C)12又 sin2Ccos 2C1，17cos 2C32cos C150，解得 cos C 或 cos C1(舍去 )sin C ，1517 817S absin C a(2a) (a1) 2 .12 417 417 417a b 2，0a2，当 a1，b1 时， Smax .417题型四 三角形中的综合问题例 4 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为ABC 的面积
11、，满足S (a2b 2c 2)(1) 求角 C 的大小；(2)求 sin Asin B 的最大值34解 (1)由题意可知 absin C 2abcos C.12 34所以 tan C ，因为 0C，所以 C .33(2)由已知 sin Asin Bsin Asin ( A 3)sin Asin sin A cos A sin A sin (0A )，(23 A) 32 12 3 (A 6) 3 23当 A ， 即ABC 为等边三角形时取等号3所以 sin Asin B 的最大值为 .3跟踪训练 4 已知ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m( a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2， a2) (1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，C ，求ABC 的面积3(1)证明 mn， asin Absin B.a b (2R 为ABC 外接圆直径)，a2R b2Ra2 b2，ab，ABC 为等腰三角形(2)解 由题意可知 mp0，即 a(b2)b( a2)0.a b ab.由余弦定理得 4a 2b 2ab(ab) 23ab，(ab)23ab40，ab4 或1(舍)，SABC absin C 4sin .12 12 3 3故ABC 的面积为 .3
