1、1骗 分 导 论Introduction to Score-cheating on Mathematical Olympiad第三版 2009-01-30李博杰0 骗分导论修订引言 数学竞赛三十年风风雨雨，今天终于日趋成熟。而就在 2009 年伊始之时，数学竞赛的题型有了较大规模的变动。首先，选择题被取消，填空题增加一道，一试变成了 100分；其次，解答题增加了一道，二试变成了 200分。这种题型的调整，说明了联赛的题型在向 CMO、IMO 靠拢，难度也会逐渐加大。增多的二试题，将更加注重数论、组合的考察；去除的选择题，不利于“骗分”的实施。尽管如此，我们仍然不能放弃“骗分”的希望。骗分导论，
2、这个来源于信息学竞赛同名文章的题目，吸引了众多学生、教练的关注，我感到有责任将这项工作继续进行下去。前 版骗分导论只有薄薄的 21 页，今天的骗分导论经过全面修订、扩充，达到了 81页，更加异彩纷呈。针对修改后的题型，第三版骗分导论提出更多有价值的数学竞赛多 得分的方案。根据读者的建议，本版骗分导论更加注重对题目的解析。在此，我谨向各 位提出宝贵意见建议的忠实读者致谢。在以前版本的骗分导论中，更多注重的是省内初赛、全国联赛难度的题目，而由于水平所限，未曾涉足 CMO、 IMO难度的题目。如今竞赛水平有所提高，只局限于联赛未免“低龄化”，于是添加了适量高难度的题目，部分内容可能涉及高等数学，供读
3、者选择阅读。我最近参加了 2009全国信息学竞赛冬令营，见到了很多“大牛”，深有感触。在这个牛年说牛的日子里，为了让更多的竞赛大牛出现，我决定大规模添加内容，写一篇名副其实的 关于骗分的导论。信息学竞赛与数学竞赛很多时候是相通的，一些数学命题的发现，往往与计算机有关，而一些计算机中的算法，也许能启迪数学题的思路。我始终坚信，各学科竞赛， 乃至高考学科，都是互相联系的。本文为了更加突出这种联系，有时会引用其他学科竞赛的 试题，或用其他学科的知识求解，希望给读者一些启发。学科竞赛的保送，自 2002 年开始至今，已走过了八年进程。数万学子通过这一途径，进入理想的大学。今天，这个正在成长的制度可能走
4、向她生命中的终结。各种信息显示，自 2010年起，可能将不再有省一等奖的保送生，也就是说，只有进入省队，才有可能获得竞赛的保送资格。事实上，没有保送的竞赛才回归自然。这样，更多的选手参加竞赛是真正出 于对数学的兴趣，而不是功利的目的。这样，我们的竞赛才回归它本身的意义。我衷心希望， 各位读者能细细品味数学竞赛中的美感，陶冶科学世界的情操。本版骗分导论的主要内容有：（由于内容经常修订，难以确定目录页码）第一节 得分最大化骗分的目的第二节 表达规范骗分的基础第三节 变形构造骗分的前期准备第四节 特殊值法骗分的核心技巧 4.1 什么是特殊值法4.2 特殊值法的理论依据4.3 特殊值法在函数不等式中的
5、应用24.4 特 殊 值 法 在 几 何 问 题 中 的 应 用4.5 特 殊 值 法 在 组 合 问 题 中 的 应 用第 五 节 试 探 法 骗 分 的 一 般 策 略5.1 什 么 是 试 探 法5.2 留 心 试 探 中 的 关 系5.3 试 探 法 在 数 列 问 题 中 的 应 用5.4 试 探 法 在 函 数 方 程 中 的 应 用5.5 试 探 法 在 组 合 问 题 中 的 应 用5.6 试 探 法 在 数 论 问 题 中 的 应 用5.7 试 探 法 在 平 面 几 何 中 的 应 用第 六 节 高 效 骗 分 “ 秒 杀 ” 选 择 题第 七 节 高 效 骗 分 提 高
6、填 空 题 正 确 率第 八 节 抓 住 解 答 题 的 每 一 分8.1 减 少 低 级 错 误8.2 尽 可 能 寻 找 思 路8.3 踩 准 采 分 点第 九 节 高 效 骗 分 破 解 难 题9.1 调 整 法 不 等 式 的 终 结 者9.2 二 进 制 追 溯 数 字 的 本 源9.3 反 证 法 草 船 借 箭 的 妙 用9.4 算 两 次 换 个 角 度 看 问 题9.5 归 纳 法 三 生 万 物 的 玄 机第 十 节 瞒 天 过 海 骗 分 的 必 杀 绝 技10.0 瞒 天 过 海 不 露 马 脚10.1 角 度 变 换 笑 里 藏 刀10.2 全 等 相 似 暗 藏 杀
7、 机10.3 作 图 诡 计 增 兵 添 将10.4 不 等 变 形 藏 龙 卧 虎10.5 直 觉 推 断 兵 不 血 刃10.6 巧 用 方 程 一 语 攻 心10.7 文 字 描 述 避 开 逻 辑10.8 曲 解 定 理 狐 假 虎 威10.9 先 猜 结 论 令 敌 失 色10.10 铺 天 盖 地 绝 地 反 击第 十 一 节 实 战 演 习 骗 分 的 实 际 应 用11.12007 年 全 国 联 赛11.22008 年 全 国 联 赛 A 卷11.32008 年 全 国 联 赛 B 卷11.42009 年 中 国 数 学 奥 林 匹 克11.52008 年 国 际 数 学 奥
8、 林 匹 克第 十 二 节 数 学 之 美 数 学 的 广 延 性12.1 美 妙 的 自 然 对 数 e12.2 奇 特 的 黄 金 分 割12.3 物 理 中 的 数 学312.4 化 学 中 的 数 学12.5 生 物 中 的 数 学12.6 信 息 学 中 的 数 学12.7 巧 妙 的 构 造第 十 三 节 不 骗 分 骗 分 的 最 高 境 界13.1 骗 分 的 实 质13.2 调 整 心 态 ， 骗 分 的 心 理 基 础13.3 如 何 做 到 不 骗 分附 录 1 2009 全 国 联 赛 模 拟 题 （ 原 创 ）附 录 2 2009 全 国 联 赛 大 纲附 录 3 数
9、 学 竞 赛 推 荐 书 目附 录 4 竞 赛 保 送 指 南附 录 5 作 者 简 介1 得 分 最 大 化 “ 骗 分 ” 的 目 的在 数 学 竞 赛 中 ， 经 常 有 题 目 难 以 解 出 的 情 况 。 此 时 ， 轻 言 放 弃 ， 意 味 着 考 试 的 失 分 ，一 道 50分 的 二 试 解 答 题 很 可 能 决 定 奖 项 的 取 得 ； 继 续 做 ， 又 毫 无 头 绪 ， 有 可 能 耽 误 更 多 的时 间 。 此 时 ， “ 骗 分 ” 便 成 为 了 我 们 唯 一 的 出 路 。所 谓 “ 骗 分 ” ， 就 是 在 一 时 没 有 好 的 思 路 的
10、情 况 下 ， 尽 可 能 获 得 思 路 ； 即 使 没 有 思 路 ，也 能 尽 可 能 得 到 部 分 分 数 。在 数 学 学 科 竞 赛 中 ， 分 数 是 最 重 要 的 。 时 常 见 到 ， 有 些 同 学 能 力 很 高 ， 经 常 解 出 难 题 ，但 每 逢 考 试 ， 得 分 却 不 理 想 ， 这 不 能 不 说 是 一 种 遗 憾 。 而 另 一 些 同 学 平 时 不 见 起 色 ， 考 试 却每 每 高 分 ， 令 人 费 解 。 对 此 种 矛 盾 ， 本 文 将 略 谈 一 二 。本 文 笔 者 拟 从 数 学 竞 赛 “ 骗 分 ” 的 实 用 策 略 谈
11、 起 ， 以 提 高 数 学 竞 赛 中 获 得 高 分 的 能 力 。由 于 水 平 有 限 ， 难 免 有 错 误 疏 漏 之 处 ， 敬 请 读 者 指 教 。2 表 达 规 范 “ 骗 分 ” 的 基 础表 达 规 范 ， 就 是 学 习 标 准 答 案 的 解 题 模 式 。 要 使 解 答 具 有 层 次 性 ， 分 条 阐 述 。 不 要 几个 式 子 加 一 个 得 数 ， 这 样 很 容 易 误 判 。 表 达 规 范 ， 要 求 书 写 、 卷 面 “ 排 版 ” 整 齐 。 我 们 看 到 ，在 标 准 答 案 中 由 于 计 算 机 排 版 ， 行 距 列 距 、 字
12、体 整 齐 ， 利 于 观 看 ， 我 们 也 很 容 易 理 解 。笔 者 初 中 有 评 阅 数 学 试 卷 的 历 史 ， 同 样 是 一 个 解 答 过 程 ， 有 的 试 卷 愿 意 阅 读 ， 有 的 只想 尽 快 阅 完 放 弃 。 在 高 中 联 赛 的 阅 卷 过 程 中 ， 阅 卷 速 度 很 快 ， 若 阅 卷 人 一 时 无 法 理 解 或 无 法找 到 而 造 成 误 判 ， 造 成 的 损 失 是 无 法 弥 补 的 ， 令 人 后 悔 莫 及 。统 观 全 局 ， 认 为 影 响 解 答 美 观 性 的 因 素 有 ：（ 1） 字 体 。 竞 赛 试 卷 书 写
13、不 是 书 法 比 赛 ， 不 能 行 书 草 书 一 起 上 ， 要 用 楷 体 认 真 书 写 ， 尽量 做 到 笔 画 清 楚 ， 尤 其 是 数 字 和 符 号 清 晰 ， 不 要 有 模 棱 两 可 的 数 字 ， 不 要 连 笔 书 写 ， 这 样 才方 便 阅 卷 。（ 2） 字 号 。 数 学 专 业 书 籍 ， 如 中 等 数 学 ， 一 般 都 以 五 号 字 为 宜 ， 本 文 就 是 以 五 号 字排 印 的 。 我 们 书 写 竞 赛 试 卷 时 ， 尽 量 模 仿 ， 避 免 过 大 导 致 卷 面 不 够 用 ， 或 过 小 导 致 看 不 清 。（ 3） 分 栏
14、 。 数 学 试 卷 的 页 一 般 较 宽 ， 若 通 体 一 栏 ， 既 浪 费 空 间 ， 又 会 导 致 各 行 因 表 达 式长 度 不 同 而 “ 错 落 有 致 ” ， 不 美 观 。 可 以 假 想 在 页 的 竖 直 中 部 有 一 条 线 ， 先 写 左 栏 再 写 右 栏 ，该 换 行 时 及 时 换 行 ， 一 个 等 号 占 一 行 ， 这 样 显 得 规 范 。 不 到 万 不 得 已 ， 不 要 使 用 箭 头 来 回 拐弯 。 （ 4） 分 式 。 对 于 较 大 的 分 式 ， 若 与 普 通 字 行 距 相 同 ， 必 然 导 致 分 子 分 母 的 字 母
15、 、 数 字 过4小 ， 难 以 看 清 。 当 遇 到 复 杂 的 公 式 推 导 时 ， 最 好 增 加 行 距 ， 保 证 分 式 的 字 与 一 般 字 体 一 样 大 。（ 5） 标 记 。 尽 量 注 明 重 要 推 导 步 骤 和 中 间 结 论 的 号 码 ， 用 （ 1） （ 2） （ 3） 表 示 ， 一是 方 便 在 中 间 步 骤 给 分 ， 二 是 以 后 引 用 时 注 明 号 码 来 源 ， 如 “ 由 （ 1） +（ 2） 得 ” ， 逻 辑清 晰 ， 阅 卷 者 能 迅 速 找 到 解 题 根 据 ， 避 免 误 判 。（ 6） 关 联 词 。 在 解 答 过
16、 程 中 应 用 “ 只 需 证 ” “ 下 面 对 进 行 分 类 讨 论 ” “ 下 面 用 数 学 归纳 法 证 明 ” “ 由 上 式 可 得 ” “ 故 ” “ 不 妨 设 ” “ 综 上 ” 等 关 联 词 语 ， 利 于 阅 卷 者 迅 速 把 握 解 题 思路 。 （ 7） 缩 进 。 在 分 类 讨 论 时 ， 可 用 数 字 标 号 （ 1） （ 2） 等 ， 以 提 示 阅 卷 者 ； 标 号 后 紧 跟 条件 “ 当 时 ” ； 类 别 内 的 各 行 讨 论 ， 最 好 从 数 字 标 号 右 侧 开 始 ， 竖 直 方 向 各 标 号 对 齐 ， 以体 现 层 次
17、性 和 逻 辑 性 。 分 类 讨 论 结 束 时 ， 最 好 有 总 结 性 的 结 论 ， 并 采 用 “ 中 间 结 论 标 记 法 ” ，以 便 以 后 引 用 。（ 8） 注 明 定 理 。 有 时 阅 卷 人 一 时 不 知 式 子 来 源 ， 容 易 误 判 。 在 运 用 重 要 定 理 时 ， 注 明在 式 子 的 前 后 ， “ 由 柯 西 不 等 式 得 ” “ 由 梅 涅 劳 斯 定 理 得 ” ， 逻 辑 清 楚 。（ 9） 引 理 。 在 解 决 十 分 复 杂 的 问 题 时 ， 若 能 将 中 间 的 重 要 结 论 写 成 “ 引 理 ” ， 完 整 的 表示
18、 出 来 ， 再 对 引 理 进 行 证 明 ， 会 起 到 强 调 作 用 ， 增 强 解 答 的 层 次 性 。（ 10） 修 改 。 当 部 分 出 现 错 误 时 ， 轻 轻 用 线 划 掉 再 重 写 即 可 ， 不 影 响 整 体 效 果 。 不 要 在式 子 中 间 进 行 修 改 ， 否 则 不 清 楚 。 在 正 式 书 写 之 前 最 好 在 脑 中 把 思 路 理 顺 ， 按 照 正 常 逻 辑 顺序 书 写 ， 尽 量 避 免 大 规 模 涂 改 。（ 11） 推 导 。 在 较 长 的 式 子 推 导 中 ， 最 好 只 保 留 重 要 的 、 有 技 巧 的 变 形
19、 步 骤 ， 其 他 等 价推 导 可 在 草 稿 纸 上 完 成 ， 以 节 省 卷 面 空 间 。（ 12） 结 论 。 题 目 解 完 后 ， 要 有 总 结 性 的 结 论 ， 正 面 回 答 题 目 中 的 问 题 。如 此 种 种 ， 不 再 赘 述 。 表 达 规 范 需 要 长 期 积 累 ， 水 滴 石 穿 ， 最 终 受 益 匪 浅 。 总 之 ， 表 达规 范 ， 好 的 书 写 习 惯 能 令 人 赏 心 悦 目 ， 同 时 迅 速 把 握 解 题 思 路 ， 是 竞 赛 得 分 的 重 要 基 础 。3 变 形 构 造 “ 骗 分 ” 的 前 期 准 备众 所 周 知
20、 ， “ 变 形 ” “ 构 造 ” 是 数 学 竞 赛 解 题 中 的 “ 老 大 难 ” 。 若 能 巧 妙 变 形 、 构 造 ， 就能 观 察 出 题 目 内 含 的 等 量 、 不 等 关 系 ， 为 本 文 后 面 的 “ 特 殊 值 法 ” 和 “ 试 探 法 ” 奠 定 基 础 。例 1 （ 经 典 问 题 ， 2008 年 安 徽 初 赛 ） 求 的 小 数 形 式 的 循 环 节 长 度 。解 2008=23251.251的 欧 拉 函 数 (251)=250. 而 250=253. 对 250的 约 数 从 小 到 大 试验 ， 知 10501（ mod251） 。 故
21、1/2008 的 循 环 节 长 度 为 50.分 析 ： 解 答 似 乎 “ 不 知 所 云 ” ， 因 为 这 涉 及 到 数 论 知 识 。 首 先 ， 10(m)1(modm), 是 欧拉 函 数 的 性 质 ， 在 此 略 去 证 明 。 对 正 整 数 n， 欧 拉 函 数 是 不 大 于 n 的 数 中 与 n 互 质 的 数的 数 目 。 而 1/2008的 循 环 节 长 度 等 于 1/251的 循 环 节 长 度 ， 因 为 循 环 小 数 乘 除 2或 5的 任意 幂 次 ， 循 环 节 长 度 不 变 ， 乘 除 的 2、 5 在 mod10 时 不 会 体 现 。
22、10t1（ modn） 与 循 环 小 数的 关 系 ， 就 是 10t 被 n除 余 数 为 1， 这 样 在 除 法 式 中 ， 除 到 第 t 位 时 余 数 与 开 始 时 相 同 ， 这意 味 着 新 的 循 环 开 始 了 ， 即 t 是 循 环 节 长 度 。 而 251是 质 数 ， 其 欧 拉 函 数 为 251-1=250. 由于 250必 为 循 环 节 长 度 的 整 数 倍 ， 故 一 个 循 环 节 的 长 度 为 250的 约 数 ， 对 约 数 从 小 到 大 逐 一试 验 即 可 。在 本 题 中 ， 联 想 10(m)1 与 循 环 小 数 的 余 数 ，
23、属 于 “ 构 造 ” 的 经 典 。 实 际 上 ， 循 环 小数 的 循 环 节 长 度 问 题 还 与 著 名 的 “ 大 整 数 分 解 问 题 ” 有 关 。 关 于 循 环 节 长 度 的 讨 论 ， 目 前 仅能 就 约 数 一 一 试 验 ， 而 没 有 更 好 的 办 法 ， 由 于 1/p（ p为 素 数 ） 的 循 环 节 长 度 难 以 找 到 规 律 。如 果 能 够 解 决 循 环 节 长 度 问 题 ， 得 出 大 数 的 约 数 ， 解 决 大 数 分 解 问 题 ， RSA 加 密 体 制 的 安120085全 性 将 受 到 极 大 挑 战 ， 并 引 起
24、数 论 界 的 一 次 革 命 。例 2 （ 经 典 问 题 ） 求 .答 案 ： 极 限 为 .分 析 ： 曾 有 一 道 数 学 竞 赛 题 ， 就 是 证 明 该 式 小 于 2. 利 用 了 整 数 的 分 拆 和 放 缩 。这 是 一 个 不 错 的 构 造 的 例 子 。 但 我 们 想 知 道 ， 这 个 “ 放 过 头 ” 的 结 论 显 然 不 是 上 式 的 确界 。 那 么 如 何 求 极 限 ？这 个 问 题 莱 布 尼 茨 和 伯 努 力 都 曾 经 研 究 过 ， 但 是 没 有 结 果 ， 而 欧 拉 运 用 他 娴 熟 的 数 学 技巧 给 出 了 如 下 的
25、算 法 。 他 实 际 上 采 用 了 泰 勒 展 开 的 方 法 （ 请 参 阅 微 积 分 教 程 ） 。已 知 sinZ=Z-Z3/3!+Z5/5!-Z7/7!+ （ 在 此 ， n!表 示 n的 阶 乘 ）而 sinZ=0的 根 为 0， , 2 , （ 表 示 圆 周 率 ）所 以 sinZ/Z=1-Z2/3!+Z4/5!-Z6/7!+ 的 根 为 , 2 , 令 w=Z2,则 1-w/3！ +w2/5!-w3/7!+ =0的 根 为 2， （ 2 )2， 又 由 一 元 方 程 根 与 系 数 的 关 系 知 ， 根 的 倒 数 和 等 于 一 次 项 系 数 的 相 反 数 ，
26、得1/ 2+1/（ 2 )2+1/(3 )2+ =1/3!化 简 ， 得 1+1/22+1/32+ 2/6欧 拉 将 毫 无 关 系 的 三 角 函 数 与 级 数 放 在 一 起 ， 解 决 了 多 年 没 有 结 果 的 问 题 ， 他 的 数 学 运用 能 力 可 见 一 斑 ， 我 们 不 妨 从 他 的 实 例 中 学 习 解 题 的 方 法 技 巧 ， 有 时 大 胆 猜 想 也 是 一 种 不 错的 办 法 。在 “ 骗 分 ” 之 前 ， 先 观 察 式 子 具 有 的 特 征 ， 不 要 急 于 对 整 体 运 用 不 等 式 或 放 缩 ， 而 要 先对 每 个 小 单 元
27、 进 行 恒 等 变 形 或 放 缩 ， 使 各 个 单 元 之 间 建 立 起 关 系 ， 或 有 相 等 、 大 小 关 系 ， 或恰 能 互 相 消 去 ， 或 恰 好 符 合 著 名 不 等 式 的 结 构 ， 达 到 “ 先 局 部 后 整 体 ， 以 局 部 促 整 体 ” 的 目的 ， 也 许 会 柳 暗 花 明 。例 3 设 x,y,z0,x+y+z=3. 证 明 ：证 明 ： 要 证 结 论 ， 即 证分 析 ： 在 这 道 题 中 ， 对 的 局 部 进 行 变 形 、 放 缩 ， 在 解 题 中 十 分 重 要 。 同 时 ，limnni=11i2261+ 122 + 1
28、32 +. 1n2 (k-x)/2 时 ， f(z)0. 即 应 用 单 调 性 可 得 ， 对 0PB,PAPC， 所 以 所 求 的 轨 迹 方 程 为 x2+(y-1)2=4(y 0).3 38 6cos= SA2+AB2+SB2245 - 15 .sin= 1-cos22 65 S SAB= 12 SAABsin4 6.VC-SAB13 S SABBC8 6.VS-ABC=8 6ACPDB9分 析 ： 笔 者 思 考 这 道 题 时 ， 首 先 注 意 到 ABC是 正 三 角 形 ， 然 后 枚 举 几 个 P 点 的 可 能位 置 ， 例 如 ABC 的 三 个 旁 心 ， 以 及
29、 B、 C 两 个 三 角 形 顶 点 。 由 于 两 边 之 和 等 于 第 三 边 的图 形 往 往 是 圆 锥 曲 线 ， 又 发 现 以 上 五 点 位 于 特 殊 位 置 ， 恰 好 共 圆 ， 且 圆 心 位 于 ABC 的 中心 。 这 样 ， P点 的 轨 迹 方 程 就 被 轻 松 确 定 了 。注 意 到 以 上 两 题 都 是 选 自 河 北 省 2008年 初 赛 填 空 题 ， 而 且 都 是 竞 赛 时 得 分 率 较 低 的 题目 。 特 殊 值 法 的 广 泛 应 用 ， 在 此 可 见 一 斑 。 在 解 析 几 何 、 立 体 几 何 题 目 中 ， 若 能
30、 应 用 特 殊 值法 ， 可 以 轻 松 构 造 一 些 “ 意 想 不 到 ” 的 方 法 。 对 于 解 答 要 求 不 甚 严 格 的 选 择 题 、 填 空 题 ， 可以 直 接 出 解 ， 节 省 时 间 ； 对 于 解 答 题 ， 则 可 先 知 结 果 ， 找 到 重 要 关 系 ， 产 生 猜 想 思 路 ， 迈 出重 要 一 步 。4.5 特 殊 值 法 在 组 合 问 题 中 的 应 用在 组 合 问 题 中 ， 我 们 常 常 需 要 寻 找 “ 极 端 位 置 ” ， 从 极 端 情 况 入 手 推 出 矛 盾 ， 或 者 证 明命 题 。 从 这 个 角 度 说 ，
31、 “ 特 殊 值 法 ” 类 似 于 “ 极 端 值 原 理 ” 。极 端 值 原 理 的 方 便 之 处 在 于 ， 假 设 了 最 大 值 后 ， 就 可 以 利 用 其 最 大 性 推 导 ， 其 他 元 素 与它 相 比 都 有 大 小 关 系 ， 在 组 合 问 题 中 大 小 关 系 很 重 要 。 并 对 边 界 提 出 很 高 的 要 求 。 由 于 矛 盾一 般 发 生 在 边 界 位 置 ， 极 端 值 法 十 分 有 效 。 必 要 时 ， 甚 至 可 以 将 所 有 元 素 排 序 ， 这 样 更 有 力 。例 1 试 问 能 否 在 平 面 上 放 置 2008 条
32、线 段 ,使 得 每 一 条 线 段 的 端 点 都 严 格 地 位 于 其 他线 段 的 内 部 ?证 明 假 设 可 以 放 置 2008 条 线 段 ,使 得 它 们 的 4016 个 端 点 全 部 严 格 地 位 于 其 他 线 段 的内 部 . 现 取 一 定 点 O,并 找 出 4016 个 端 点 中 离 点 O 最 远 的 点 A,于 是 ,平 面 上 再 没 有 比 点 A到 点 O 的 距 离 更 远 的 点 (上 述 线 段 的 端 点 ) 了 . 由 于 点 A 严 格 位 于 另 一 线 段 BC 内 部 ,从 而 ,点 A 是 OBC 的 边 BC 上 的 点 .
33、 故 OAx.（ 这 里 用 了 反 证 法 ， 开 始 证 明 唯 一 性 ）则 由 单 调 性 知 f(f(x)f(x)x,与 条 件 矛 盾 。 （ 从 这 里 发 现 ， 解 函 数 方 程 问 题 常 常 需 要 应 用单 调 性 。 所 以 在 解 题 前 应 先 探 讨 函 数 的 单 调 性 、 奇 偶 性 。 ）若 f(x)0, i=1,2,.n ni=1pif(xi) ni=1pif( ni=1pixi ni=1pi). x1=x2=.=xn23真 正 的 变 量 , 而 将 其 他 变 量 视 作 常 数 . 以 x为 自 变 量 的 偏 导 数 记 作 .本 文 仅 以
34、 二 元 函数 为 例 , 说 明 偏 导 数 的 应 用 .对 函 数 ,若 令 , 则 这 样 , 一 元 函 数 的 求 导 公 式和 方 法 都 可 沿 用 到 二 元 函 数 偏 导 数 的 计 算 上 来 .首 先 , 令 , 解 出 若 原 函 数 是 上 的 连 续 函 数 ,则 满 足 的 x为 的 极 值 点 所 对 应 x. 由 于 需 要 引 入 多 元 函 数 的 极 限 , 较 为 复 杂 , 故 这 里 不 对 函 数 的连 续 性 及 其 证 明 进 行 讨 论 . 需 要 指 出 的 是 , 我 们 在 数 学 竞 赛 中 遇 到 的 函 数 不 等 式 一
35、般 是 连 续的 , 由 于 它 是 由 基 本 初 等 函 数 经 过 有 限 次 四 则 运 算 和 复 合 迭 代 得 到 的 .然 后 , 将 代 入 原 函 数 , 得 到 函 数 , 是 y的 一 元 函 数 . 这 样 ,就 将 二 元 函 数 问 题 化 归 成 一 元 函 数 的 极 值 问 题 .至 于 一 元 函 数 的 极 值 问 题 ， 直 接 使 用 导 数 法 ， 或 利 用 函 数 性 质 即 可 解 决 。例 1 a,b,c,d 为 正 数 ， 求 证 ：证 明 ： 记 , 则调 整 法 ， 在 组 合 极 值 问 题 中 也 有 重 要 应 用 。 组 合
36、极 值 的 特 点 是 函 数 中 变 量 多 、 运 算 复 杂 ，直 接 证 明 组 合 不 等 式 较 为 困 难 。 这 时 利 用 调 整 法 ， 固 定 若 干 变 量 ， 考 虑 一 部 分 变 化 时 的 取 值 ；再 让 这 些 变 量 活 动 起 来 ， 求 整 体 的 最 值 。 具 体 来 说 ， 就 是 对 函 数 ,固 定 变 量 x， 得到 , 再 证 明 , 最 后 证 明 ,C 为 待 证 的 常 数 。fx(x,y)f(x,y) g(x)=f(x,y) fx(x,y)=g(x).g(x)=0 x=h(y). R2 g(x)=0f(x,y)x=h(y) f(x
37、,y) f(h(y),y)1b+c+d +1c+d+a +1d+a+b +1a+b+c 163(a+b+c+d) .F(a,b,c,d)= 1m-a + 1m-b + 1m-c + 1m-d - 163mF(a,b,c,d)-F(a+b2 ,a+b2 ,c,d)= 1m-a + 1m-b -( 1m- a+b2+ 1m- c+d2)= m-b+m-a(m-a)(m-b) - 4m-b+m-a = (m-b+m-a)2-4(m-a)(m-b)(m-a)(m-b)(m-b+m-a) 0.F(a,b,c,d)F( a+b2 , a+b2 ,c,d).F(a,b,c,d)F( m4 , m4 , m4
38、 , m4 )=0 1m-a + 1m-b + 1m-c + 1m-d 163m.f(x,y,z)g(y,z) g(y,z)h(x) h(x)C24但 有 时 ， 的 表 达 式 是 分 段 函 数 ， 形 如 , 这 时 需 要 分 段 讨论 ， 类 似 用 导 数 法 证 明 不 等 式 ， 需 要 分 段 证 明 解 决 。从 理 论 上 说 ， 调 整 法 对 多 数 对 称 不 等 式 适 用 。 实 际 应 用 时 ， 可 以 先 代 入 特 殊 值 ， 观 察 对称 式 是 否 满 足 “ 逐 步 调 整 原 理 ” ， 再 决 定 是 否 使 用 调 整 法 证 明 。 因 为
39、 有 的 对 称 式 不 满 足 调 整原 理 ， 但 确 实 在 相 等 处 取 得 最 值 ， 若 盲 目 应 用 调 整 法 只 会 误 入 歧 途 。 尽 管 如 此 ， 调 整 法 仍 不失 为 一 种 解 决 对 称 不 等 式 问 题 的 “ 通 法 ” 。9.2 二 进 制 追 溯 数 字 的 本 源二 进 制 ， 是 计 算 机 采 用 的 计 数 方 式 ， 因 为 它 简 单 ， 只 有 两 种 可 能 ， 便 于 处 理 。 我 国 古 代的 “ 两 仪 生 四 象 ， 四 象 生 八 卦 ” 中 就 包 含 了 朴 素 的 “ 二 进 制 ” 思 想 。二 进 制 在
40、 数 学 竞 赛 中 ， 有 重 要 作 用 。 在 集 合 问 题 中 ， 如 果 涉 及 2的 方 幂 ， 采 用 二 进 制 思想 解 决 问 题 ， 能 把 复 杂 的 取 整 、 同 余 操 作 转 化 为 对 二 进 制 数 位 的 运 算 ， 简 化 思 考 过 程 。例 1 若 x 、 y 、 z (0,1),证 明 x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) 0, (111)= xyz 0 ,所 以 ,x(1 -y)+ y(1- z) +z (1-x)=1- (000)+ (111) 0. 从 而 ,有 求 和 得O( x)O( x) |A(x)|C x12nf(n) 12nf
41、(1)12 , f(2)122 ,f(3) 123 ,.f(m) 12m27矛 盾 . 因 此 ,所 证 命 题 成 立 .分 析 若 采 用 正 面 证 明 ， 由 于 砝 码 的 重 量 难 以 估 计 ， 故 无 从 下 手 。 但 从 反 面 考 虑 ， 发 现恰 好 是 等 比 数 列 ， 求 和 即 矛 盾 。 一 般 来 说 ， 针 对 “ 不 存 在 ” “ 必 可 找 出 ” 一 类 存 在 性 问 题 ，均 可 采 用 反 证 法 解 决 。如 果 把 “ 反 证 法 ” 的 本 质 看 作 是 “ 反 向 思 考 ” ， 那 么 倒 放 法 、 倒 推 法 、 淘 汰 法
42、 也 都 来 源于 “ 反 向 思 考 ” 。 例 如 一 道 著 名 的 国 际 竞 赛 题 ： 运 动 会 开 了 n 天 ， 发 出 m 块 奖 牌 ， 第 一 天 发出 1个 又 余 下 的 七 分 之 一 ， 第 二 天 发 出 2个 又 余 下 的 七 分 之 一 ， 如 此 继 续 ， 直 到 第 n天 把 所有 奖 牌 发 完 。 求 n， m。对 此 题 若 采 用 正 面 方 法 ， 直 接 设 出 n， m 并 进 行 迭 代 推 导 ， 将 难 以 解 决 ， 由 于 迭 代 次 数n、 初 始 状 态 m 都 是 未 知 的 。 然 而 从 给 定 的 “ 最 后 一
43、 天 ” 倒 退 回 去 ， 就 能 得 到 递 推 关 系 式 ，进 而 求 出 通 项 公 式 。 再 利 用 数 论 知 识 ， 即 可 解 决 此 题 。 此 题 已 被 小 学 数 学 竞 赛 采 用 ， 小 学 生不 会 求 递 推 数 列 的 通 项 公 式 ， 也 只 能 采 用 倒 推 的 方 法 逐 步 计 算 。所 谓 “ 淘 汰 法 ” ， 就 是 古 老 的 “ 筛 法 ” 。 我 们 知 道 ， 在 较 早 的 时 候 ， 求 素 数 的 办 法 就 是 “ 筛法 ” ， 将 2n 排 成 一 列 ， 从 小 到 大 扫 描 ， 如 果 当 前 数 未 被 筛 掉
44、， 则 此 数 为 素 数 ， 把 当 前 数 的所 有 倍 数 筛 掉 。 这 种 简 单 的 算 法 有 较 高 的 效 率 ， 至 今 在 笔 算 中 仍 有 实 用 价 值 。我 们 考 虑 对 n个 数 的 排 序 ， 每 次 比 较 两 个 数 的 大 小 。 有 一 种 称 为 “ 快 速 排 序 ” 的 方 法 ，在 最 坏 情 况 下 能 够 用 次 比 较 得 出 顺 序 。 下 面 我 们 证 明 它 的 最 优 性 。 对 n个 数 的任 意 排 列 ， 共 有 n!种 不 同 的 排 列 。 每 次 比 较 ， 能 够 筛 掉 所 有 不 符 合 的 情 况 ， 在
45、最 坏 情 况 下 ，留 下 的 应 该 尽 可 能 多 ， 但 不 少 于 一 半 （ 否 则 我 们 就 用 另 一 半 作 为 结 论 ， 使 情 况 最 坏 ） 。 这 样每 次 问 题 的 规 模 至 多 缩 小 为 原 来 的 一 半 。 所 以 ， 我 们 至 少 需 要 用 次 比 较 。 根 据 近似 公 式 ， . 用 上 文 中 的 渐 进 复 杂 度 记 号 ， 可 表 示 为 . 这 就是 用 最 朴 素 的 “ 筛 法 ” 来 排 序 ， 虽 然 效 率 很 低 ， 但 能 说 明 排 序 比 较 次 数 的 下 限 。在 竞 赛 中 应 用 “ 筛 法 ” ， 主
46、 要 就 是 上 文 中 “ 试 探 法 ” ， 在 所 有 可 能 中 逐 一 讨 论 ， 去 掉 不 合要 求 的 取 值 ， 留 下 可 能 的 取 值 。9.4 算 两 次 换 个 角 度 看 问 题算 两 次 ， 就 是 从 两 个 方 面 考 察 ， “ 换 个 角 度 看 问 题 ” 。先 举 一 个 简 单 的 立 体 几 何 中 的 例 子 。 已 知 圆 锥 的 母 线 长 为 l， 侧 面 的 展 开 图 为 圆 心 角 为 的 扇 形 ， 求 圆 锥 的 底 面 半 径 r。一 方 面 ， 展 开 图 中 扇 形 的 弧 长 为 l ； 另 一 方 面 ， 这 又 是
47、底 面 的 周 长 2r. 所 以 ， l=2r. 故 . 这 样 一 个 简 单 的 例 子 ， 蕴 含 着 “ 算 两 次 ” 的 核 心 思 想 ： 将 一 个 量 用 两 种 途径 表 示 出 来 ， 则 两 边 相 等 ， 起 到 联 系 两 边 的 作 用 。 本 节 原 来 拟 定 的 标 题 “ 搭 桥 接 路 巧 解 题 ”就 是 这 个 意 思 ， 算 两 次 的 中 间 量 实 质 上 是 沟 通 条 件 与 结 论 的 桥 梁 。下 面 我 们 通 过 一 个 引 理 ， 采 用 “ 算 两 次 ” 方 法 证 明 一 道 竞 赛 题 ， 再 对 著 名 的 “ 圆 内
48、 整 点问 题 ” 进 行 初 步 探 究 。引 理 设 y=f(x)为 严 格 的 增 函 数 ， 它 的 反 函 数 为 x=(y),f(0)=0,f(a)=b,a,b 都 是 正 数 ， 曲1=f(1)+f(2)+.+f(m)1- 12mlog2(n!)log2(n!)nlog2nr= l2O(nlog2n)O(nlog2n)28线 y=f(x)的 从 O(0,0)到 B(a,b)的 这 段 弧 上 （ 包 括 端 点 B， 不 包 括 O） 有 L 个 格 点 ， 则 有.证 明 设 A(a,0),B(0,b)， 则 考 虑 矩 形 OABC内 的 整 点 个 数 s， 不 包 括 坐
49、 标 轴 上 的 ， 下 同 。一 方 面 ， 在 曲 边 三 角 形 OAB 内 ， 每 条 直 线 x=k 上 有 f(k)个 格 点 ； 曲 边 三 角 形 OCB 内 ， 每条 直 线 y=h上 有 (h)个 格 点 。 OB 上 的 L个 点 被 重 复 计 算 了 一 次 ， 故. 另 一 方 面 ， 显 然 s=ab. 命 题 成 立 。评 注 用 上 述 证 明 方 法 ， 还 可 求 解 另 一 道 经 典 问 题 ： 已 知 三 角 形 的 三 个 顶 点 坐 标 （ 均 为整 数 ） ， 求 三 角 形 内 部 的 格 点 数 ， 进 而 求 三 角 形 面 积 。例 1 设 nN， 求 证证 明 取 则 L=n。 由 引 理 得 ，下 面
