1、 总结求矩阵的逆矩阵的方法课 程 名 称： 专 业 班 级： 成 员 组 成： 联 系 方 式： 摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.关键词：矩阵 逆矩阵 方法Method of finding inverse matrixAbstract:Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple
2、 and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix.Key words:Matrix inversematrix method正文：1 .引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思
3、想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.2.求矩阵的逆矩阵的方法总结：2.1矩阵的基本概念矩阵，是由 个数组成的一个 行 列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素 表示，其中下标 都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如， 或 表示一个 矩阵，下标 表示元素 位于该矩阵的第 行、第 列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。特别地，一个 矩阵 ，也称为一个 维列向量；而一个 矩阵 ，也称为一个 维行向量。当一个矩阵的行数 与烈数 相等时，该矩阵称为一
4、个 阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个 阶方阵的主对角线上的元素都是 ，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为 ，即： 。如一个 阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个 阶下三角矩阵，而 则是一个 阶上三角矩阵。今后我们用 表示数域 上的 矩阵构成的集合，用 表示数域 上的 阶方阵构成的集合。2.2求逆矩阵的方法：1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1
5、 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且（E-A ） = E + A + A +A121K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A + A )= E-A ,21因A = 0 ,于是得 K(E-A)（E+A+A +A ）=E，21K同理可得（ E + A + A +A ）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A) = E + A + A +A .121K同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A) = E -A + A +（-1） A .121由此可知, 只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵 E A的逆矩阵.K 例2 设 A
6、= ,求 E-A的逆矩阵.032分析 由于A中有许多元素为零, 考虑A 是否为零矩阵 , 若为零矩阵, 则K可以采用例2 的方法求E-A的逆矩阵.解 容易验证A = ， A = ， A =02063064而 (E-A)(E+A+ A + A )=E,所以23(E-A) = E+A+ A + A = .123103622.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵 使 SP,21（1） A=I，用A 右乘上式两端，得：sp211（2） I= As比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩
7、阵I作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A .1用矩阵表示（A I） 为（I A ），就是求逆矩阵的初等行变换 初 等 行 变 换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A的逆矩阵.已知A= .52130解 A I 052130 013/61/0 3/12/4故 A = .1/6/32/在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A不可逆，因为此时表明 =0，则 A 不存在.1例2 求A= .98765432解 A E= 1011
8、0712643.120046321由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3.伴随阵法定理 n阶矩阵A=a 为可逆的充分必要条件是 A非奇异.且ijA =1 nnnA.212121其中A 是 中元素a 的代数余子式.ij ij矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A ，于是有A = nnnA.212121 31A .3证明 必要性：设A可逆，由A A =I，有 = ，则 = ，所以11AI1AI0，即A为非奇异.充分性： 设A为非奇异，存在矩阵B= ，A1nnnA.212121其中AB= nnnaa.212112nnnA.212121= = =IAA.0 1.0同理可证BA=I.
9、由此可知，若A可逆，则A = A .13用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA =I来检验.一1旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 、A 都是非奇异矩阵，且A 为n阶方阵，A 为m阶方阵12 12210120证明 因为 =
10、= 0, 所以A可逆.A2112设A = ，于是有 = ,1WZYXZYX210mnI0其中 X A =I ， Y A =0，Z A =0，W A =I .又因为A 、A 都可逆，用A1n21 12、A 分别右乘上面左右两组等式得：12X= A ，Y=0，Z=0，W= A112故 A = 21120把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：=121.kA112.kA4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 、A 都是非奇异矩阵，则有12=1210A120A证明 因为 =21I122两边求逆得=1210IA120120A所以 =21AI112= 1210A同理可证=121A12
11、210此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA =E，把题目中的逆矩阵化简掉。 1例1 计算（A+4E） （4E-A） （16E-A ）的行列式，其中 A=T12402解 令 =D)16()4()( 2AEEATD= )4()()(1T= = .AE42虽然题目中出现了（4E-A） .但是经过化简之后不再出现此式，因此得1D= =2250
12、0.2例2 已知 n阶矩阵A满足A +2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的逆.2证明 把A +2A-3E=0变形为A +2A-8E=5E，即22（A+4E）（A-2E）=-5E，可得（A+4E）（-A/5+2E/5）=E，所以存在一个矩阵B=-A/5+2E/5，使（A+4E）B=E，由定义得A+4E可逆，且（A+4E） =B=-A/5+2E/5.1另外，有些计算命题中虽出现逆矩阵，但通过适当的矩阵运算可消去，因而不必急于求出逆矩阵.6利用线性方程组求逆矩阵若n阶矩阵A可逆，则A A =E，于是A 的第i列是线性方程组AX=E的解，11i=1,2,n,E是第i个分量是I的单位向量.
13、因此，我们可以去解线性方程组AX=B，其中B=（b ,b ,b ） ,然后把所求的解的公式中的b ,b ,b 分别用12nT 12nE =（1,0,0,0），1E =（0,1,0,0），2，E =(0,0,0,1)n代替，便可以求得A 的第1，2，n列，这种方法在某些 时候可能比初等变换法求逆矩阵稍微简一点.下面例子说明该方法的应用.例 求矩阵A= 的逆矩阵.30103解 设X=（x ,x ,x ,x ,x ） ,B=(b ,b ,b ,b ,b ) 解方程组 1245T12345TAX=B，即：544332211bxbx解得： 51542433 542 42311 )()(bxb然后把B=（
14、b ,b ,b ）列，分别用12nE =（1,0,0,0），1E =（0,1,0,0），2，E =(0,0,0,1)n代入，得到矩阵A 的第1，2 ，3，4，5列，分别用x =( ,0,0,0,0) ,1Tx =(3 , ,0,0,0) ,21x =(3 ,3 , ,0,0) ,323Tx =(3 ,3 ,3 , ,0) ,41x =(3 ,3 ,3 ,3 , )5432TA = .1 123142500这种方法特别适用于线性方程组AX=B比较容易求解的情形，也是很多工程类问题的解决方法.3.结束语：以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识，也许有很多的不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用.参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等数学M.北京：高教出版社，2001.M表示参考的是书J 表示参考的是杂志上的论文分工情况第一，三部分由 完成第二部分由 完成
