1、习题二1.一房间有 3 扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间.假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的.（1）以 X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X 的分布律.（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求 Y 的分布律.解：（1） X 的可能取值为 1，2，3， n，P X=n=P 前 n 1 次飞向了另 2 扇窗子，第 n 次飞了出去= ， n=1，2，)3(（2） Y 的可能取值为 1，2，
2、3P Y=1=P 第 1 次飞了出去= 3P Y=2=P 第 1 次飞向 另 2 扇窗子中的一扇，第 2 次飞了出去= 32P Y=3=P 第 1，2 次飞向了另 2 扇窗子，第 3 次飞了出去= !2.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以 X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律.解： X 可以取值 3，4，5，分布律为106)4,321,5()5( 3,44 10)2,1,()( 3524352 CPXC中 任 取 两 球再 在号一 球 为 中 任 取 两 球再 在号一 球 为 号两 球 为号一 球 为也可列为下表X： 3， 4，5P
3、： 106,3.假设 6 名学生的考试成绩单中有一张有差错，现在随意一张一张地检查直到找出这张成绩单为止以 X 表示一共需要检查的张数，求 X 的概率分布解 对于任意 k=1,2,3,4,5,6， （无论是还原还是非还原抽样）在第 k 次查出有错误的表的概率都等于 1/6（见例 1.10） ，因此 X 的概率分布为61615432X事实上，利用古典型概率的计算公式，可以得同样结果：对于任意 k=1,2,3,4,5,6，有6)1()6(kkP4.有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各 4 杯。如果从中挑 4 杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次.（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率
4、是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验 10 次，成功 3 次.试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的.）解：（1） P (一次成功)= 70148C（2） P (连续试验 10 次，成功 3 次)= 。此概率太小，按实103)769(310际推断原理，就认为他确有区分能力。5. 一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 t 每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？ 0729.).(1.0)( 32525 CqpXP（2）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？ 0856.)1.().(.)9.(1.
5、0)( 545235 C（3）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？ 3225455 90).0().(XP9).(1023C（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？ 401)(1)(6.假设某物资站负责向 15 家化工企业供应硫酸，统计资料表明每家企业每周进料的概率为0.40试求该物资站每周实际供货家数的概率分布，以及每周最多有 8 家企业要求供货的概率 解 以 表示每周要求供货家数，可以视为 =15 次伯努利试验“成功” （进货）的15n次数，每次试验成功的概率为 因此 服从参数为 的二项分布：40.p15),(p150 6.15 kCkkP每周最多有 8 家企业要求供货的概率9.6.01
6、5kP7.实力相当的二人进行某种对抗赛，假设每局都要决出胜负，问对于每个人，是“赛满五局至少三局获胜”的概率大，还是“赛满八局至少五胜获胜”的概率大？解 对于每个人，以 表示“五局三胜”获胜的概率，以 表示“八局五胜”获胜53P85P的概率；分别以 和 表示“五局三胜”获胜的次数和以“八局五胜”获胜的次数那5X8么， 服从参数为 的二项分布， 服从参数为 的二项分布因此，5).0 ,(8X).0 ,(； .3602591)C(5387868885 5453 XP由此可见赛满五局至少三局获胜的概率大8. 假设炮击命中目标的概率为 0.2现在共发射了 14 发炮弹试求，(1) 命中目标的次数的概率
7、分布；(2) 摧毁目标的概率，已知至少两发炮弹命中目标即可将其摧毁解 (1) 以 表示 14 发炮弹命中目标的次数，可以视为 =14 次伯努利试验，每次Xn试验成功的概率为 =0.2，则 服从参数为 的二项分布：p),(pn ,14)0k8.20C1414kP(2) 摧毁目标的概率为 802108.21314 XXP9.假设某药物产生副作用的概率为 2试求在 1000 例服该药的患者中，(1) 恰好有 0,1,2,3 例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值；(2) 最少有一例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值解 设 例服药者出现副作用的人数， =1000， =0.002，则 服从
8、参数为nnpn的二项分布；而根据泊松定理， 近似服从参数为 的泊松分布),(pnn2(1) 恰好有 0,1,2,3 例出现副作用的概率相应为 ； ； 1804.e34 270.e2 7113502nn PP(2) 最少有一例出现副作用的概率67.112nn10.一台设备有 2000 个同型号可靠元件,每个元件的可靠性(无故障工作的概率)为0.9995假如只要三个元件发生故障就势必引起设备的故障试求该设备发生故障的概率p解 设 是 2000 个元件中发生故障的个数，则该设备发生故障的概率为XkkkkXp 20203203 95CP由于 n=2000 充分大，故由泊松定理知 近似服从 的泊松分布因
9、此，X105.2 083.e21! e95C32031 2020 k kkkXpP11.电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求（1）每分钟恰有 8 次呼唤的概率法一： （直接计算）297.!4)(XP法二： P ( X= 8 )= P (X 8) P (X 9)（查 = 4 泊松分布表） 。= 0.0511340.021363=0.029771（2）每分钟的呼唤次数大于 10 的概率。 P (X10)=P (X 11)=0.002840（查表计算）十二 (2)每分钟呼唤次数大于 3 的概率。560.4312.假设在一定时间内通过某交叉路口的救护车的辆数服从泊松分布，而且通过该
10、交叉路口的救护车的平均辆数与时间的长度成正比已知一小时内没有救护车通过此交叉路口的概率为 0.02，试求两小时内至少有一辆救护车通过该交叉路口的概率 解 以 表示在 t 小时内通过此交叉路口的救护车的辆数由条件知，)(tX，其中 是比例系数于是， 服从参数为 t 的泊松分布由条件知，tX)(E)(tX， ，ln50 02.ln .e1P两小时内至少有两辆救护车通过的概率 96.0e1)()(1)2( 5ln2XXXP13.自集合1,2,3中先后抽出两个数，求抽到偶数的次数 的概率分布和分布函数解 易见 有 1,2 等两个可能值设 ，则),(kkA次 抽 到 偶 数第 ， 321312)(01
11、PP于是 的概率分布为X0X随机变量 的分布函数为， 若 ， 若 ， 若 1 03 )(xxF14.盒子中有 5 个球，编号分别为 从中随机取出 3 个球，令 ：取出5,43,21 X的 3 个球中的最大号码 求随机变量 的分布律 求随机变量 的分布函数X解： 的取值为 且X5,43， ， 1035CP10352CXP1065324CXP所以，随机变量 的分布律为：3 4 5P10103106随机变量 的分布函数为：X51403xxF15.已知离散型随机变量 X 的分布函数为 ，求 X 的概率分布，其中)(xF， 若 ， 若 ， 若 ， 若 ， 若 ， 若 5.3 19.0286.150 )(
12、xx解 分布函数的间断点是离散型随机变量的可能值，因此 X 的可能值为0,1,2,3,3.5；分布函数 在间断点 上的跃度等于 ：)(xF0x0XP， ， 1.09)5.3().(5.38.0 2622)1()1 5 FXP于是 X 的概率分布为 1.02.105. 5316. 设随机变量 的分布函数为 ， 若 ；， 若 ；， 若 ；， 若 3 1210 )(xxxF(1) 问随机变量 是离散型的还是连续型的？X(2) 求事件 的概率32,/1,2X解 (1) 由于区间 的每一个数都是 的可能值，可见 不是离散型随机变量由)0( X，312)03()36FXP可见 也不是连续型随机变量，因为连
13、续型随机变量等于任何给定值的概率都等于 0 这样，X既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，我们称之为离散-连续型的(2) 现在求事件 的概率32,/1,2X， ， 032)(03(241216)0()32FXFPP17.某加油站每周的销售量 （千加仑）是一随机变量，其概率密度为X， 若 不 然 ， 若 . 01)1(5)4xxf该加油站每周初将油库充满假如一周内油库被吸干的概率为 1%，试求油库的容积 V解 由题意知，容积 V 满足条件51514)()(d)(501. VxxXVP由此可见 （千加仑） ，即近似 2736（升） 695V18.一食盐供应站的月销售量 X（百吨）是随机变量其
14、概率密度为 ， 若 不 然 ， 若 . 01)1(2)xxf问每月至少储备多少食盐，才能以 96%的概率不至于脱销？解 假设每月至少储备 a 吨食盐，那么满足条件 由于96.0aXP, .)1(d)1(2d)( 20xxfXaP可见（百吨） ，8.4.a即每月至少储备 80 吨食盐19.某地区 18 岁的女青年的血压（收缩区，以 mm-Hg 计）服从 在该地区任选)12,0(N一 18 岁女青年，测量她的血压 X。求（1） P (X105)， P (100x) 0.05.解: 384.061.)417.0()4167.0()1205() 592)83.(1)65(2 50 .74129.741
15、.10.6450 0)(0)2( Xxx xXP故 最 小 的查 表 得20.假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布 已知随机,(N测量的绝对误差以概率 0.95 不大于 20 米，求未知分布参数 解 由条件知，随机误差 e 服从正态分布 ，所以由),(2N，95.0| 20| eP可见2.196. .1，21.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：其 它,05)(xexFX某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开。他一个月要到银行 5 次。以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 Y 的分布律。并求 P（ Y1）
16、。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为 210510510)()( edxedxfXPxX因此 ,43(,)(.,5222 kkYeBY即 .51670483.1867.01 )1356.0()89.7)()(5 55 P22.某仪器上装有三只同样电气元件，其寿命同服从参数为 =1/600 的指数分布已知这各元件的状态相互独立，求在安装后工作的前 200 个小时里，至少有一只元件损坏的概率 解 以 表示第 k 只元件的寿命， 都服从同一指数分布，参数为),2(kXkX=1/600；从而 的分布函数为， 若 ， 若 0 e1)(60xxFx以 表示事件“第 k 只元件在仪器工作的前 20
17、0 个小时里损坏” ，则)3,21(kA； 63.0e1)()(1 )20 32231 60 AXkkP 23.假设一种电池的寿命服从 服从参数为 =1/200 的指数分布有一只电池已经使用了80 小时，求它至少还能再使用 80 小时的概率 解 由条件知，这种电池的寿命 服从参数为 =1/200 的指数分布，从而 的分布函XX数为， 若 ， 若 0 0e1)(2xxFx因此 67.0ee80168,65/20/20/816XXPP24.设随机变量 服从区间 上的均匀分布，求随机变量 的概率密度 ，如果),( Y)(yg(1) ； (2) ； (3) ；2YY1解 随机变量 X 的概率密度和分布
18、函数相应为 若， ，若 ，若， 若 不 然 ；， ，若， 1 0, )( 0)( xxFxxf(1) 当 时显然 ；对于 ，有1,0yyg1,0y， 若 不 然 ；， 若 ； 0 2)( )(2yyXYGPP(2) 当 时显然 ；对于 ，有0yyg；yXyXyYG11 )(PP， 若 不 然 ；， 若 0 )( 2yg(3) 当 时显然 ；对于 ，有)1,0(y)()1,(， 若 不 然 ；， 若 ； 0 11)( | )( yygyXYGPP25.由于加工的误差，钢球的半径 是一随机变量，其概率密度为R， 若 不 然 ， 若 01)1(6)(rrrf试求钢球的体积 和表面积 的概率密度 和 VS)(vfsg解 球体积 和表面积 都是球的半径 的函数：R234,SV球体积 和表面积 的的分布函数分别记作 和 ，则S)(vFsG ；402 43033 d)1(64)( .)()( srRssSsG rFPPvv求导得概率密度 和 ：)(vFf)(Gg ， 若 不 然 ， 若， 若 不 然 ； ， 若 0 4413 0 341432)( sv ssf
