1、第八章 非线性断裂力学,8.1 引言8.2裂纹端部塑性区大小的估计及Irwin修正8.2.1 塑性理论的基本概念: Mises屈服条件和Tresca屈 服条件8.2.2 塑性区尺寸的一级估算8.2.3 塑性区应力松驰的影响塑性区尺寸的二级估算8.2.4 Irwin的等效裂纹修正8.3 Dugdale(D-M)模型8.4 Barenblatt内聚力模型8.5裂纹扩展阻力R和亚临界扩展8.6裂纹端部张开位移(CTOD)8.6.1 COD判据8.6.2 帕里斯(Paris)位移公式,8.6.3 无限远处均匀应力产生的张开位移8.6.4 点力对引起的张开位移8.6.5 分布力引起的张开位移8.6.6
2、D-M模型的裂纹顶端张开位移8.7 J积分8.7.1 J积分的定义8.7.2 J积分的守恒性证明8.7.3 J积分与K及G的关系8.8 非线性区尺度8.8.1 定义8.8.2 Williams和Ewing的方法和Finnie的修正。8.8.3 尹祥础等的结果。,8.2 裂纹端部塑性区大小的估算及Irwin修正 8.2.1塑性理论的基本概念所谓理想脆性材料，即材料直到断裂前其应力应变关系一直服从虎克定律. 岩石介质的性质在高温高压条件下会向塑性转化. 另外由于岩石其本身性质的极端复杂性(不完整性、多相性、非弹性及非均匀性等），再加上环境因素（高温、高压、长时期作用、化学腐蚀, 特别是超临界流体的
3、应力腐蚀等）的影响，在一定差应力条件下，也会像金属类似表现为延性, 在本构关系上与塑性的表现类似. 塑性屈服的判据主要有Mises条件和Tresca条件.,1、Mises屈服条件Mises屈服条件的表达形式：2. Tresca屈服条件,主应力空间中，是Tresca屈服条件表示为一个正六边形柱体,在单向拉伸时,有些材料即使其宏观性质接近弹性体，但是，由于裂纹端部的应力集中程度很高，因此势必产生或多或少的塑性变形，存在着或大或小的塑性区. 不过由于材料性质不同，工作环境各异，裂纹端部塑性区的大小差别很大. 如果令rp表示塑性区的特征尺寸，则比值rp /a表征着塑性区的相对大小. 当rp /a 1时
4、，称之为小规模屈服. 在这种情况下，除了裂纹端部极小的区域内产生塑性变形以外，大部分区域仍处于弹性范围. 对于这种情况，我们可以在线弹性断裂力学的基础上进行适当修正. 8.2.2 塑性区尺寸的一级估算估算裂纹端部塑性区大小的简单方法.,1、I型裂纹裂纹端部的三个主应力为： 设材料服从Mises屈服条件塑性区边界的极坐标形式的曲线方程 (8.10+8.9),8.10,8.9,8.11,图8.1 I型裂纹塑性区的一级估算,平面应力条件下得到：,平面应变条件下得到：,2、II型裂纹裂纹端部的三个主应力为代入(8.10)得到塑性区尺寸为,r02为= 0（即裂纹延长线上）时平面应力的塑性区尺寸.,图8.
5、2 II型裂纹塑性区的一级估算,图8.3 III型裂纹塑性区的一级估算,3. III型裂纹裂纹端部的三个主应力为 （联合8.10，塑性区边界的方程为:）所得到的塑性区外缘是一个圆柱，中心轴即为z轴，在xoy平面的投影是一个圆(图8.3). 和以往的参考文献看法不同，这个结果不分平面应变和平面应力.,8.2.3 塑性区应力松驰的影响塑性区尺寸的二级估算以I型裂纹为例进行分析虚线AB为无塑性区时裂纹端部的弹性应力场. I型裂纹的主要应力分量,图8.4 塑性区尺度的二级估算,在rr0范围内发生塑性屈服，,对于无限远处垂直裂纹面作用均布拉力的情况, 8.2.4 Irwin的等效裂纹修正,塑性区特征尺寸
6、（8.20）,对于高强度钢及某些脆性材料，其KIC较小，而y很高，因而塑性区尺寸a. 这种情况称为小规模屈服. Irwin提出：只需在计算应力强度因子K时，以等效裂纹长度2c代替原裂纹长度2a，则线弹性断裂力学的结论仍然有效. 等效裂纹长度2c选取如下：8.3 Dugdale(D-M)模型 Dugdale也认为，裂纹端部产生塑性区后，可以用一个等效裂纹所代替，如图8.5所示. 裂纹AB长为2a，等效裂纹AB的长度为2c，而 其中 为塑性区尺度.,在塑性区内裂纹实际上没有张开，这一段内的yy=y. 由于AA、BB段实际并未裂开，所以等效裂纹端点A及B处的应力强度因子KI应该为零. 在塑性区内等效
7、裂纹面间相互作用着均匀的拉应力y. y产生的应力强度因子K为负值，因为它的作用是使裂纹闭合. K的绝对值等于外载作用下的应力强度因子K.,图8.5 Dugdale带状屈服模型,塑性区的大小：,将上式与式(8.20)比较可知，二者非常接近(1/0.3183, /80.3927), D-M模型得到的塑性区略大.,8.4 Barenblatt内聚力模型 Barenblatt从分析裂纹端点的应力奇异性出发. 他认为，从物理上考虑，应力奇异性的出现是不合理的. 应力奇异性的出现，是人们所采用的模型的不完善所引起的，不是不可避免的. 为了消除裂纹端点的应力奇异性，他提出了如图8.6所示的内聚力模型. 在裂
8、纹端部的小区域内，二裂纹面间距离很近，所以二表面原子或分子间的内聚力g(x)是不能忽略的.,图8.6 Barenblatt的内聚力模型,内聚力g(x)所对应的应力强度因子KI, 为了消除应力奇异性，外载荷所产生的应力强度因子与之和（代数和）必须为零. 当g(r) =y(常数)时，就得到Dugdale模型.,Barenblatt还研究了裂纹端部的位移，并且得到裂纹端部结构与应力强度因子KI的关系，如图8.7所示. 因此，对于处于平衡状态的裂纹，KI必须为零. 而裂纹端部的构造如图8.7(c)所示，上下二裂纹面在端点处相切. 图8.7 裂纹端部位移、应力及应力强度因子之间的关系,8.5 裂纹扩展阻
9、力R和亚临界扩展塑性条件下的断裂准则. 1、能量观点 对于理想脆性体，其断裂准则为 （ ）能量释放率G(以I型裂纹为例)则为所以一旦加载至G = R. 裂纹开始扩展. 此后，随着裂纹的扩展，G不断增大，而R保持不变. 因此必然发生失稳断裂. 用这样的材料进行断裂实验时，其P（载荷）a（裂纹半长）曲线如图8.8(a)所示. 当载荷P小于某一临界值Pc时，裂纹不扩展；而当P到达Pc时，裂纹即失稳扩展.,8.30,对于通常的韧性材料（如中低碳结构钢），特别是试件厚度很薄，成为平面应力状态时，用这样的试件进行断裂实验，其P-a曲线如图8.8(b)所示（在实际实验中，更常用的是P-曲线，为位移，这里为概
10、念清楚起见，改用P-a曲线进行说明）. 它与图8.8(a)显然不同. 当载荷达到某一载荷Pi时，裂纹开始扩展. 当裂纹扩展很小一段长度a后，如果不进一步增大载荷P，裂纹就不再继续扩展. 只有不断增大P，裂纹才随之不断扩展，这种扩展属于亚临界扩展. 当载荷P达到临界载荷Pc时，裂纹才开始失稳扩展. 在亚临界扩展阶段，必定有关系：因为如果G R，则裂纹将加速扩展.,8.31,图8.8 不同断裂类型的Pa曲线,(a),(b),随着裂纹扩展，a不断增大，因而K及G也不断增大式(8.30). 因此，由式(8.31）可知，在亚临界扩展阶段，阻力R必定随a不断增大，也就是说，在亚临界扩展时，R不是常数，而是
11、a的函数. R随着裂纹长度增大的主要原因，在于裂纹端部塑性区的尺度随着a的增加而增大.,图8.9 阻力(R)曲线,图8.9中三条通过原点的虚线，代表不同应力水平下的能量释放率(或裂纹扩展力)G随a的变化情况.按式(8.30),它是通过原点的直线. 但是，这个公式是线弹性断裂力学的结论. 当裂纹端部产生塑性区后，严格说来，它可能不适用. 不过对于小规模屈服的情形，应该仍然近似适用. 由图中可见，当应力不够大时如图中的G(1), G(2), 虽然裂纹可能扩展，但只能是亚临界扩展. 因为裂纹扩展a后，G R，所以裂纹将发生失稳扩展. 裂纹失稳扩展的条件为：,8.34,8.6 裂纹端部张开位移(CTO
12、D) 8.6.1 COD判据裂纹端部张开位移（Crack Tip Opening Displacement）简称CTOD，是指裂纹端部二裂纹面间张开的距离. 现常常叫做裂纹张开位移（COD），通常以符号表示. Wells提出，每种材料存在一个COD的临界值c. 当裂纹的COD达到这一临界值时，裂纹将失稳扩展. 所以，按照他的提法，裂纹断裂判据为采用Irwin弹塑性区交界点上裂纹面间的张开距离作为CTOD，以后简称COD.,8.35,按Irwin的方法，引入长为2c的等效裂纹后，裂纹前缘坐标的端点也从O点（原裂纹端点）移至等效裂纹端点O处，裂纹面上沿y轴方向产生位移(图8.10).定义为CTOD
13、. 由式(5.29),图8.10 裂纹端部张开位移CTOD,8.36,令 (平面应力)代入上式得由此可见，与KI及GI有非常密切的关系. 因此，在小规模屈服的条件下，下述断裂准则 因此，c也和KIC与GIC一样，是表 征材料抗断裂能力的料常数.,8.37,需要注意的是，原裂纹端部外的屈服段落实际是没有张开位移的，但在按Irwin的方法引入的等效裂纹后，就解除了这个位移约束，该屈服区的上下表面可存在相对位移，造成位移的间断. 因此这段位移是由图8.10的计算模型化引起的. 在实际测试中，多在裂纹自由表面点测试张开位移，并采用如下经验性办法：扣去弹性张开位移以后裂纹自由表面各点的实测张开位移曲线中
14、近似为直线部分(弹性区部分应近似为直线)线性外推到裂纹顶端所得到的张开位移. 8.6.2 帕里斯(Paris)位移公式如图8.11所示的含裂纹板，假定板的厚度为单位1, 受力P作用，现在要求裂纹面上下两点D1、D2沿其联线方向的相对位移. 根据卡斯提杨诺定理(见2.10)，外力作用点沿作用力方向的位移等于应变能对外力的偏导数，故A点沿P方向的位移为,如在A点作用着一对大小相等方向相反和偶力，则上式就表示A点沿P方向的相对位移. 为了求D1、D2点之间的相对位移，可以设想沿D1、D2联线方向引入一对虚力F. 这时系统应变能U就不仅和P、a有关，也和F有关. 即,图8.11 虚力对和相对位移A,虚
15、力对引起的相对位移为按上式先求出偏导数 (它和F有关)，再让虚力F趋于零，这样就可获得没有虚力，仅是力P在D1、D2间的相对位移. 由(5.111)式，在恒载荷条件下，有 ，积分得用KIP、KIF分别代表力P和力F所提供的应力强度因子. 则总的应力强度因子是二者之和，即KI=KIP+KIF,8.39,8.40,因为 ， 故在F0的极限过程中KIF=0. 上式变为这就是帕里斯(Paries)位移公式. 其中第一项是无裂纹时, D1、D2点在力P作用下沿其联线方向的相对位移. 如D1、D2点是裂纹面上下表面的对应点，无裂纹时，D1、D2点重合，没有相对位移，,8.41,即 ，这时注意：在应用这个位
16、移公式时，力P以及D1、D2点的位置是不变的. 裂纹长度（或面积）是变量，积分过程就相当裂纹长度不断增大的过程. 应用上述得到的结果求解不同例子：8.6.3 无限远处均匀应力产生的张开位移,8.42,图8.12 中心贯穿裂纹，受均匀拉应力,如图8.12，无限大板中心贯穿裂纹，长2c，在无限远处作用着均匀的拉应力s. 求距离裂纹中心为处的裂纹张开位移(即D1、D2点相对位移1). 为此在D1、D2处各引入一对虚力F，根据(5.87)式知，该对称的虚力对引起的应力强度因子为无限远处均匀应力在裂纹前端产生的应力场强度因子为 ， 对长为2的瞬时裂纹，,用代替c，就得,由(8.42)式因为当裂纹瞬时长度
17、x. 这时当b时，外力对-P不作用在裂纹面上，互相抵消，KIP=0，故积分下限应为b. 即由于x时KIF没有贡献，xb时KIP没有贡献，故 , 即,8.6.5 分布力引起的张开位移,图8.15 受分布力作用的中心贯穿裂纹,8.6.6 D-M模型的裂纹顶端张开位移,8.5.D-M模型,故裂纹顶端张开位移（即COD）为由于D-M模型对薄板较合适，故是平面应力状态，上式中的E就是E. 即按照上述CTOD的定义，显然它只适用于I型裂纹. 但经过修正后，这一方法也能用之于II、III型裂纹. 这时的定义应分别为：这时的应该称之为裂纹端部滑开位移(II型)及裂纹端部撕开位移(III型).,8.7 J积分 8.7.1 J积分的定义其中W为应变能密度：是积分回路，是从裂纹下表面上一点起，沿逆时针方向，绕过裂纹端点，止于裂纹上表面上一点的任一光滑曲线，如图8.16所示.,8.61,8.7.2 J积分的守恒性J积分的守恒性，即J积分与所选路径无关. J积分的守恒性是J积分可能成为一个有意义的物理量的前提. 8.7.3 J积分与K及G的关系物理意义？在线弹性条件下，非线弹性及弹塑性加载条件下，J积分代表着能量释放率.,图8.16 定义J积分用的简图,8.8 非线性区尺度,
