1、1,第二节,中心极限定理,2,中心极限定理的客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,3,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等.,4,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.,5,中心极限定理，正是从理论上证明，对于大量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总
2、和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函数很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。,6,下面介绍几个常用的中心极限定理。,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,7,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和，本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限.,8,列维一林德伯格中心极限定理,9,（证略）,10,此定理说明,当n充分大时,有,或,11,将n个观测数据相加时，
3、首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计，,例1,解,(1) 当n=1500时，舍入误差之和的绝对值大于15的概率；,(2) n满足何条件时，能以不小于0.90的概率使舍入误差 之和的绝对值小于10,根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时,12,(1),13,(2),数据个数n应满足条件：,即当 时，才能使误差之和的绝对值小于10的概率不小于0.90,14,一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,假设每箱的平均重50千克,标准差5千克. 若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977.
4、,例2,解,由列维-林德伯格中心极限定理,有,总重量,15,所以n必须满足,即最多可以装98箱.,16,下面给出上述定理的一个重要特例。,棣莫弗-拉普拉斯定理,证,由列维一林德伯格定理可知，,17,由列维一林德伯格定理可知，,18,由列维一林德伯格定理可知，,19,或,即有近似计算公式,20,(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换零件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.,例3,问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?,解,某一时刻开动的车床数,要求最小的k,使,由D
5、-L定理,21,这里 np=120, np(1-p)=48,查表得,所以若供电141.5千瓦，那么由于供电不足而影响生产的可能性不到0.001，相当于8小时内约有半分钟受影响，这一般是允许的。,22,例4,解,由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,有,某产品次品率p = 0.05,试估计在1000件产品中次品数在 之间的概率 .,次品数,23,次品数,注,由切比雪夫不等式,显然这是过于保守的估计.,24,练习：,P150 习题五,补充题,3.某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 现独立射击100次,求总分在900分与930分之间的概率
6、.,25,4. 设在某保险公司有1万个人参加投保,每人每年付120元保险费.在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可向保险公司领得1万元,问:(1)该保险公司亏本的概率为多少?(2)该保险公司一年的利润不少于40,60,80万元的概率各是多少?,5. 假设生产线组装每件成品的时间服从指数分布,统计资料表明每件成品的组装时间平均为10分钟.设各件产品的组装时间相互独立.,(1)试求组装100件成品需要15到20小时的概率；,(2)以95%的概率在16小时内最多可以组装多少件成品?,26,解,由中心极限定理知,27,解,由中心极限定理知,28,解,由中心极限定理，,3.某射手打靶,得1
7、0分、9分、8分、7分、6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 现独立射击100次,求总分在900分与930分之间的概率 .,29,解,设一年内死亡的人数为X,则,由D-L中心极限定理,即该保险公司亏本的概率几乎为0.,4. 设在某保险公司有1万个人参加投保,每人每年付120元保险费.在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可向保险公司领得1万元,问:(1)该保险公司亏本的概率为多少?(2)该保险公司一年的利润不少于40,60,80万元的概率各是多少?,30,31,解,设第i件组装的时间为Xi分钟,i=1,100.,利用独立同分布中心极限定理.,(1),5. 假设生产线组装每件成品的时间服从指数分布,统计资料表明每件成品的组装时间平均为10分钟.设各件产品的组装时间相互独立.,(1)试求组装100件成品需要15到20小时的概率；,(2)以95%的概率在16小时内最多可以组装多少件成品?,32,(2),查表得,解得,故最多可组装81件成品。,
