1、1xyOAB0xm6xyOABss6第十章 质心运动定理 动量定理 习题解习题 10-1 船 A、B 的重量分别为 及 ，两船原处于静止间距 。设船 BkN4.23.1m6上有一人，重 ，用力拉动船 A，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一N50起时，船 B 移动的距离。解：以船 A、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即： ，0ixF设 B 船向左移动了 S 米，则 A 船向右移动了 6S 米。由质点系的动量定理得： tvmvBAxF0)( 人 人 BAvv)(人m人tstsBA)(6人)人ss)5.031(6(4.2)s()(43.72ms习题 10-2
2、电动机重 ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长 ，重 ，一端与1PL22P电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重 的物体，设机轴的角速度为3P（ 为常量） ，开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。21CvrCv321ttxyO1P23t1N2CvrCv2r3解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。 122CCvlr2 12cosCxCvtv1313lvrC313cos2Cxvt因为质点系在水平方向上不受力，所以 0ixxF由动量定理得： tFvtlmvtlmv xCCC 0)cos2()cos( 111 3
3、2 111 11132 )cs()cs( CCvtlvtl 111 32oommm1)(cscs2132 Cvtltl tvCo)(32131P2POA03bqxyatmldtxCcos)(3211tdlC)(321tmlxcos)(321)()(321tdlCtmlxsin)(321tPlCi)(321这就是电动机的水平运动方程。习题 10-3 浮动起重机起吊重 的重物，起重机重 ，杆长kN201kNP20，开始时杆与铅垂位置成 角，忽略水的阻力，杆重不计，当起重杆 OA 转到mOA86与铅垂位置成 角时，求起重机的位移。03解：以重物和起重机构成的物体系统为质系。因为质点系在水平方向不受力
4、，所以 0xF0)(xCFdmvconstx 0|0vtCx0dtC。即 OA 运动前后，质点系的质心保持不变。也就是质心守恒。consx当 OA 杆转到与铅垂位置成 角时，质点系质心的横坐标为：0341P2POAbqxyc06211mxxCC20)2()6cos8(0211 baPxxCC0181 ba2xC1451b当 OA 杆转到与铅垂位置成 角时，03质点系质心的横坐标为： 20)2()cos8(20212 bcPxxCC01382 bccC12bx3452cC因为质心守恒，所以，即：21Cx134545bcba134ca)1()( )(26.0mc5eOrtWPGx2C13v1Cvx
5、FyN故，当起重杆 OA 转到与铅垂位置成 角时，起重机向左移动了 0.2662 米。03习题 10-4 匀质圆盘绕偏心轴 O 以匀角速度 转动。重 P 的夹板借右端弹簧推压面顶在圆盘上，当圆盘转动时，夹板作住复运动。设圆盘重 W，半径为 ，偏心距为 ，求任一re瞬时作用于基础和别螺栓的动反力。解：设机座的重量为 G，则当偏心轮转动时，质点系的受力如图所示。当停偏心轮静止时，水平约束力不存在，此时的反力为静反力： ；当偏心轮转动时，存在PWFN动反力： 和 。质点系的受力与运动分xy析如图所示。当偏心轮转动时，偏心轮的动量为： gWevPC11当偏心轮转动时，夹板的动量为： 22Cvg因为夹板
6、作平动，所以其质心的速度等于夹板与偏心轮的切点的速度。切点的运动方程为： texcos，即：tevsin)i(0，故：teCsn2gtPvsi2当偏心轮转动时，机座的动量为： 032gGvC质点系的动量为：6ABab321P gtePWgtPegtWexx sin)(0sinsinttPPyy co0co321GFdtNx式中， ，故：PW，即：tegPWgtPegtedtx coscos)(sin)( 22tFxcos2ydtP，即tegWtegtWetFy cossin)cos( 22tPxs2习题 10-5 大直角锲块 A 重 P，水平边长为 ，放置在光滑水平面上；小锲块 B 重 Q ，
7、a水平边长为 （ ） ，如图放置在 A 上，当小锲块 B 完全下滑至图中虚线位置时，求ba大锲块的位移。假设初始时系统静止。解：建立如图所示的坐标系。由于质点系在水平方向不受力，即 ，所以：0xFxCma0xdtvC7ABabxyABabxyPQs1Cv，故：0|0tCv0dtx，即质心守恒：constC21x)(3231 QPbagPaCsasxC)()3(2)(32QPbss，故：)(32axC)(3)(QPbssQPbaa32bs)(（A 锲块各左移动的位移）QPa习题 10-6 匀质杆 AB 长 ，其 B 端搁置于光滑水平面上，并与水平成 角，当杆倒下l2 0时，求杆端 A 的轨迹方程
8、。解：由于 AB 杆在水平方向上不受力，所以其质心的 坐标守恒。x即： 00coslxCt8xyAB0ANCxyANC),(yBxyCBAgmAg1N2abc xyCBAgmAg1N2abc302质心 C 沿 直线向下运动。0coslx设任意时刻 A 的坐标为 ，则：),(yxcs0llxosin2ly消去 得：，为一椭圆。lylx20)(cos(习题 10-7 图示系统中， ， ， 。设当 A 在斜面上作无初速kgmA4kC203地向下滚过 时，斜面在光滑的水平面上移过 。求 B 的质量。c40cm解：以 A、B、C 构成的质点系为研究对象，其受力如图所示。因为水平方向不受力，所以 ，即：0
9、Cxa90dtvCx1x，故：0|0vtCx，即质心守恒：constdtC12xCBACmcba)(321 BBC mcbacx 6)(3424)(1 BC cbax)20()20()30(2BBCmcbx24)(3842，由 得：BBC cax20)(012 12CxBBB mcbamcb60)(348146)(34B2081034)(9.6kgmB10MCOyFxmgv习题 10-8 质量为 ，半径为 的匀质半圆板，受力偶作用在铅垂面内绕 O 轴转动，转mR动的角速度为 ，角速度为 。C 点为半圆板的质心，当 OC 与水平线成任意角 时，求此瞬时轴 O 约束力（ ） 。34解： 在法向应用
10、牛顿第二定理得： sincosinmgFmaxyn2Csincosin34gRxy34sisi 2RmFxy (1)sincot2gxy质点系的动量： 34mROCmvP34Rt在切向应用动量定理得： ttFdPcossincomgFt xyt i)34(mRdt xycossncogimFxy34cssicRFxy(2)otangxy1112340120)10/(2stNF/得：)1(2)sinco(34cottan2RmFx )ico(sii 222x)sinco(342RFx上式代入（2）得： cos4tanmgxytan3xyFRmF cosin)cos(4cos2mgy )iin(3
11、22RmFy )cosisico(422gy in)1in322RmFy cossi42gy )in(32RFy习题 10-9 重 2N 的物体以 5m/s 的速度向右运动，受到按图示随时间变化的方向向左的力F 作用。试求受此力作和后，物体速度变为多大。解： （向右）smv/51（向左）)04.(6ts04.,2根据动量定理得：12FAxmgNFdtFvmt0tt01上式在水平方向（ 轴）的投影为：x)04.(66004.22.0 dttdmvt 5315 .2. tt . 04.02.tvt )02.5.04().(8.9/26 2t4.5tv76.1t，负号表示此时重物的速度方向左。)/(
12、smvt习题 10-10 在物块 A 上作用一常力 F，使其沿水平面移动，已知物块的质量为 ，Fkg10与水平面的夹角 。经过 5 秒钟，物块的速度从 增至 。已知摩擦因数03s/2s/4，试求 F 的大小。15.0f解：物块 A 的受力如图所示。根据动量定理得： dtFvmt0上式在 轴上的投影为：x dtFmgft )30sin(3cos5005.8.915.86.)24(1 F)9(186.07.0.94.F)(871N13P0v)(aP)(beOC)(ca2ABOMBO的 总 质 量 为杆 1C22Cv1OxrmgRC)(dyv习题 10-11 计算下列刚体在图示已知条件下的动量。解：
13、 图所示刚体的动量为：)(a，方向与 相同。0vgPp0图所示刚体的动量为：)(begvpC方向与垂直于 OC，斜向下。图所示刚体的动量为：)(c21pMamvCx31ay 61222jiap63ayx 617394204.25.arctn361rtarctnxyp图所示刚体的动量为：)(dCvmp2)()(rRrvCcosx cos)(rvC14ABrrlMgmgxyxvOC)(asin)(sinrRvCxjmpy jrirsi)(cos)(习题 10-12 计算下列系统在图示已知条件下的动量。解： )(axdtvA cos)(sin)( rlxrltBx in)(co)(lldtyvB c
14、os2)sin2(lxlxtCx i)co(lldtyvCxMpAx0y cos)(rlxvBxx inPyy cs2lmvpCxxiyyjpiyx jrlMlmirlxMlm sin)(sin2cos)()cos2( 15yxCltOAPWrv的 重 量 不 计滑 块 A)(betaB解： )(b滑块 A 作复合运动。动点：A动系：固连于 T 字杆上的坐标系。静系：固连于地面上的坐标系。绝对速度：A 相对于地面的速度。相对速度：A 相对于 T 形杆的速度。牵连速度：T 形杆中与 A 相重点（牵连点）相对于地面的速度。reavtltsinsiveCx0ytlxBcos2tltldtvx sin
15、2)cs(lyBsin2tltldtvy cos2)si(jpiyx jtlgPitlgPtlgW)cos2()sn2sin( jtlitlpc216xyClllt12P221ABO)(ctD解： )(c质心 运动方程 速度 动量0Ax0dtxvA 02gPpAxA tlysin2tltyAcos2tlycos2tlxBcotldtxvBintlgPpBxin2B 0y0tyB 02ytlxCcoslvCxsintlgPpCxsin1C tlyintlycotlyco21txDcos2tvDxsin2tgPpDxsin1D tlyintlycotlyco21jpiyx jtlgPtltlgPi
16、tlgtlPtlg )cscs0cos2()sn2sisn20( 1111 jtlitlp )0() 11 jtlgPitlgPcos245sn24511习题 10-13 质量为 的子弹 以速度 射入同向运动的质量为 、速度为 的物块mAAvMBv17内，不计地面与物体之间的摩擦。求：（a）若子弹留在物块 内，则物块与子弹的共B B同速度 ；（b）若子弹穿透物块并以 继续前进，则物块的速度 。uAuu解：（a）若子弹留在物块 内，求物块与子弹的共同速度 。B由动量定理得： 0)()( tFMvmxAvuB（b）若子弹穿透物块并以 继续前进，求物块的速度 。AuBu由动量定理得： 0)()( tFMvmuxBABA0vuAB
