1、,应用数学工具解决实际问题，首先，要对被描述的实际问题进行抽象、简化，得到实际的数学模型。数学模型与实际问题之间会出现的误差，我 们称之为模型误差。,其中 是由实验观测得到的常数， 则称 为模型误差， 是 的观测误差。,例如，设一根铝棒在温度t时的实际长度为Lt ， 在t=0 时的实际长度为L0，用lt来表示铝棒在温度为t时的长度计算值，并建立一个数学模型：,在数学模型中，通常要包含一些由观测数据确定的参数。对数学模型中一些参数的观测结果一般不是绝对准确的。我们把观测模型参数值产生的误差称为观测误差。,在解实际问题时，数学模型往往很复杂，因而不易获得分析解，这就需要建立一套行之有效的近似方法和
2、数值方法。我们可能用容易计算的问题代替不易计算的问题而产生误差，也可能用有限的过程代替无限的过程而产生误差。我们将模型的准确解与用数值方法求得的准确解之间的误差称为截断误差或方法误差。,在数值分析中，除了研究数学问题的算法外，还要研究计算结果的误差是否满足精度要求，这就是误差估计问题。在数值计算方法中，主要讨论的是截断误差和舍入误差。,1.2.2 误差与有效数字,定义 1.1 设 是某实数的精确值， 是它的一个近似值，则称 为近似值 的绝对误差，或简称误差。 称为 的相对误差。,用计算机做数值计算时，一般也不能获得数值计算公式的准确解，需要对原始数据、中间结果和最终结果取有限位数字。我们将计算
3、过程中取有限位数字进行运算而引起的误差称为舍入误差。,例如， 如果我们取小数点后四位数字，则 就是舍入误差。,当 时，相对误差没有意义。在实际计算中，精确值 往往是不知道的，所以通常把 作为 的相对误差。,定义1.2 设 是某实值的精确值， 是它的一个近似值，并可对 的绝对误差作估计 ，则称 是 的绝对误差界，或者称误差界。称 是 的相对误差界。,例1.1 我们知道 若取近似值 ，则 ，可以估计绝对误差界为0.002,相对误差界为0.0006。,解 因为实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界一般不超过最小刻度的半个单位，所以当 时，有 ，其相对误差界为,例1.2 测量一木板长是954cm，问测
4、量的相对误差界是是多大？,定义1.3 设 是 的一个近似值，将 写成,(1.2.1),它可以是有限或无限小数的形式，其中 是0，1，9中的一个数字， 为整数。如果,则称 为 的具有 位有效数字的近似值。,可见，若近似值 的误差界是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位有效数字的近似值。,通常在 的准确值已知的情况下，若要取有限位数的数字作为近似值，就采用四舍五入得到的近似值，其绝对误差界可以取被保留的最后数位上的半个单位。,显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面，我们给出相对误差界与有效数字的关系。,例1.3 已知近似数 的相对误差界为0.3%，问 至少有几位
5、有效数字？,1.2.3 函数求值的误差估计,对一元函数 , 自变量 x的一个近似值为 ，以 近似 ，其误差界记作 。若 具有2阶连续导数，与 的比值不太大，则可忽略 的二次项，由Taylor展开式得到 的一个近似误差界：,例1.4 设有长为 ,宽为 的某场地。现测得 的近似值 M,d 的近似值 =90M，并已知它们的差界为 试估计该场地面积 的误差界和相对误差界。,十进制输入计算机时转换成二进制，并对 位后面的数做舍入处理，使得尾数为 位，因此一般都有舍入误差。两个二进制数作算术运算时，对计算结果也要作类似 的舍入处理，使得尾数为 位，从而也有舍入误差。,在实现计算时，计算的最后结果与计算的精确解之间的误差，从根本上说是由机器的舍入误差造成的，包括输入数据和算术运算的舍入误差。因此有必要对计算机数的浮点表示方法和舍入误差有一个初步的了解。有时为了分析某一个计算方法可能出现的误差现象，为了适应人们的习惯，我们会采用十进制实数系统进行误差分析。,这里整数m称为阶码，用二进制表示为 或 1 , S是阶的位数。小数 称为尾数，其中 或 t是尾数部位的位数。S和t与具体的机器有关。,由于计算机的字长总是有限位的，所以计算机所能表示的数系是一个特殊的离散集合，此集合的数称为机器数。,
