1、第一章 质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻 t 质点的位矢为 r,速度为 v ,速率为 v,t 至( t t)时间内的位移为 r, 路程为 s, 位矢大小的变化量为 r ( 或称 r),平均速度为 ,平均v速率为 v(1) 根据上述情况,则必有( )(A) r= s = r(B) r s r,当 t0 时有d r= d s d r(C) r r s,当 t0 时有d r= d r d s(D) r s r,当 t0 时有d r= d r = ds(2) 根据上述情况,则必有( )(A) = , = (B) , vvvv(C) = , (D) , = 分析与解 (1) 质点在 t 至(
2、t t)时间内沿曲线从 P 点运动到 P 点,各量关系如图所示, 其中路程 s PP, 位移大小 r PP,而 r r- r表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)但当 t0 时,点 P无限趋近 P点,则有d rd s,但却不等于d r故选(B)(2) 由于 r s,故 ,即 tsrv但由于d rd s,故 ,即 由此可见,应选(C)td1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢 r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1) ； (2) ； (3) ； (4) trdtrtsd22dtytx下述判断正确的是( )(A) 只有
3、(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率通trd常用符号 vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量； 表示速度矢量；在自然坐标tdr系中速度大小可用公式 计算,在直角坐标系中则可由公式 求tsdv22dtytxv解故选(D)1 -3 质点作曲线运动, r 表示位置矢量, v表示速度, a表示加速度, s 表示路程, a 表示切向加速度对下列表达式,即(1)d v /dt ；(2)d r/dt v；(3)d s/dt v；(4)d v /dt a a下述判断正确的
4、是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解 表示切向加速度 a ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度tdv方向的一个分量,起改变速度大小的作用； 在极坐标系中表示径向速率 vr(如题1 -2 所trd述)； 在自然坐标系中表示质点的速率 v；而 表示加速度的大小而不是切向加速度tsd ta 因此只有(3) 式表达是正确的故选(D)1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法
5、向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量 a 起改变速度大小的作用,而法向分量 an起改变速度方向的作用质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的至于 a 是否改变,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时, a 恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a 为一不为零的恒量,当 a 改变时,质点则作一般的变速率圆周运动由此可见,应选(B) 1 -5 已知质点沿 x 轴作直线运动,其运动方程为 ,式中 x 的单位为m, t 的326tx单位为 s求：(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小
6、；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t4 s时质点的速度和加速度分析 位移和路程是两个完全不同的概念只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等质点在t 时间内的位移 x 的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时, 就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位0xt移的大小和路程就不同了为此,需根据 来确定其运动方向改变的时刻 tp ,求出0dtx0 tp 和 tp t 内的位移大小 x1 、 x2 ,则t 时间内的路程 ,如图所示,21xs至于 t 4.0 s 时质点速度和加速度可用 和 两式计算td2题 1-5 图解 (1) 质点在4.0 s内位移
7、的大小 m3204x(2) 由 dt得知质点的换向时刻为(t0不合题意)s2pt则 m.8021x44所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为 21s(3) t4.0 s时 1s0.4sm8dtxv2s0.42.36ta1 -6 已知质点的运动方程为 ,式中 r 的单位为m, t 的单位为求：jir)(1) 质点的运动轨迹；(2) t 0 及 t 2时,质点的位矢；(3) 由 t 0 到 t 2内质点的位移 r 和径向增量 r； 分析 质点的轨迹方程为 y f(x),可由运动方程的两个分量式 x(t)和 y(t)中消去 t 即可得到对于 r、 r、 r、 s 来说,物理含义不同,(详见题1-1
8、分析).解 (1) 由 x(t)和 y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为 241xy这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示(2) 将 t 0和 t 2分别代入运动方程,可得相应位矢分别为, jr20jir24图(a)中的P、Q 两点,即为 t 0和 t 2时质点所在位置(3) 由位移表达式,得 jijir)()(020212 yx其中位移大小 m6.5)(yxr而径向增量 47.20202r题 1-6 图1 -7 质点的运动方程为 2301tx5y式中 x,y 的单位为m, t 的单位为试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的
9、分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解 (1) 速度的分量式为 ttx601dvy45当 t 0 时, v0x -10 m -1 , v0y 15 m -1 ,则初速度大小为 120sm.8yx设 v0与 x 轴的夹角为,则 23tan0xyv 12341(2) 加速度的分量式为, 2sm60dtaxv2sm40dtayv则加速度的大小为 22s1.7yx设 a 与 x 轴的夹角为 ,则 3tanxy -3341(或32619)1 -8 一升降机以加速度1.22 m -2上升,当上升速度为 2.44 m -1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m计算
10、：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程 y1 y1(t)和 y2 y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为 201aty
11、v2gh当螺丝落至底面时,有 y1 y2 ,即 202011tatvvs75.ght(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m16.0202tyhdv解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小 a g a,螺丝落至底面时,有 2)(10tghs705.at(2) 由于升降机在 t 时间内上升的高度为201athv则 m76.d题 1-8 图1 -9 质点沿直线运动,加速度 a4 -t2 ,式中 a的单位为m -2 ,t的单位为如果当 t 3时, x9 m, v 2 m -1 ,求质点的运动方程分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用
12、积分方法解决由 和 可得 和 如 a a(t)或 v v(t),则tdtxtdvtxv可两边直接积分如果 a 或 v不是时间 t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分解 由分析知,应有 ta0d0v得 (1)0314vt由 tx0d0v得 (2)0421xttxv将 t3时, x9 m, v2 m -1代入(1)、(2)得v0-1 m -1, x00.75 m于是可得质点运动方程为 75.124tx1 -10 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度 aA -B v,式中A、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程分析 本题亦属于运动
13、学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度 v的函数,因此,需将式d v a(v)dt 分离变量为 后再两边积分tad)(v解 选取石子下落方向为 y 轴正向,下落起点为坐标原点(1) 由题意知 (1)vBAtad用分离变量法把式(1)改写为(2)t将式(2)两边积分并考虑初始条件,有 tBA0d0vv得石子速度 )e1(t由此可知当, t时, 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度v(2) 再由 并考虑初始条件有)e(dBtAtytAytBd)e1(d0得石子运动方程 )(2Btt1 -11 一质点具有恒定加速度 a 6 i 4 j,式中 a的单位为m -2 在 t0时,其速度为零,位置矢量
14、 r0 10 mi求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在 Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图题 1-11 图分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量 ax 和 ay分别积分,从而得到运动方程 r的两个分量式 x(t)和 y(t)由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即 和201taxxv,两个分运动均为匀变速直线运动读者不妨自己验证一下201tyyyv解 由加速度定义式,根据初始条件 t0 0时 v0 0,积分可得tt t00)d46(djiavt又由 及初始条件 t0 时, r0(10 m)
15、i,积分可得tdrvttr t0)d46(d0 jvi2)31(t由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x 103 t2y 2 t2消去参数 t,可得运动的轨迹方程3y 2 x -20 m这是一个直线方程直线斜率 , 3341轨迹如图所示tandk1 -12 质点在 Oxy 平面内运动 ,其运动方程为 r2.0 ti (19.0 -2.0t2 )j,式中 r 的单位为m, t的单位为s求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在 t11.0s 到 t2 2.0s 时间内的平均速度；(3) t1 1.0时的速度及切向和法向加速度；(4) t 1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径 分析 根据运动方程可直接
16、写出其分量式 x x(t)和 y y(t),从中消去参数 t,即得质点的轨迹方程平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即 ,它与时间间隔 t rv的大小有关,当 t0 时,平均速度的极限即瞬时速度 切向和法向加速度是指在td自然坐标下的分矢量 a 和 an ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度 a 和 a 得到在求得 t1 时tteadv刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式 求 an2v解 (1) 由参数方程x 2.0 t, y 19.0-2.0 t2消去 t 得质点的轨迹方程：y 19.0 -0.50 x2(2) 在 t1
17、1.00 到 t2 2.0时间内的平均速度 jir0.612ttv(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为jijiji ttyxtyx 0.42d)( vjjia22sm.dtt则 t1 1.00时的速度v(t) t 1 2.0 i -4.0j切向和法向加速度分别为 ttyxtt eeea 22s1 s58.3)d vnntna22m79.1(4) t 1.0质点的速度大小为 12s4.yxv则 7na1 -13 飞机以100 m -1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时
18、,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？题 1-13 图分析 物品空投后作平抛运动忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角 或 由图可知,在特定时刻 t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角 ,可由此时刻的两速度分量 vx 、 vy求出,这样,也就
19、可将重力加速度 g 的切向和法向分量求得解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x vt, y 1/2 gt2飞机水平飞行速度 v100 ms-1 ,飞机离地面的高度 y100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离 m452gyxv(2) 视线和水平线的夹角为 o.1arctnxy(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为 vgtxyrart取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为 2sm8.1arctnsiinvggat 26.9rtocn1 -14 为迎接香港回归，特技演员柯受良在1997年6月1日驾车飞越黄河壶口，如图所
20、示，柯驾车从跑道东端启动，到达跑道终端时速度大小为，他随即以仰角 冲出，飞越跨度达57 m，安全着陆在西岸木桥50v hkm 5上，求：题 1-14 图（1） 柯飞车跨越黄河用了多长时间？（2） 若起飞点高出河面10 m，柯驾车飞行的最高点距河面为几米？（3） 西岸木桥和起飞点的高度差为多少？分析 由题意知，飞车作斜上抛运动，对包含抛体在内的一般曲线运动来说，运用叠加原理是求解此类问题的普适方法，操作程序是：建立一个恰当的直角坐标系，将运动分解为两个相互正交的直线运动，由于在抛体运动中，质点的加速度恒为 g，故两个分运动均为匀变速直线运动或其中一个为匀速直线运动，直接列出相关运动规律方程即可求
21、解，本题可建立图示坐标系，图中 分别表示飞车的最大高度和飞跃跨度 .mxy和解 在图示坐标系中，有（1） tvx)cos(0（2） 21ingy）（3） tvys0(1) 由式（1），令 m，得飞跃时间57xs37.1cos0vxt（2）由式（3），令 ，得飞行到最大高度所需时间0yvgvtsin0m将 代入式（2） ，得飞行最大高度mtm67.02sin0mgvy则飞车在最高点时距河面距离为m m1h.（3）将 s 代入式（2），得西岸木桥位置为37.1mty = - 4.22 m“-”号表示木桥在飞车起飞点的下方.讨论 本题也可以水面为坐标系原点，则飞车在 y方向上的运动方程应为m + 1
22、0201)sin(gtv1 -15 如图所示，从山坡底端将小球抛出，已知该山坡有恒定倾角 ，球的抛射角30，设球被抛出时的速率 v0 19.6 m -1，忽略空气阻力，问球落在山坡上处离60山坡底端的距离为多少？此过程经历多长时间？题 1-15 图分析 求解方法与上题类似，但本题可将运动按两种方式分解，如图（a）和图（b）所示.在图（a）坐标系中，两个分运动均为匀减速直线运动，加速度大小分别为- g 和- g cos，看似复杂，但求解本题确较方便，因为落地时有 y=0,对应的时间 t和 x的值即为本sin题所求.在图（b）坐标系中，分运动看似简单，但求解本题还需将落地点 P的坐标 y与 x的关
23、系列出来.解 1 由分析知，在图（a）坐标系中，有（1）20 )sin(1)cos( tgtvx（2）coiny落地时，有 y=0，由式（2）解得飞行时间为s31.20tan2gvt将 t 值代入式（1），得m1.2630gvxOP解 2 由分析知，在图（b）坐标系中，对小球 （1）tvx)cos(0（2）21ingty对点 P （3）tax由式（1）、（2）可得球的轨道方程为（4）20costnvgy落地时，应有 ，即 60cos260tan3tvgxx解之得落地点 P的 x坐标为（5）gx320则 m1.2630cosgvxOP联解式（1）和式（5）可得飞行时间 s.t讨论 比较两种解法，
24、你对如何灵活运用叠加原理有什么体会?1 -16 一质点沿半径为 R 的圆周按规律 运动, v0 、 b 都是常量(1) 求 t 201btsv时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于 b？(3) 当加速度达到 b 时,质点已沿圆周运行了多少圈？分析 在自然坐标中, s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标由给定的运动方程 s s(t),对时间 t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量 a ,而加速度的法向分量为 an v2 /R这样,总加速度为 a a e anen至于质点在 t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量 s st -s0因圆周长为2R,质
25、点所转过的圈数自然可求得解 (1) 质点作圆周运动的速率为 btts0dv其加速度的切向分量和法向分量分别为, tsat2 Rtan202)(故加速度的大小为 )(4022btattnv其方向与切线之间的夹角为 Rbtatn20)(rcr(2) 要使 a b,由 可得bR402)(1vt0(3) 从 t0 开始到 t v0 /b 时,质点经过的路程为 bst20v因此质点运行的圈数为 bRsn4220v1 -17 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内 ,其角速度与时间的平方成正比在t2.0 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m -1求：(1) 该轮在 t 0.5的角速度,轮缘一点的切向
26、加速度和总加速度；(2)该点在2.0内所转过的角度分析 首先应该确定角速度的函数关系 kt2依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数 k, (t)确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移解 因 R v,由题意 t 2 得比例系数 32sradRtkv所以 )(t则 t0.5 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为 12srad5.0t24dtsm.1Rat总加速度 nttne22s01.a在2.0内该点所转过的角度 rad3.5d202020 tt1 -
27、18 一质点在半径为0.10 m的圆周上运动,其角位置为 ,式中 的单位为34trad,t 的单位为(1) 求在 t 2.0时质点的法向加速度和切向加速度(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时, 值为多少？ (3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到解 (1) 由于 ,则角速度 在 t 2 时,法向加速度和切向加342t21dt速度的数值分别为 22ssm30.ratns284dtt(2) 当 时,有 ,即21/tnta2nt4143tr得 321t此时刻的角位置为 rad5.43t(3
28、) 要使 ,则有tna4221trtt 0.551 -19 一无风的下雨天,一列火车以 v120.0 m -1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75角下降求雨滴下落的速度 v2 (设下降的雨滴作匀速运动)题 1-19 图分析 这是一个相对运动的问题设雨滴为研究对象,地面为静止参考系,火车为动参考系 v1 为相对 的速度, v2 为雨滴相对的速度,利用相对运动速度的关系即可解解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为 v1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2 ,旅客看到雨滴下落的速度 v2为相对速度,它们之间的关系为 (如图所示),12v于是可得 1o12sm36.57tan1 -20 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为 v1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前 角,速率为 v2,若车后有一长方形物体,问车速 v1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？分析 这也是一个相对运动的问题可视雨点为研究对象,地面为静参考系,汽车为动参考系如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度 v2的方向)应满足 再由相对速度的矢量关系 ,即hlarctn 12v可求出所需车速 v1题 1-20 图解 由 图(b),有12v cosinart21v而要使 ,则hlarctnhlcosin21vli21
