1、机密启用前湖北省咸宁市学年度上学期高二期末考试数学(理科 )试卷咸宁市教科院命制 考生注意: 考试时量为分钟,满分为分. 答题前,考生务必将自己的学校、姓名 、班级、准考证号填写在答题卡上.同时阅读答题卡上面注意事项. 所有题目答案均写在答题卡上.一、选择题(本大题共小题 ,每小题分,共分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的把正确的答案填在答题卡相应的位置上 ) x x已知命题 p: x ,总有(x )ex ,则 p 为( )A B x 使得(x )e x 使得(x )eC D x ,总有(x )ex x ,总有(x )ex已知空间向量 a (,),b (x, ,),且 a
2、 b,则 x () A B C D 袋中装有红球个、 、 , , ( )白球 个黑球 个从中任取 个则互斥而不对立的两个事件是A 至少有一个白球;都是白球 B 至少有一个白球;至少有一个红球C 至少有一个白球;红、黑球各一个 D 恰有一个白球;一个白球一个黑球已知直线 l 过定点 P( ,),且与以 A( , ),B( , )为端点的线段(包含端点) 有交点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( ) , ( ,)A B ( , , ) ( , ) (, )C D 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念, 制定节能减排的目标 ,先调查了用电量 y (单位:度)与气温 x(单位 : )之间的
3、关系,随机选取了天的用电量与当天气温,由表中: , : , ( )y x a 数据得线性回归方程 则由此估计 当气温为 时 用电量约为x(单位: ) y(单位:度) A B C D 度 度 度 度 已知圆 C :xy x y ,圆 C :x y x y ,则圆 C与圆 C 的位置关系是( )A B C D相离 相交 外切 内切咸宁市高二理数期末试卷 第页 (共页 ) 某赛季甲、乙两名篮球运动员场比赛得分的茎叶图如右图所示,已知甲得分的极差为,乙得分的平均值为 ,则下列结论错误的是 ( )AxB 甲得分的方差是C 乙得分的中位数和众数都为乙得分的方差小于甲得分的方差如右图, A(,),B(,),
4、 P(,)AB OB , D 已知 从点 射出的光线经直线 反射后再射到直线 上最后经直线 OB 反射后又回到 P 点, ( )则光线所经过的路程是ABCD 公元年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术, 利用割圆术得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值,这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图 ,则输出 n 的值为( )sin sin (参考数据: , , )A B C D x y a b 已知 F,F 是双曲线 C: (a ,b )的左、右焦点,若直线 y x 与双曲线 C 交于 P,Q 两点,且四边形 PF
5、QF 是矩形,则双曲线的离心率为( )A B C D x y , , ( , ) ,x y 满足约束条件x y 若目标函数 z ax by a b 的最大值为 则xya b ( ) 的最小值为A , B p ( ) C , D , , 如图所示 过抛物线 x p 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A B 交其准线| | | | | |l于点 C,若 BC BF ,且 AF ,则此抛物线的方程为( )Ay xBy xC y xD y x咸宁市高二理数期末试卷 第页 (共页 )二、填空题(本大题共有小题 ,每小题分,共分 把答案填在答题卷相应的位置上)x y x y 已知椭圆 与双曲线 m 有
6、共同的焦点 F,F,则 m 若“x a”是“x x ”成立的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 从 , 中任取两个不同的数,则取出的 个数之差的绝对值小于或等于 的概率为 设集合 A(x,y)| m (x)y m,x,yR ,B(x,y)|mxy m,x,yR,若 AB,则实数 m 的取值范围是 三、解答题(本大题共小题,共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )(本小题满分分)已知 p:xR,axx,q:x ,ax () 若 p 为真命题,求实数 a 的取值范围 ; ()若 pq 为真命题,且 pq 为假命题 ,求 a 的取值范围(本小题满分分)已知直线xy与直线 xy交于点 P(
7、) 求过点 P 且平行于直线xy的直线方程;(结果写成直线方程的一般式 ) ()求过点 P 并且在两坐标轴上截距相等的直线方程(结果写成直线方程的一般式 )(本小题满分分)某同学为了计算函数 ylnx 图象与 x 轴, 直线 x, xe 所围成形状 A 的面积,采用“随机模拟方法”, 用计算机分别产生个在 ,e 上的均匀随机数 xi( i)和个在, 上的均匀随机数 yi(i),其数据记录为如下表的前两行 xi yi lnxi () 依据表格中的数据回答,在图形 A 内的点有多少个, 分别是什么 ? ()估算图形 A 的面积(本小题满分分)某工厂有工人名,其中名工人参加过短期培训( 称为 A 类
8、工人),另外名工人参加过长期培训(称为 B 类工人) 现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分两层)从该工厂的工人中共抽查 名工人,调查他们的生产能力 (生产能力指一天加工的零件数) 从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表和表:咸宁市高二理数期末试卷 第页 (共页 )表:生产能力分组 , ) , ) , ) , ) , ) x 人数表:生产能力分组 , ) , ) , ) , ) y 人数() 求 x,y 的值;() 在答题纸上完成频率分布直方图; 并根据频率分布直方图, 估计该工厂 B 类工人生产能力的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)和中位数(结果均保留一
9、位小数)(本小题满分分)在ABC 中, D,E 分别为 AB,AC 的中点,AB BCCD, 如图 以 DE 为折痕将 ADE 折起,使点 A 到达点 P 的位置, 如图() 证明:平面 BCP平面 CEP; ()若平面 DEP平面 BCED,求直线 DP 与平面BCP 所成角的正弦值 (本小题满分分)C: (a b ) , P已知椭圆 a b 的离心率为 椭圆上动点 到一个焦点的距x y离的最小值为 () ()求椭圆 C 的标准方程;() 已知过点 M(,)的动直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, 试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点,并说明理由咸宁市高二理数期末试卷 第页 (共页
10、)湖北省咸宁市学年度上学期高二期末考试 数学( 理科)参考答案、提示及评分细则一、选择题(本题共小题,每小题分,共 分.) 题号A C C A A B B D B C B C答案二、填空题 (本大题共有小题 ,每小题分,共分.)a , 三、解答题 (本大题共 小题,共 分 .) ()当 a 时, x 不恒成立,不符合题意;当 时 a 解得 综上所述 分a ,a,:a ( ) a () x ,a x 则 a ( 分) 因为 p q 为真命题 ,且 q q 为假命题 ,所以 p 真 q 假或 p 假 q 真, a当 真 假 有 即 分p q , , a ( ) a 当 假 真 有a则 无解 分p
11、q , , a ( ) a 综上所述, a ( 分) 联立 x y 解得 x 分 , , P(,) ()x y y ()设平行于直线 x y 的直线 l 的方程为 x y m , 把 P(,)代入可得: m ,解得 m 过点 P 且平行于直线 x y 的直线 l 的方程为 x y ( 分)() , : ( )当直线 l 经过原点时 可得方程为 y x 分 , : , (,) , 当直线 l 不过原点时 可设方程为 y x a 把 P 代入可得 a 可得 a 直线 l 的方程为 x y ( 分) 综上可得:直线 l 的方程为 x y 或 x y ( 分) () 根据题意,画出图形,如图所示:由
12、yilnx i 得表格中的数据满足条件的点,即在图形 A 内的点有个,分别是( ,),(, ),( ,),( , ),(,),( ,); (分)() 由( )知,表中个点(x i,yi)满足 yi f(xi)的点有个,咸宁市高二理数期末测试卷参考答案 第页 共页记 A 的面积为 S, S , e 即估计图形 A 的面积为 (e) (分)() 由题意知 A 类工人中应抽查名 ,B 类工人中应抽查名故x,得 x,y,得 y (分) ( )频率分布直方图如下: (分) xB 中位数为 即平均数为, 中位数为 (分)() 证明:在题图中,因为 ABBCCD ,且 D 为 AB 的中点 由平面几何知识,
13、得 ACB 又因为 E 为 AC 的中点,所以 DE BC ( 分) 在题图 中,CE DE,PEDE,且 CE PE E,所以 DE 平面 CEP, ( 分) 所以 BC 平面 CEP又因为 BC 平面 BCP,所以平面 BCP 平面 CEP ( 分) ()因为平面 DEP 平面 BCED,平面 DEP 平面 BCED DE,EP平面 DEP,EPDE所以 EP平面 BCED又因为 CE平面 BCED,EPCE E , , ,所以 以 为坐标原点 分别以 ED EC EP 的方向为 x、 、 轴 y 轴 z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ( 分) 在题图 中,设 BC a, 则 A
14、B a,AC a,AE CE a,DE a则 P(, a),D(a,),C(, a,),B(a, a,) ( , ), ( ,), (, , ) 所以 DP a a BC a CP a a 设 为平面 的法向量 则 n ,即 ,BC ax y( , ,), , n x z BCP , CPn ay az 令y ,则 z 所以 n (,) ( 分) 设 DP 与 BCP 平面所成的角为 ,咸宁市高二理数期末测试卷参考答案 第页 共页 DP a n n, ( )则 sin cos DP DP a 分n 所以直线 DP 与平面 BCP 所成角的正弦值为 ( 分)() 由题意 ac ,故 ac,又椭圆
15、上动点 P 到一个焦点的距离的最小值为 (),所以 a c ,解得 c,a ,所以 b ac ,所以椭圆 C 的标准方程为 x y (分) () 当直线 l 的斜率为时,令 y,则 x,此时以 AB 为直径的圆的方程为 x (y) 当直线 l 的斜率不存在时,以 AB 为直径的圆的方程为 x y ,联立 x ( y ) ,解得 x,y,即两圆过点 T(,) (分) x y 猜想以 AB 为直径的圆恒过定点 T(,)对一般情况证明如下:设过点 M(,)的直线 l 的方程为 ykx与椭圆 C 交于 A( , ), ( , ),x y B x y则 整理得y kx , x y , ( k )x kx , 所以 x x k ,xx k k (, )( ,) ( )因为 TA TB x x xx y y yy y yxx (kx )(kx ) (kx kx ) (k )xx k(x x) (k ) k ( k ) k k k , 所以 TATB所以存在以 AB 为直径的圆恒过定点 T,且定点 T 的坐标为(,) (分)咸宁市高二理数期末测试卷参考答案 第页 共页
