1、 1 / 4菱形，矩形，正方形典型例题例 1 如图，在菱形 ABCD 中， E 是 AB 的中点，且 ，求：aABDE,（1） 的度数；（2）对角线 AC 的长；（3）菱形 ABCD 的面ABC例 2 已知：如图，在菱形 ABCD 中， 于 于 F求证：AE=AFABCED,例 3 如图，已知四边形 和四边形 都是长方形，且 ABCDEFDFA求证： 垂直平分 GHF例 4 如图， 中， ， 、 在直线 上，ABCDAB2EFCD且 CFDE求证： AB例 5 如图，在 中， ， 为 的中点，四边形 是平行四RtABC90EABBCDE边形求证： 与 互相垂直平分DE2 / 4例 6、如图，在
2、是ABC 中，ACB=90，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，点F 在直线 DE 上，AF=CE（1）说明，四边形 ACEF 是平行四边形；（5 分）（2）当B 的大小满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形？说明理由 （4 分）（3）四边形 ACEF 可能是正方形吗？说明理由 （3 分）例 7、如图，ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点 O 作直线 MNBC,设 MN 交BCA 的平分线于 E，交BCA 的外角平分线于点 F（1）说明：EOOF（2）当点 O 运动到时，四边形 BEFC 可能是菱形吗？并说明理由（3）当点 O 运动到何处时，四边形 AEC
3、F 是矩形？并说明理由（4）在（3）的条件下，当ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？并说明理由巩固练习1、梯形 ABCD 中，ADBC,BD 平分ABC,C=60,当 AB=CD=4 时，梯形 ABCD 的周长 2、 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 ， AB CD， 对 角 线 AC 平 分 BAD， B 60， CD 2cm， 则梯形 ABCD的面积为 3如图,梯形 ABCD 中， AD BC， AC 为对角线， AE BC 于 E， AB AC，若 ACB=30， BE=2.则 EC=_. 5在梯形 ABCD 中， AD BC， AB=AC，若 D=110， ACD=30
4、，则 BAC 等于 7直角梯形一腰长 16 cm,该腰和一个底所成的角为 30,那么另一腰长_ cm.9、如图，等腰梯形 ABCD 中， AD BC， AB=DC， AC BD，过 D 点作 DE AC 交 BC 的延长线于E 点.求证：四边形 ACED 是平行四边形；若 AD=3， BC=7，求梯形 ABCD 的面积.CDEABFO FEC DBNMAA DB C E60DCBABACD3 / 4参考答案例 1 分析 （1）由 E 为 AB 的中点， ，可知 DE 是 AB 的垂直平分线，从而ABDE，且 ，则 是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出 （2）DBAAB而 ，利用勾股定理可以求
5、出 AC （3）由菱形的对角线互相垂直，可OC,知 .2S解 （1）连结 BD，四边形 ABCD 是菱形， .是 AB 的中点，且 ，EABE 是等边三角形， 也是等边三角形ABDD .1206C（2）四边形 ABCD 是菱形， AC 与 BD 互相垂直平分， .aO ，aBA23)(22.32aAOC（3）菱形 ABCD 的面积 .1DACS说明：本题中的菱形有一个内角是 60的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点例 2 分析 要证明 ，可以先证明 ，而根据菱形的有关性质不难证FEFBE明 ，从而可以证得本题的结论DCBE证明 四边形 ABCD 是菱形， ，且 ，DC
6、, 90FCBE ， ，B，A ， .F例 3 解答：连结 AC. 四边形 ABCD 为菱形， ， . 60DBADCB 与 为等边三角形. AC 60,A ，EF ，60 为等边三角形. A EF ，CEFABEC 18 说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连 AC，证 ACFBE例 4 分析 由已知条件可证明四边形 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以GDH4 / 4及等腰三角形的“三线合一”可证明 垂直平分 GHCF证明：四边形 、 都是长方形ABCDE ， ， ，FE/ 90BDBA四边形 是平行四边形G ，在 和 中HBCDF ，BHDCF四边形 是平行四边形G四边形 是菱形H 平分 平分 H 垂直平分 F例 5 分析 要证 ，关键是要证明四边形 是菱形，然后利用菱形的性质ABEAG证明结论证明 四边形 是平行四边形CD ， ， ，A/BHG/E1 ，在 和 中 BGEA321 AD 2B同理： H B/四边形 是平行四边形G 四边形 是菱形A EAF例 6 分析 要证明 与 互相垂直平分，只要证明四边形 是菱形所以要连CDADCE结 D证明 在 中， 为 的中点RtBE 四边形 是平行四边形 ，A/ ，EC四边形 是平行四边形B 是菱形 与 互相垂直平分DCEACDE
