1、第二章 逻辑代数基础,2.1 概述,基本概念逻辑：事物的因果关系二值逻辑：只有两种对立逻辑状态的逻辑关系在二值逻辑中的变量取值： 0/1逻辑运算：根据事物的因果关系进行的推理运算逻辑代数：逻辑运算的数学基础,1849年英国数学家乔治布尔(George Boole)首先提出了进行逻辑运算的数学方法布尔代数。后来，由于布尔代数被广泛应用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计中，所以也将布尔代数称为开关代数或逻辑代数。逻辑代数就是布尔代数在二值逻辑电路中的应用。虽然有些逻辑代数的运算公式在形式上和普通代数的运算公式雷同，但是两者所包含的物理意义有本质的不同。逻辑代数中也用字母表示变量，这种变量称为
2、逻辑变量。逻辑运算表示的是逻辑变量以及常量之间逻辑状态的推理运算，而不是数量之间的运算。在二值逻辑中，每个变量的取值只有0和1两种可能，只能表示两种不同的逻辑状态，我们能够通过采用多变量的不同状态组合表示事物的多种逻辑状态，达到处理任何复杂的逻辑问题的目的。,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,与（AND） 或（OR） 非（NOT）,以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开； 以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮； 三种电路的因果关系不同：,逻辑与（逻辑相乘） （注意没有逻辑除）,条件同时具备，结果发生 Y=A AND B = A&B=AB=AB,真值表：,逻辑符号,逻辑或（逻辑相加） （注意
3、没有逻辑减）,条件之一具备，结果发生 Y= A OR B = A+B,逻辑非（逻辑求反）,条件不具备，结果发生,几种常用的复合逻辑运算,与非 或非 与或非,几种常用的复合逻辑运算,异或,几种常用的复合逻辑运算,同或Y= A B,2.3.1 基本公式2.3.2 常用公式,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2.3.1 基本公式,根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式,证明方法：推演 真值表,公式（17） A + B C = (A +B)(A +C)的证明 （公式推演法）：,公式（17） A + B C = (A +B)(A +C)的证明 （真值表法）：,公式（17）等式两边真值表相同
4、，故等式成立。,2.3.2 若干常用公式,表2.3.3中列出了几个常用公式。这些公式是利用基本公式导出的。直接运用这些导出公式可以给化简逻辑函数的工作带来很大方便。各式证明如下： 1式(21) A+AB=A 证明： A+AB=A(1+B)=A1=A上式说明，在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。 2式(22) A+AB=A+B 证明： A+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B)=A+B这一结果表明，两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子则此因子是多余的可以消去。 3式(23)AB+AB=A 证明：AB+AB；A(B+B)=AI=A这个公式的含义是，当
5、两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且可将B和B两个因子消去。,4式(24) A(A+B)=A证明：A(A+B)=AA+AB=A+AB=A(1+B)=Al=A 该式说明，变量A和包含A的和相乘时，其结果等于A，即可以将和消掉。5式(25) AB+AC+BC=AB+AC证明： AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC 该式说明，若两个乘积项中分别包含A和A两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。可以再导出 AB+AC+BCD = A
6、B+AC6式(26) A(AB)=AB ；A (AB)=A证明：A(AB)=A(A+B)=AA+AB=AB 该式说明，当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，则A这个因子可以消去。A(AB)=A(A+B)=AA+AB=A(1+B)=A此式表明，当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，其结果就等于A。,2.4.1 代入定理在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。利用代入定理很容易把表2.3.1中的基本公式和表2.3.3中的常用公式推广为多变量的形式。,2.4 逻辑代数的基本定理,2.4.1 代入定理,应用举例：式（17） A+BC =
7、 (A+B)(A+C),A+B(CD) = (A+B)(A+CD),= (A+B)(A+C)(A+D),2.4.1 代入定理,应用举例： 已知公式 （8）摩根定理对一个乘积项或逻辑式求反时，应在乘积项或逻辑式外边加括号，然后对括号内的整个内容求反。在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先算括号里的内容，其次算乘法，最后算加法。,对任一逻辑式,变换顺序： 先括号，然后乘，最后加,不属于单个变量的上的反号保留不变,2.4.2 反演定理,2.4.2 反演定理,应用举例： （如果是利用基本公式和常用公式进行运算要很麻烦。）对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“”换成“+”
8、，“+”换成“”，0换成l，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y。 这个规律称为反演定理。反演定理为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了方便。在使用反演定理时，还需注意遵守以下两个规则：仍霈遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。不属于单个变量上的反号应保留不变。,2.4.3 对偶定理,若两函数相等，则他们的对偶式也相等,2.5.1 逻辑函数 Y=F(A,B,C,)若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。注：在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值0/1。任何一件具体的因果关系都可以用一个逻辑函数描
9、述,2.5 逻辑函数及其表示方法,2.5.2 逻辑函数的表示方法,由于变量和输出(函数)的取值只有0和1两种状态，所以我们所讨论的都是二值逻辑函数。任何一件具体的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。常用的逻辑函数的表示方法有:逻辑真值表 逻辑函数式 逻辑图 波形图 卡诺图 硬件描述语言各种表示方法之间可以相互转换,真值表 将输人变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。,逻辑式：将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。 Y=A(B+C)逻辑图：用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。,波形图将输入变量所有可能取值与对应输出按时间顺序排
10、列起来画成时间波形。,卡诺图将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图。因为这种表示方法是由美国工程师卡诺(MKarnaugh)首先提出的，所以将这种图形称为卡诺图(Karnaugh Map)。EDA中的描述方式HDL (Hardware Description Language)VHDL (Very High Speed Integrated Circuit )Verilog HDLEDIFDTIF,各种表现形式的相互转换：,真值表 逻辑式,A=0,B=1,C=1 使 ABC = 1A=1,B=0,C=
11、1 使 ABC = 1A=1,B=1,C=0 使 ABC = 1这三种取值的任何一种都使Y=1, 所以 Y= ?,例2.5.1：奇偶判别（输入是否有偶数个1）函数的真值表,Y = ABC + ABC + ABC,由真值表列出逻辑式方法: 找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。 每组输入变量取值对应一个乘积项， 其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量。 将这些乘积项相加即得 Y由逻辑式列出真值表方法:这时只需将输入变量取值的所有组合状态逐一代人逻辑式求出函数值，列成表，即可得到真值表。,F,0,0,1,0,1,1,1,0,例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定。试
12、建立该问题的逻辑函数。,逻辑式 真值表,例2：奇偶判别（输入是否有偶数个1）函数的真值表,Y = ABC + ABC + ABC,真值表 逻辑式：找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。 每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写入 原变量，取值为0的写入反变量。 将这些乘积项相加即得 Y。,逻辑式 真值表：,把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中 求出Y，列表,逻辑式 逻辑图用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑运算符号， 并按运算优先顺序将它们连接起来。,逻辑图 逻辑式从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。,波形图 真值表 从波形图上找出每个时段里输入变量与函数输出的
13、取值，然后将这些输人、 输出取值对应列表，就得到了所求的真值表。 将真值表中所有的输入变量与对应的输出变量取值依次排列画成以时间为 横轴的波形，就得到了所求的波形图。,举例：举重裁判电路,举重比赛中，有三位裁判，一位主裁判，两位副裁判，要想比赛胜出，主裁判必须通过，副裁判至少有一位通过。,n 变量逻辑函数的最小项 m：m是乘积项包含n个变量因子 n个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现且只出现一次 则称m为该组变量的最小项。,对于n变量函数 有2n个最小项,2.5.3 逻辑函数的两种标准形式 （1）最小项之和 （2）最大项之积,最小项：,最小项举例：,两变量A, B的最小项三变量A,B,C的
14、最小项,最小项的编号：,我们将A、B、C 3个变量的8个最小项记作 m0 m7 我们将A、B、C、D 4个变量的16个最小项记作m0 m15 最小项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。 全体最小项之和为1 。 任何两个最小项之积为0 。 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。相邻：仅一个变量不同的最小项如,逻辑函数最小项之和的形式：,例：,利用公式 可将任何一个函数化为,逻辑函数最小项之和的形式：,例：,利用公式 可将任何一个函数化为,逻辑函数最小项之和的形式：,例：,利用公式 可将任何一个函数化为,逻辑函数最小项之和的形式：,【例2.5.6】 将逻
15、辑函数Y=ABCD+ACD+AC展开为最小项之和的形式。解： Y=ABCD+A(B+B)CD+A(B+B)C=ABCD+ABCD+ABCD+ABC(D+D)+ABC(D+D)=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD或写作Y(A，B，C，D)=m(3，7，9，10，1 1，14，15),最大项：,M是相加项； 包含n个因子。 n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现且只出现一次。如：两变量A, B的最大项,对于n变量函数 2n个,最大项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0； 全体最大项之积为0； 任何两个最大项之和为1； 只有一个变量不同的最大
16、项的乘积等于各相同变量之和。,最大项的编号：,最大项和最小项之间存在如下关系Mi=mi (2.5.2)例如，m0=ABC，则m0=(ABC)=A+B+C=M0,【例2.5.7】 将逻辑函数Y=AB+AC化为最大项之积的形式。解：首先用基本公式A+BC=(A+B)(A+C)将Y化成或与形式Y=AB+AC=(AB+A)(AB+C)=(A+B)(A+C)(B+C)然后在第一个括号内加人一项CC，在第二个括号内加入BB，在第三个括号内加人AA，于是得到Y=(A+B十CC)(A+BB+C)(AA+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)或写作Y(A，B，C，D)=M(0，1，4
17、，6),2.5.4 逻辑函数形式的变换,设计实际逻辑电路时，需要根据选用器件的逻辑功能类型变换逻辑函数的形式。,与或式变换成与非与非式 用摩根定理变换,2.5.4 逻辑函数形式的变换,与或式变换成与或非式将式中不包含的最小项相加得Y 再求反得到与或非式,2.5.4 逻辑函数形式的变换,与或式变换成或非或非式,2.6 逻辑函数的化简法,同一个逻辑函数可以写成不同的逻辑式。逻辑式越是简单，它所表示的逻辑关系越明显，同时也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数。因此，需要通过化简的手段找出逻辑函数的最简形式。逻辑函数的最简形式在与或逻辑函数式中，若其中包含的乘积项已经最少，而且每个乘积项里的因子也不
18、能再减少时，则称此逻辑函数式为最筒形式。对与或逻辑式最简形式的定义对其他形式的逻辑式同样也适用，即函数式中相加的乘积项不能再减少，而且每项中相乘的因子不能再减少时，则函数式为最简形式。例如：列真值表后可见Y1和Y2是同一个逻辑函数。显然下式比上式简单得多。,常用的化筒方法有公式化简法、卡诺图化简法和适用于编制计算机辅助分析程序的QM法等。,2.6.1公式化简法反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。没有固定的步骤 常用化简方法归纳如下,一 并项法,二 吸收法,三 消项法,四 消因子法,五 配项法,一、并项法 用公式 AB+AB=A,二、吸收法 用公式 A+AB=A 将AB项消
19、去,三、消项法 用公式AB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BCD=AB+AC 将BC或BCD项消去。A、B、C、D均可以是任何复杂的逻辑式。,四、消因子法 用式A+AB=A十B 将AB中的A消去,五、配项法 根据公式 A+A=A 可以在逻辑函数式中重复写人某一项根据公式 A+A=1可以在函数式中的某一项上乘以(A+A)，然后拆成两项分别与其他项合并，有时能得到更加简单的化简结果。,2.6.1公式化简法 化简复杂的逻辑函数时，一般需要灵活、交替地综合运用上述方法例：,A+AB=A A+ABCD=A代入定理,2.6.1公式化简法 化简复杂的逻辑函数时，一般需要灵活、交替地综合运用上述方法例：,
20、2.6.1公式化简法 化简复杂的逻辑函数时，一般需要灵活、交替地综合运用上述方法例：,A +AB = A + B 代入定理,2.6.1公式化简法 化简复杂的逻辑函数时，一般需要灵活、交替地综合运用上述方法例：,A+AB=A A+ABCD=A,2.6.1公式化简法 化简复杂的逻辑函数时，一般需要灵活、交替地综合运用上述方法例：,A B + A C + B C = A B + A C,2.6.1公式化简法 化简复杂的逻辑函数时，一般需要灵活、交替地综合运用上述方法例：,2.6.2 卡诺图化简法,一、 逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置
21、上也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图。因为这种表示方法是由美国工程师卡诺(MKarnaugh)首先提出的，所以将这种图形称为卡诺图(Karnaugh Map)。实质：将逻辑函数的最小项之和的形式以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。,一、 逻辑函数的卡诺图表示法,A,B,AB,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,0 0,0 1,1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,BC,0,1,00,01,11,10,0
22、0,01,11,10,00,01,11,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,AB,CD,10,m8,m9,m10,m11,卡诺图：,表示最小项的卡诺图,2 变量卡诺图,4变量的卡诺图,3变量的卡诺图,图2.6.1中画出了二到五变量最小项的卡诺图。 图形两侧标注的 0 和 1表示使对应小方格内的最小项为1的变量取值。同时这些 0 和 1 组成的二进制数对应的十进制数大小，也就是对应的最小项的编号。,五变量的卡诺图,一、 逻辑函数的卡诺图表示法,卡诺图的特点：,（1）n个逻辑变量的函数，卡诺图有2n个方格，
23、对应2n个最小项。,（2）行列两组变量取值按循环码规律排列，相邻最小项为逻辑相邻项。,（3）相邻有邻接和对称两种情况，即卡诺图具有闭合性。,为了保证图中几何位置相邻的最小项在逻辑上也具有相邻性，这些数码不能按自然二进制散从小到大地顺序排列，而必须按图中的方式排列。以确保相邻的两个最小项仅有一个变量是不同的。处在任何一行或一列两端的最小项也仅有一个变量不同，所以它们也具有逻辑相邻性。从几何位置上应当将卡诺图看成是上下、左右闭合的图形。在变量数大于等于五以后，仅仅用几何图形在两维空间的相邻性来表示逻辑相邻性已经不够了。例如，五变量最小项的卡诺图中，除了几何位置相邻的最小项具有逻辑相邻性以外，以图中
24、双竖线为轴左右对称位置上的两个最小项也具有逻辑相邻性。任一个逻辑函数都能表示为若干最小项之和的形式，也就可以用卡诺图表示。方法是：首先将逻辑函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入l，在其余的位置上填入0，就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。也就是任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入l的那些最小项之和。,例2.6.8 用卡诺图表示逻辑函数 Y=ABCD+ABD+ACD+AB解：首先将Y化为最小项之和的形式Y=ABCD+AB(C+C)D+A(B+B)CD+AB(C+C)(D+D) =ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD +ABCD =m1
25、+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m15,画出四变量最小项的卡诺图，在对应于函数式中各最小项的位置上填入1，其余位置上填入0 就得到如图所示的函数Y的卡诺图,Y=m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m15 已知逻辑函数Y的卡诺图如图2.6.3所示， 试写出该函数的逻辑式。解：因为函数Y等于卡诺固中填入1的 那些最小项之和，所以有Y=ABC+ABC十ABC+ABC,二、 用卡诺图表示逻辑函数,将函数表示为最小项之和的形式 。在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添0。,例：已知逻辑函数的真值表，试用卡诺图表示该逻辑函数。,1,1,1,1,二、 用卡诺图表示逻辑函数,
26、1,1,1,1,例：用卡诺图表示逻辑函数。,二、 用卡诺图表示逻辑函数,例：,1,1,1,1,1,1,1,1,二、 用卡诺图表示逻辑函数,三、 用卡诺图化简逻辑函数,卡诺图化简逻辑函数依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映 出来。n变量的逻辑函数，2 i个相邻最小项可合并，消去i个因子，剩下（n-i）个变量构成的乘积项。,卡诺图化简逻辑函数的步骤：-用卡诺图表示逻辑函数-找出相邻的最小项构成矩形圈，按照 取同去异原则化简-化简后的乘积项相加（项数最少，每项因子最少）,卡诺图化简逻辑函数的原则：,化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即覆
27、盖图中所有的1，防止遗漏乘积项。乘积项的数目最少，即矩形圈的个数最少。每个乘积项因子最少，即矩形圈尽可能最大，每个圈包含2n个相邻项。圈可重复包围，但每个圈内必须有新的最小项。,例：用卡诺图化简逻辑函数,化简得,例：,A,BC,例：,A,BC,例：,A,BC,例：,化 简 结 果 不 唯 一,例：,AB,CD,例：,AB,CD,例：用卡诺图将逻辑函数F化为最简或与表达式。,方法：,（2）也可以直接写最简或与表达式：对“0”作圈，每一个圈中，取值为0的变量用原变量表示，取值为1的变量用反变量表示，将这些变量相或。然后将所有或项进行逻辑与得最简或与表达式。,对0画圈，直接写出最简或-与表达式,约束
28、项 任意项无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。,在逻辑函数中，对输入变量取值的限制，在这些取值下为0的最小项称为约束项,在输入变量某些取值下，函数值为1或为0不影响逻辑电路的功能，在这些取值下为1的最小项称为任意项,2.7具有无关项的逻辑函数及其化简 2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,例如红绿交通灯信号,红灯A,绿灯B,车F,0 0,0 1 1 0,1 0,可行可停,1 1,不允许,任意项,约束项,红灯A,绿灯B,车F,2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用,合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每项因子最少从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为矩形圈最大，矩形组合数最少。,例：用卡诺图将逻辑函数F化为最简与或表达式。,化简得,无关项可0可1，以使函数最简。,AB,CD,AB,CD,AB,CD,例：,AB,CD,2.8 用multisim进行逻辑函数的化简与变换,例:已知逻辑函数Y的真值表如下,试用multisim求出Y的逻辑函数式,并将其化简为与-或形式,
