1、函数与方程一、选择题1.下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) 解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间 a， b上连续不断，并且有 f(a)f(b)0， a1)，那么函数 f(x)的零点个数是( )A0 个 B1 个C2 个 D至少 1 个答案 D解析 在同一坐标系中作出函数 y ax与 y x a 的图象， a1 时，如图(1)，00，即 m240，解得 m2 或 m1，设函数 f(x) ax x4 的零点为 m， g(x)log ax x4 的零点为 n，求 1m的取值范围.1n分析 欲求 的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨 m、 n 之间的关系，
2、1m 1n观察 f(x)与 g(x)的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数 y ax和对数函数 ylog ax 与直线 y x4 的交点的横坐标，因为指数函数y ax和对数函数 ylog ax 互为反函数，故其图象关于直线 y x 对称，又因直线y x4 垂直于直线 y x，指数函数 y ax和对数函数 ylog ax 与直线 y x4 的交点的横坐标之和是直线 y x 与 y x4 的交点的横坐标的 2 倍，这样即可建立起 m， n的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可解析 令 ax x40 得 ax x4，令 logax x40 得 logax x4，在
3、同一坐标系中画出函数 y ax， ylog ax， y x4 的图象，结合图形可知， n m 为直线 y x 与 y x4 的交点的横坐标的 2 倍，由Error!，解得 x2，所以 n m4，因为( n m) 11 4，又 n m，故( n m) 4，则 1.(1n 1m) mn nm (1n 1m) 1n 1m15已知函数 f(x)4 x m2x1 有且仅有一个零点，求 m 的取值范围，并求出该零点思路分析 由题意可知，方程 4x m2x10 仅有一个实根，再利用换元法求解解析 f(x)4 x m2x1 有且仅有一个零点，即方程(2 x)2 m2x10 仅有一个实根设 2x t(t0)，则
4、 t2 mt10.当 0 时，即 m240， m2 时， t1； m2 时， t1(不合题意，舍去)，2 x1， x0 符合题意当 0 时，即 m2 或 m2 时，t2 mt10 有两正或两负根，即 f(x)有两个零点或没有零点这种情况不符合题意综上可知： m2 时， f(x)有唯一零点，该零点为 x0.【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题16 (1) m 为何值时， f(x) x22 mx3 m4.有且仅有一个零点；有两个零点且均比1 大；(2)若函数 f(x)|4 x x
5、2| a 有 4 个零点，求实数 a 的取值范围解析 (1) f(x) x22 mx3 m4 有且仅有一个零点方程 f(x)0 有两个相等实根 0，即 4m24(3 m4)0，即 m23 m40， m 4 或 m1.法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1， x2，则 x1 x22 m， x1x23 m4.由题意，在Error!Error!Error!5 m1.故 m 的取值范围为(5，1)法二 由题意，知Error!即Error!5 m1. m 的取值范围为(5，1)(2)令 f(x)0，得|4 x x2| a0，即|4 x x2| a.令 g(x)|4 x x2|， h(x) a.作出 g(x)、 h(x)的图象由图象可知，当 0 a4，即4 a0 时， g(x)与 h(x)的图象有 4 个交点，即 f(x)有4 个零点故 a 的取值范围为(4,0)
