1、 角平分 线 第 1 课时 试题资料库： 例1. 如下 图，AP 、BP 分 别 平分ABO 的外 角， AOB 40 ，则 AOP 。 解：20 例2. 如图 ABC 中，AB AC ，BD、CE 分别 是 ABC 两底 角的平 分线 ，求 证：BD CE 。 证明： ABC 中ABAC ABCACB. 又BD 、CE 分 别平 分ABC 和ACB ACB ABC 2 1 2 , 2 1 11 2 在 BDC 与 CEB 中 2 1 CB BC EBC DCB BDC CEB（ASA ） BDCE 例3. 已知 ：如 图， C=90 B=30 ，AD 是RtABC 的 角平 分线 。求 证：
2、BD=2CD 。 分析： 根据 已知 条件 可求 出BAC 的 度数 ， 再 由 AD 是ABC 的 角平 分线 ， 可分 别求出 上 图中其 余各 角的 度数 ，再 证明结 论就 容易 了。 证明： 由C=90 ， B=30 ， 知BAC=60。 因AD 是ABC 的角 平分 线 ，故BAD= CAD=30 。 则B= BAD 。 可知AD=BD 。 在ADC 中 ，DAC=30 ，C=90，则 AD=2CD 。故 BD=2CD 。 引申 ： 该 题中 ， 若 条件 不变 ， 如上图 ， 从 D 点向 AB 作 垂 线交 AB 于点 E ， 请 问： ADEADC 是 否成 立？BD=2DE
3、 是否 成立 ？ 不难看 出 ， 因 为 AD 是ABC 的角 平分 线 ， 由 角平 分 线的性 质可 知DE=DC ， 则 ADE 与 ADC 全 等的 条件 可轻 松找 到，BD=2DE 显 然也 成立 。 这是在 特殊 角三 角形 的情 况下考 虑的 ， 若 推广到 一般 三角 形的 情况 ， 解答 该题 的主 要依 据 “角 平分线 上的 点到 这个 角的 两边的 距离 相 等”依 然是 一个 重要 的解 题条件 。 例4. 已知 ：如 下图 ，ABC 的 外角 CBD 和BCE 的平分 线相 交于 点F 。 求证： 点F 在DAE 的平 分线上 。 分析： 该 题图 比较 简单 ，
4、 单从上 图中 很难 看出 应该 怎么证 明结 论 。 但 问题 既 然涉及 角平 分线， 我们 很容 易想 到定 理 “在 一个 角的 内部 ， 且 到角的 两边 距离 相等 的点 ， 在这 个角 的平 分线上 ” ， 所以 不妨 过点F 分别 作BD ，BC ，CE 的垂 线段， 这样 就找 到了 解决 问题的 切入 点 。 证明： 如上 图， 过 点 F 分 别作 BD ，BC ，CE 的 垂线 段 FG ，FH ，FM 。 因BF 是CBD 的平 分线 ， 所以 FG=FH 。同 理FH=FM ，则 FG=FM 。 因点F 在DAE 内， 且点F 到AD ，AE 的 距离 相等 ， 故
5、点 F 在DAE 的平 分线 上。 引申： 该题 中， 若条 件不 变，请 问： A 与BFC 有 怎样的 数量 关系 ？ 请同学 们进 一步 探索 。 例 5. 已 知： 如图 1 所示 ，ABC，ACB 的平 分线 交 于 F，过 F 作 DE/BC ，交 AB 于 D，交 AC 于E ，求 证： （1 ）BD+EC=DE A D E F 3 1 2 B C 图 1 （2） 若将 已知 改为 过一 内 角和一 外角 平分 线交 点作 平行线 ，如 图 2 所示 ，那 么 DB 、EC 和 DE 之 间还 存在 怎样 的关 系 。 A E D F B C 图 2 （3） 若将 已知改 为过
6、两个 外角平 分线 交点 作平 行线 如图 3 所示 ， 那 么DB 、CE 、DE 之 间还 存 在什么 关系 。 A B C D F E 图 3 证明：（1 ）DE/BC ，2=3 1= 2 ， 1= 3 BD=DF ， 同理FE=EC BD+EC=DF+FE=DE （2）DE=BD CE （3）DE=BD+CE 例 6. 如 图所 示， ABC 的边 BC 的中 垂线 DF 交BAC 的外角 平分 线 AD 于 D ，F 为垂足 ，DE AB 于E，且 ABAC ，求 证：BE AC=AE D A E B F C 证明：过D 作 DN AC 垂足 为N， 连结DB、DC 则 DN=DE
7、，DB=DC 又DE AB ，DN AC Rt DBE Rt DCN BE CN AD AD DE DN 又 ， Rt DEA Rt DNA AN AE BE AC AN AC AE BE AC AE D N A E B F C 例 7. 已 知： 如图 所示 PA 、PC 分别 是ABC 外角 MAC 和NCA 平 分线 ，它 们 交于 P，PD BM 于D ，PF BN 于F ，求 证：BP 为MBN 的平 分线 。 M D A P B C F N 证明：过P 作 PE AC 于E PA、PC 分别 是MAC 与NCA 的 平分 线且PD BM ，PF BN PD=PE ，PF=PE PD
8、=PF 又PD BM ，PF BN 点 P 在MBN 的平 分线上 即 BP 为MBN 的平 分 线 M D A P E B C F N 例 8. 如图 DE 是 ABC 的 AB 边 的 垂 直 平 分 线 ， 分 别 交 AB 、BC 于 D 、E ，AE 平分 30 B BAC，若 ，求C 的 度数 。 解答：DE 是 AB 的 垂直 平分线 EAEB ABE1 30 B 30 1 又 AE 平分 BAC 2 1 30即BAC 60C 180 BBAC 90例9. 如图BD 是 ABC 的角 平分线 ，DE/BC 交 AB 于E 。求证 ： BED 是 等腰 三角 形。 证明：BD 是
9、ABC 的 角平 分线 EBDDBC DE/BC EDBDBC EBDEDB EBED，即 BED 是 等腰 三角形 例 10. 已 知：P 是AOB 内一点 ，PD OA ，PE OB ，D，E 分 别是 垂足 ， 且 PD PE，则点 P 在AOB 的 平分 线上 ，请 说明理 由。 分析： “ 点在 线上 ” 的另 一种说 法是 “ 线经 过点 ” 。 直 接说 明点P 在AOB 的平分 线上 不易说 明， 可以 反过 来先 过 P 作射 线 OP ，说明 OP 平分AOB ，这 样就 相当 于 说明了 点 P 在 角的平 分线 上。 此时 问题 就转化 为说 明DOP EOP 。 解：
10、作射 线OP 。 PDOA，PE OB PDO PEO 90 PDPE，OPOP RtPDO Rt PEO （HL ） DOPEOP 即P 点在AOB 的平 分线 上。 归纳： 在直 接说 明某 个问 题有困 难时 ， 我们 常常 把 问题进 行转 化成 可以 直接 说明的 问题 来解决 。 例 如 ： 请说 明三角形的三个角的平分线刚好相交于一点 。我 们 知道 两 直线 相交 只 有 一 个交点 ，于 是两 个角 的平 分线 CD 、BE 相 交于 点 O ， 想说明 第三 个角 的平 分线 也刚好 经 过 O 点不易 ，因 此可 转化 为“ 连结 OA，说明 AO 平分 CAB ”， 即
11、说 明OAB OAC ，就 相当 于 说明了 第三 个角 的平 分线 与前两 个角 的平 分线 相交 于一点 。 例11. 如 下图 ， 等 腰直 角 ABC 中，AB AC ，BD 平 分ABC ，DEBC 于 E 。 试 说明 ：AB BE。 分析：AB 、BE 分 别属于 两 个直角 三角 形，要 说明 它 们相等 ，只 要能够 说明 它 们所在 的 直角三 角形 全等 即可 。 解： 等腰 直角 ABC 中， A 90 ，AB AC DEBC，BD 平分 ABC DADE（ 角平 分线 上的 点到这 个角 两边 的距 离相 等） A DEB 90，DA DE，BDBD RtADB Rt
12、 EDB （HL ） ABBE。 变式： 说 明上 题中AB+AD BC 。 你能 说明 吗？ 学习小 结： 这节内 容要 注意 两点 ： 一 是勾股 定理 与其 逆定 理表 述上的 区别 ； 二 是判 定直 角三角 形全 等时若 使用 HL， 一定 要强 调直角 三角 形， 若仍 用 SAS 、ASA 、AAS 或 SSS 来判 定直角 三角 形 全等， 则不 需要 强调 直角 三角形 。 例12. 如图1，在 Rt ABC 中 ， BAC=90 ， B=30 ， C=60，AT 平 分BAC ，AH BC ， 垂足 为H， 则TAH=_ 。 图 1 解析： 因 AH BC ， 所以 TAH
13、=90 ATH 。 由三角 形外 角性 质可 知， ATH= B BAT BAT= 2 1 BAC = 2 1 （180 B C ） =90 2 1 （BC ） ATH= B 90 2 1 （BC ） TAH=90 B 90 2 1 （BC） = 2 1 （C B） =15 想一想 ，如 果BAC 是锐 角或者 钝角 ，那 么TAH= 2 1 （C B ）还 成立 吗？ 自己动 手 做做看 。 2. 过 三角 形角 平分 线所 在 直线上 任一 点向 第三 边作 垂线 ， 角 平分 线与 垂线 的夹 角等于 三 角形另 外两 角差 的绝 对值 的一半 。 例13 如图 2， 在ABC 中 ，
14、B C ，AQ 平分 BAC ，AQ 交 BC 于点 Q，点 T 是AQ 延 长线 上 的一点 ，TH BC 于点 H， 试说明 HTA= 2 1 （C B ）。 图 2 解析： 过 点A 作 AH BC ，则AH/TH 。 根据 平行 线的性 质， 可得 HTA= AQH 由上题 的结 论， 可得 QAH= 2 1 （CB） 故HTA= 2 1 （C B ） 例14. 如图1， OC 平分 AOB ， P 是 OC 上 一点， D 是OA 上 一点， E 是 OB 上 一点 ， 且 PD=PE ， 求证： PDO PEO 180 。 分析： 要证 PDO PEO 180 ， PDO 、 PE
15、O 在图 形的 不同位 置， 又无 平行 线使它 们联 系起 来， 但若 考虑设 法把 其中 的一 个角 转化为 另一 个角 的邻 补角 ， 问题 便可 以解 决。由 于 OC 是角 平分 线， 故可过 P 点 作两 边的 垂线 ，构造 出两 个直 角三 角形 ，再证 明这 两 个三角 形全 等即 可。 证明：过点 P 作PM OA ，PN OB ，垂足 分别 为 M、N 因 OC 是角 平分 线，PM OA ，PN OB ，故 PM=PN 由 PD=PE ，PM=PN，得Rt PMD Rt PNE MDP NEP 则 PEO MDP ，而 MDP PDO 180 PDO PEO 180 点拨
16、： 遇 到角 平分 线问 题 ， 我们 可以 过角 平分 线上 的一点 向这 个角 的两 边引 垂线， 以便 充分运 用角 平分 线定 理。 例 15. 如图 2，在 ABC 中， BAC 的平分线 与 BC 边的 垂直 平分 线相交 于 点 P 。过 点 P 作AB 、AC （或 延长 线） 的 垂线， 垂足 分别 是 M 、N 。 求证：BM=CN 。 分析： 要证 BM=CN ， 由 图形 特征可 构造 以 BM 、CN 为 边 的两个 三角 形 ， 并 证明 这 两个三 角 形全等 。 考虑 BAC 的平 分线 与 BC 边的 垂直 平分 线相 交于 点 P ， 于 是连 接PB 、PC ， 则利用 垂直平 分线 和角 平分 线的 知识即 可解 决。 证明：因 AP 是 角平 分线 ，PM AB ，PN AC ，故 PM=PN 又因 PD 是BC 的 垂直 平分 线， 故 PB=PC 因 PB=PC ，PM=PN，故Rt PBM Rt PCN BM CN 点拨： 这是 一道 垂直 平分 线与角 平分 线的 综合 运用 问题。 上 述解 答 省 去了 两 次全等 的证 明 ， 相 信 同 学们 一 定 能 体会 到 线 段 的 垂直 平 分 线 定理 与 角 平 分 线定 理 在 几 何证 明 中 的 重要 性。
