1、一、罗尔( Rolle )定理,2.3.1,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,证毕,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,证:,故在 a , b 上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 则,因此,若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.,例如,则由
2、费马引理得,使,2) 定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在 ( a , b ) 内可导, 且,在( a , b ) 内至少存在一点,证明提示: 设,证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 .,一条连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等.,若定理条件不满足，则结论不一定成立.,罗尔定理的几何解释:,则在曲线上至少有一点C,在该点处切线水平.,例1. 证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少
3、存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,例2 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,证毕,几何解释:,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之
4、间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,推论,例3. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,例4. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,要证,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考: 柯西
5、定理的下述证法对吗 ?,两个 不 一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,例5. 设,至少存在一点,使,证: 结论可变形为,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,证明,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维 设辅助函数,费马引理,思考与练习,1. 填空题,1) 函数,在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理,条件, 则中值,2) 设,有,个根 , 它们分别在区间,上.,方程,2. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,备用题,求证存在,使,1. 设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,
