1、2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5分，满分 50分.（1）A (2)B (3)B (4)C (5)A（6）D (7)C (8)A (9)D (10)D二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4分，满分 24分.（11） (12)3 (13) 32xy14（14） (15)4 (16) 2x+1y（ ） （ -， ）三. 解答题（17）本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分 12分.（）证明：在ABC 中，由正弦定理及已
2、知得 = .于是 sinBcosC-sinBCcocosBsinC=0，即 sin（B-C）=0.因为 ，从而 B-C=0.所以 B=C.（）解：由 A+B+C= 和（）得 A= -2B,故 cos2B=-cos（ -2B）=-cosA= .13又 005a10,(),820,.f即解不等式组得-52，则 .当 x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：102X ， 01a， 1a1a2，f(x) + 0 - 0 +f(x) A极大值 A极小值 A当 时，f（x）0 等价于 即1x2， 1f(-)20,a2581-0.a,解不等式组得 或 .因此 2a5. 52a2综合（1）和（2） ，可
3、知 a的取值范围为 0a5. （21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14分. （）解：由 e= ，得 .再由 ，解得 a=2b.32ca24ac22ab由题意可知 ，即 ab=2.1b解方程组 得 a=2，b=1. ,2a所以椭圆的方程为 .214xy()(i)解：由（）可知点 A的坐标是（-2,0）.设点 B的坐标为 ，直线1(,)xyl的斜率为 k.则直线 l的方程为 y=k（x+2）.于是 A、B 两点的坐标满足方程组 消去 y并整理，
4、得2(),1.4ykx.222(14)6(1)0kxk由 ，得 .从而 .122184x124ky所以 .222| 4kkABk由 ，得 .42|52145k整理得 ，即 ，解得 k= .423930k22(1)3)0k1所以直线 l的倾斜角为 或 .4（ii）解：设线段 AB的中点为 M，由（i）得到 M的坐标为 .228,14k以下分两种情况：（1）当 k=0时，点 B的坐标是（2,0） ，线段 AB的垂直平分线为 y轴，于是由 ，得 。002,2,.QAyy4QAy20（2）当 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 。k22184kkx令 ，解得 。0x02614ky由 ， ，2,QA10
5、,Bxy21010 2228646411kkxy，4216514k整理得 。故 。所以 。27k702145y综上， 或0y02145y（22）本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。（I）证明：由题设可知， ， ， ，21a324a348a，541a。68从而 ，所以 ， ， 成等比数列。5432a4a56（II）解：由题设可得 12,*kkN所以 21212331.k kaaa 4.4.,*kN由 ，得 ，从而 .10a21k 221kak所以数列 的通项公式为 或写为 ，n 2,n为 奇 数为 偶 数 214nna。*N（III）证明：由（II）可知 ， ，21ka2ka以下分两种情况进行讨论：（1） 当 n 为偶数时，设 n=2m *mN若 ，则 ，m2nka若 ，则2m22221 121 144nmmkkkkkkaa2 114 12mk kk .132mn所以 ，从而23nka2,46,8.ka（2） 当 n 为奇数时，设 。1*nmN2 2221 134nmkkaa 422n所以 ，从而231nka23,35,7.nka综合（1）和（2）可知，对任意 有,*,N2.nT
