1、算法设计与分析 计算机 101-04 顾鑫1模拟退火算法一、模拟退火算法概念 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据 Metropolis 准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为 e-E/(kT)，其中 E 为温度 T 时的内能，E 为其改变量，k 为Boltzmann 常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能 E 模拟为目标函数值 f，温度 T 演化成控制参数 t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解 i 和控制参数初
2、值 t 开始，对当前解重复“产生新解计算目标函数差接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减 t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值 t 及其衰减因子 t、每个 t 值时的迭代次数 L 和停止条件 S。 二、模拟退火算法的模型 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。 模拟退火的基本思想: (1) 初始化：初始温度 T(充分大) ，初始解状态 S(是算法迭代的起点 )， 每个 T 值的迭代次数 L (2) 对 k=1，L 做第 (3)至第 6 步： (3
3、) 产生新解 S (4) 计算增量 t=C(S)-C(S)，其中 C(S)为评价函数 (5) 若 t0，然后转第 2 步。 算法对应动态演示图： 模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤： 第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。 第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数
4、应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。 第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is 准则: 若 t= -XMAX PreBestY = BestY;/ 此为新的最优解BestX=NextX;BestY=NextY;/ 3) Metropolis 过程if( ObjectFunction(PreX,PreY) - ObjectFunction(NextX,NextY) 0 )算法设计与分析 计算机 101-04 顾鑫8/ 接受, 此处 lastPoint 即下一个迭代的点以新接受的点开始PreX=NextX;PreY=NextY;AcceptP
5、oints+; elsedouble change = -1 * ( ObjectFunction(NextX,NextY) - ObjectFunction(PreX,PreY) ) / Temperature ;if( Math.Exp(change) rnd.NextDouble() )PreX=NextX;PreY=NextY;AcceptPoints+;/ 不接受, 保存原解Console.WriteLine(“0,1,2,3“,PreX, PreY, ObjectFunction ( PreX, PreY ), Temperature);while( Math.Abs( Objec
6、tFunction( BestX,BestY) ObjectFunction (PreBestX, PreBestY) Tolerance );Console.WriteLine(“最小值在点:0,1“,BestX, BestY);算法设计与分析 计算机 101-04 顾鑫9Console.WriteLine( “最小值为:0“,ObjectFunction(BestX, BestY) );结果：最小值在点:-1.07678129318956,1.07669421564618最小值为:-2.26401670947686后记：一开始在网上搜索模拟退火的资料并想作为 C数值计算的一个例子，找不到现
7、成的源码。后来自己实验了很久，终于将此程序写出。本文尽量避免太过学术化，如数学和物理名称和公式，仓促下笔，有很多地方可能讲得不是很清楚，希望老师谅解。模拟退火还可以应用到其它更多更复杂的问题，如“推销员问题”等组合优化问题。本例只是求一个二维函数的最小值问题，而且其冷却表参数的选择也过于简单，只能作用一个初步的入门简介。五、总结模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据 Metropolis 准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为 e-E/(kT)，其中 E 为温度 T 时的内能，E 为其改变量，k 为Boltzmann 常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能 E 模拟为目标函数值 f，温度 T 演化成控制参数 t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解 i 和控制参数初值 t 开始，对当前解重复“产生新解计算目标函数差接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减 t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值 t 及其衰减因子 t、每个 t 值时的迭代次数 L 和停止条件 S。
