1、1第 一 章 利 息 和 年 金1.1 利 息 在 日 常 生 活 中 ， 如 果 你 到 银 行 存 款 ， 银 行 会 支 付 给 你 一 定 数 额的 利 息 。 在 本 金 、 利 息 相 同 的 情 况 下 ， 存 的 时 间 越 长 ， 存 款 利 息 就 越 多 。 同 样 ， 当你 从 银 行 借 款 时 ， 你 要 支 付 借 款 利 息 给 银 行 。 企 业 发 行 债 券 的 话 ， 也 要 向 债 券 持 有者 支 付 利 息 。 这 里 的 银 行 借 款 利 息 和 债 券 利 息 就 是 使 用 资 金 的 成 本 。 借 用 资 金 的 时间 越 长 ， 成
2、本 就 越 高 。 对 于 一 个 企 业 ， 要 想 得 到 发 展 ， 一 般 会 通 过 各 种 方 式 向 金 融机 构 筹 资 ， 因 此 就 必 须 研 究 使 用 资 金 的 成 本 。1.1.1 单 利1) 定 义单 利 是 一 种 最 简 单 的 计 算 方 法 ， 指 各 期 的 利 息 都 以 本 金 为 基 础 ， 计算 公 式 如 下 :IPRT(1.1)式 中 ， I 为 利 息 ， P 为 本 金 ， R 为 年 利 率 ， T 为 年 数 。例 1 1 某 人 在 银 行 存 款 5 000 元 ， 准 备 在 4 年 后 取 出 。 已 知 当时 的 存 款
3、年 利 率 为 6 。 单 利 计 算 ， 问 此 人 在 4 年 后 所 得 到 的 利 息 是 多 少 ？解 ： 在 这 里 ， 本 金 P 5 000 元 ， 利 率 R 6 ， 存 款 时 间 期 数T 4 0612()IPRT 元所 以 此 人 在 4 年 后 将 得 到 利 息 1 200 元 。例 1 2 假 定 某 人 有 闲 置 资 金 7 560 元 ， 用 于 某 项 短 期 投 资 。 已知 该 项 投 资 的 年 利 率 为 8.25 ， 投 资 时 间 为 280 天 。 单 利 计 算 ， 问 此 人 能 从 该投 资 中 获 得 多 少 收 益 ？解 ： 注 意
4、 式 (1.1)中 的 时 间 期 数 一 般 以 年 为 单 位 ， 因 此 先 将 时 间 化为 以 年 为 单 位 280365.7,560825%.47.3TPRI元 ， 元即 该 项 投 资 收 益 为 478.44 元 。2)单 利 的 终 值 和 现 值终 值 又 称 到 期 值 或 本 利 和 ， 指 一 定 期 间 后 本 金 和 利 息 的 和 。 记 为 S.由 式 (1.1)得 ： (1)SPIRT(1.2) 现 值 指 一 定 期 间 后 ， 一 定 量 货 币 (终 值 )在 现 在 的 价 值 。 记 为P。由 式 (1.1)及 (1.2)得 ： 1ISPRT(1
5、.3)例 1 3 某 人 用 7 000 元 作 一 项 时 间 为 18 个 月 的 投 资 ， 已 知 该投 资 的 利 率 为 9.5 。 单 利 计 算 ， 问 18 个 月 后 可 得 本 息 总 额 多 少 ？解 ： 在 这 里 ， 本 金 P=5 000 元 ， 利 率 R 9.5 ， 存 款 时 间 期 数2因 此 ， 到 期 的 本 息 总 额 为 18.52T()70(1.95.)7.5()SPIRT元其 中 ， 7 000 元 是 本 金 ， 997.5 元 是 利 息 。 例 1 4 假 定 某 学 生 的 父 母 在 该 学 生 高 一 时 存 入 一 笔 本 金 ，
6、 用 于 3年 后 该 学 生 读 大 学 。 已 知 当 时 的 存 款 利 率 为 4 ， 按 单 利 计 算 。 若 3 年 后 所需 的 费 用 为 40 000 元 ， 问 当 时 应 该 存 入 的 本 金 是 多 少 ？解 ： 由 于 ， 所 以(1)SPRT即 当 时 应 该 存 入 的 本 金 约 为 35 714 元 。3574.2861.SPRT 元 ，单 利 基 本 公 式 中 共 有 四 个 因 素 ， 已 知 三 个 因 素 值 ， 即 可 求 得 另 一 个因 素 值 。例 1 5 已 知 用 4500 元 投 资 债 券 (单 利 计 算 )， 三 年 后 得
7、到 本 息总 额 5 985 元 ， 试 求 该 债 券 的 年 利 率 。解 ： 这 个 问 题 中 ， 本 金 P=4 500 元 ， 时 间 T=3， 本 息 总 额 S=5 985 元 ， 则 投 资 该 债 券 3 年 的 利 息 为 I=S-P=5 985-4 00=1 485(元 )， 因 此即 年 利 率 为 11 。8.1450IRPT ，例 1 6 已 知 年 利 率 为 5 ， 按 单 利 计 算 ， 想 要 把 80 000 元 变成 100 000 元 ， 则 需 用 多 少 时 间 ？解 ： 已 知 本 金 P=80 000 元 ， 利 率 R=5%， 本 息 总
8、额 S=100 000元 ， 则 利 息 I=S-P=20 000 元 ， 因 此 即 需 要 5 年 时 间 。2083IT ，1.1.2 复 利1)定 义复 利 是 根 据 前 期 利 息 及 本 金 之 和 的 利 息 ， 也 就 是 不 仅 要 计 算 本 金 的利 息 ， 还 要 计 算 利 息 的 利 息 ， 俗 称 “利 滚 利 ”。例 1 7 试 按 复 利 计 算 ： 年 初 存 入 1 000 元 ， 年 利 率 为 10 ，第 3 年 年 底 到 期 的 利 息 。解 ： 第 一 年 ： 本 金第 1 年 的 利 息 为 100 元 ；1 100%,0PRTI元 ， 元
9、，第 二 年 ： 本 金 210%,PIRT元 ，第 2 年 的 利 息 为 110 元 ；2I 元 ，第 3 年 ： 本 金 32 ,I元 ，第 3 年 的 利 息 为 121 元 ， 这 样10%1IPRT元 ，3到 第 3 年 年 底 的 利 息 为 12301231()II元 。再 让 我 们 比 较 一 下 按 单 利 计 算 的 利 息 。 本 金 P=1 000 元 ， 利 率R=10%， T=3， I=PRT= 。0%元由 此 可 以 看 到 ， 按 复 利 法 计 算 的 利 息 比 单 利 法 计 算 的 利 息 要 多 。2)终 值 和 现 值(1)终 值按 复 利 计
10、息 时 ， 其 终 值 计 算 见 表 1 1。表 1 1复 利 终 值第 1 年 年 末 (1)PR第 2 年 年 末 2() 第 n 年 年 末(1)()(1)nPRPR一 般 地 ， 复 利 公 式 为 ：(1)nSPr(1.4)式 中 ， P 为 本 金 ， S 为 到 期 本 金 和 利 息 总 额 ， r 为 每 期 的 利 率 ，n 为 计 息 期 数 。例 1 8 一 项 投 资 的 期 限 为 5 年 ， 年 利 率 12 ， 每 半 年 复 利 一次 。 问 每 个 计 息 期 的 利 率 以 及 计 息 期 数 分 别 是 多 少 ？解 ： 已 知 年 利 率 R=12%
11、， 每 半 年 计 息 一 次 ， 因 此 每 个 计 息 期 的 利 率为 6r年 利 率 每 年 计 息 次 数 2而 计 息 期 数 n年 数 每 年 计 息 次 数 52 10。例 1 9 已 知 小 王 投 资 一 个 为 期 4 年 的 项 目 ， 投 资 额 3 000 元 ，年 利 率 (复 利 )为 13 ， 每 2 周 复 利 一 次 。 问 四 年 后 小 王 的 投 资 收 益 是 多 少 ？解 ： 在 这 个 问 题 中 ， 已 知 本 金 P=3 000 元 ， 由 于 是 每 2 周 计 息一 次 ， 因 此 计 息 期 数 ,每 个 计 息 期 的 利 率461
12、0n， 所 以13%0.5.26r元104104(1)3(.5)3.539.nSPr因 此 小 王 的 投 资 收 益 为509.29.元4(2)现 值由 式 (1.4)得 ： (1)()nnSPr例 1 10 已 知 某 对 夫 妇 想 在 5 年 后 能 获 得 10 000 元 ， 银 行 的年 利 率 为 2.25 ， 每 季 度 复 利 一 次 ， 则 应 该 一 次 性 在 银 行 中 存 入 多 少 钱 ？解 ： 20.%.6,54411893.7(1)(.5).nSrnP元 ， ， 所 以 现 值 为 元 ，即 应 一 次 性 存 入 8938.79 元 。需 要 注 意 的
13、是 ， 按 复 利 方 式 计 息 时 ， 计 息 期 可 按 年 、 半 年 、 季 、 月来 计 算 。 在 年 利 率 既 定 的 条 件 下 ， 期 数 越 多 ， 计 算 利 息 的 次 数 越 多 ， 终 值 就 越 小 ；反 之 ， 期 数 越 少 ， 计 算 利 息 的 次 数 越 少 ， 终 值 就 小 ， 现 值 就 大 。例 1 11 在 上 例 中 ， 如 果 该 夫 妇 一 次 性 存 入 银 行 5 000 元 ， 分别 用 单 利 和 复 利 计 算 5 年 后 的 终 值 为 多 少 ？ 利 息 收 入 分 别 为 多 少 ？ (年 利 率 仍为 2.25 ，
14、每 年 复 利 一 次 。 )解 ： 按 单 利 计 算 ： P=5 000 元 ， R= 2.25%， T=5， 所 以 终 值 为(1(1.)60SPTR 元利 息 收 入 为 S P=5562.50 5000=562.50 元按 复 利 计 算 ： P=5000 元 ， r=2.25， n=5， 所 以 终 值 为()()8.4nr元利 息 收 入 为 S-P=5588.40 5000=588.40 元3)实 际 年 利 率在 实 际 生 活 中 ， 我 们 总 会 有 这 样 的 感 觉 ， 我 们 实 际 支 付 的 利 息 好 像要 比 金 融 机 构 所 公 布 的 利 息 多
15、。 让 我 们 看 下 面 的 例 子 。例 1 12 假 设 你 急 需 10 000 元 掉 头 寸 ， 财 务 公 司 甲 的 贷 款 利 率为 年 利 率 15.5 ， 每 年 复 利 一 次 ； 财 务 公 司 乙 提 供 贷 款 的 年 利 率 为 15 ，但 是 每 周 计 复 利 一 次 。 你 选 择 向 哪 个 财 务 公 司 借 款 ？解 ： 在 这 个 问 题 中 ， 你 只 需 比 较 所 要 支 付 利 息 的 多 少 就 可 确 定 。财 务 公 司 甲 ： 一 年 后 所 需 还 款 额 为所 需 支 付 利 息 为1(1)0(5.%)0.nSPR元 ，I=S
16、P=1550.00 元 ；财 务 公 司 乙 ： 由 于 每 周 计 息 一 次 ， 一 年15%2,0.28,rn后 所 需 还 款 额 为 ， 所 以 支 付 利5()(1.8)63.nr元息 为 I S P=1613.10 元 。由 此 你 可 以 决 定 向 财 务 公 司 甲 借 款 比 较 有 利 (尽 管 公 司 甲 的 利 率比 公 司 乙 高 )。5在 例 1 12 中 ， 如 果 选 择 向 财 务 公 司 乙 借 款 ， 则 一 年 中 实 际 需 要 支付 的 利 息 为 1613.10 元 ， 由 此 可 知 这 一 年 的 实 际 利 率 为 16.131 。一 般
17、 地 ， 设 本 金 为 P， 每 期 的 利 率 为 r， 一 年 内 计 息 期 数 为 m，年 实 际 利 率 为 e， 则 ()()mmSr所 以 ， 年 实 际 利 率 公 式 为(1)mr其 中 ， m 为 每 年 的 计 息 次 数 ， r 为 每 期 利 率 。1.2 年 金在 商 务 领 域 里 ， 除 了 研 究 单 利 与 复 利 外 ， 更 多 地 遇 到 的 是 年 金 问 题 。本 节 将 讨 论 年 金 。1.2.1 基 本 概 念1)定 义年 金 指 在 一 定 时 期 之 内 ， 每 隔 相 等 的 时 间 连 续 存 入 或 支 取 的 等 额 存款 、 系
18、 列 收 支 ， 如 债 券 利 息 、 租 金 、 保 险 费 等 都 是 常 见 的 年 金 。 2)年 金 的 种 类按 收 付 情 况 的 不 同 ， 年 金 可 分 为 普 通 年 金 、 预 付 年 金 、 递 延 年 金 和永 续 年 金 。普 通 年 金 指 收 入 和 支 付 的 时 间 均 在 每 期 期 末 的 年 金 。 如 果 某 企 业 于某 年 2 月 1 日 租 入 一 台 机 器 ， 期 限 为 3 年 ， 每 半 年 支 付 一 次 租 金 。 并 规 定 在 期末 支 付 ， 第 一 次 付 款 的 时 间 应 是 7 月 31 日 ， 这 种 租 金 就
19、 属 于 普 通 年 金 。预 付 年 金 指 收 入 和 支 付 的 时 间 均 在 每 期 期 初 的 年 金 。 上 例 中 的 租 金如 果 改 在 期 初 支 付 ， 第 一 次 付 款 的 时 间 应 是 当 年 2 月 1 日 ， 这 种 租 金 就 是 预 付年 金 。递 延 年 金 是 指 推 迟 数 期 之 后 收 入 或 支 付 的 年 金 。 ，永 续 年 金 是 指 无 限 期 的 定 期 支 取 的 年 金 。1.2.2 年 金 的 计 算1)年 金 的 终 值这 里 ， 我 们 只 讨 论 普 通 年 金 终 值 的 计 算 。普 通 年 金 终 值 是 指 一
20、定 时 期 内 ， 每 期 期 末 等 额 收 入 或 支 出 的 本 利 和 ，也 就 是 将 每 一 期 的 金 额 ， 按 复 利 换 算 到 最 后 一 期 期 末 的 终 值 ， 然 后 加 总 ， 就 是该 年 金 终 值 。 在 计 算 普 通 年 金 终 值 时 ， 最 后 一 期 是 不 计 息 的 ， 即 计 息 期 为 总 期 数减 1。例 1 13 设 某 人 于 每 年 年 底 在 银 行 存 款 1 元 ， 连 续 存 4 年 ， 按年 利 率 10 计 息 ， 则 4 年 末 该 项 年 金 的 终 值 可 图 示 如 下 (见 图 1 1)：0 1 2 3 41
21、 (1+0.1) 2(.)3(+0.)1 (1+0.1) 2161 (1+0.1) 1图 1 1 普 通 年 金 终 值 示 意 图解 ： 第 1 年 末 存 入 的 1 元 ， 按 年 利 率 10 复 利 3 次 ， 到 第 4 年末 的 终 值 为 ,第 2， 3 分 别 存 入 的 1 元 的 终 值 依 次 类 推 。 第 4 年 末 存3(+0.)入 的 1 元 因 已 到 期 ， 不 再 计 息 。记 代 表 每 期 支 付 1 元 ， 连 续 支 付 n 期 ， 按 利 率 i 计 息 的 年 金niS终 值 ， 则 本 问 题 的 终 值 可 用 下 式 计 算231(0.)
22、(.)(0.1)ni(1.6)将 (1.6)式 两 边 均 乘 以 (1+0.1)， 得 ：23440.(.)(.)(0.1)S(1.7)式 (1.7)减 去 式 (1.6)， 得 ： 4400.1 元 。 所 以 按 年 利 率 10 计 息 ， 4 年 后40.1()S1 元 年 金 的 终 值 为 4.641 元 。一 般 地 ， 1 元 普 通 年 金 终 值 的 计 算 公 式 为 ：()nniS(1.8)称 为 普 通 年 金 终 值 系 数 ， 表 示 利 率 为 i 时 ， 1 元 普 通 年 金 在nin 期 后 的 终 值 。(注 意 ： 这 里 的 利 率 i 是 指 每
23、 期 的 利 率 。 )若 年 金 为 P， 年 金 终 值 为 S， 则 S 的 计 算 公 式 为7(1)nniiSP(1.9)例 1 14 某 企 业 为 了 今 后 设 备 更 新 ， 于 每 年 年 底 存 入 银 行5 000 元 ， 年 利 率 为 8 ， 为 3 年 后 总 共 能 收 回 的 金 额 是 说 少 ？解 ： 每 期 存 款 额 P 5 000 元 ， 利 率 i=8 ， n 3， 可 利 用 公 式(1.9) 38%S差 年 金 终 值 表 可 得 ： 代 入 上 式 ， 得 ：38%.246S ，。 即 3 年 后 该 企 业 总 共 能 得 16 50.24
24、610.S 元230.00 元 用 于 机 器 设 备 更 新 。2)投 资 基 金在 实 际 生 活 中 ， 许 多 投 资 问 题 都 可 用 年 金 的 终 值 问 题 来 计 算 ， 比 如养 老 基 金 ， 保 险 基 金 等 等 。 下 面 通 过 例 子 来 说 明 一 些 简 单 的 应 用 。例 1 15 某 公 司 职 员 想 在 15 年 后 退 休 ， 因 此 他 为 自 己 建 立 了 一个 养 老 基 金 账 户 ， 他 决 定 每 年 年 底 用 功 司 发 给 他 的 年 终 分 红 中 的 4800 元 存入 银 行 ， 假 定 银 行 的 年 利 率 为 6
25、 ， 并 且 来 了 保 持 不 变 ， 问 15 年 后 他 的 养 老基 金 账 户 中 的 金 额 为 多 少 ？解 ： 这 是 一 个 年 金 为 4 800 元 ， 利 率 为 6 ， 期 数 为 15 的 普 通年 金 终 值 问 题 。查 表 可 得156%156%23.723.7124.80SS ， 因 此 =P元 。即 15 年 后 该 职 员 的 养 老 基 金 账 户 中 的 金 额 为 111724.80 元 。例 1 16 若 上 题 中 的 公 司 职 员 改 成 每 月 底 存 入 400 元 ， 年 利 率不 变 ， 则 15 年 后 养 老 基 金 账 户 中
26、 的 金 额 又 是 多 少 ？解 ： 该 职 员 改 成 每 月 存 款 ， 则 每 期 存 款 额 P=400 元 ， 期 数 为,而 每 期 利 率 为 已 超 出 年 金 终 值 表 的280n 180.5%60.512iS。 由 于范 围 ， 因 此 我 们 用 公 式 (1.8)计 算 得 到 ， 所80.5()29.81. 以 15 年 后 养 老 基 金 账 户 中 的 金 额 为。180.5%44290.6327.S元例 1 17 张 先 生 酷 爱 旅 游 ， 想 在 2 年 后 去 欧 洲 旅 游 ， 已 知 欧 洲10 日 游 的 价 格 为 20 000 元 ， 现
27、行 的 年 利 率 为 2.25 。 为 使 旅 游 计 划 得 以 实 现 ，问 从 现 在 起 张 先 生 每 月 应 存 入 银 行 多 少 钱 ？解 ： 这 是 已 知 年 金 终 值 ， 求 每 期 付 款 额 的 问 题 。 由 于2.5.87,14,in可 计 算 得 到824240.1875%(.01875).3,S所 以 即 张 先 生 每 月 要 存 入 银 行 的240.1875%0815.6.2SP元 。金 额 为 815.56 元 。3)年 金 的 现 值这 里 我 只 讨 论 普 通 年 金 现 值 的 计 算 。普 通 年 金 现 值 是 指 一 定 时 期 内
28、， 每 期 期 末 等 额 收 支 的 现 值 之 和 。 它和 普 通 年 金 终 值 正 好 相 反 ， 如 果 说 年 金 的 终 值 是 零 存 整 取 的 话 ， 年 金 现 值 就 像 是 整存 零 取 。设 某 人 计 划 于 今 后 4 年 内 每 年 末 均 存 入 银 行 1 元 ， 按 利 息 i 计息 ， 则 该 年 金 的 现 值 可 图 示如 下 (见 图 1 2):0 1 2 3 4设 代 表 每 期 1 元 ， n 期 ， 按 利 率 i 计 息 的 年 金 现 值 ， 则 年 金 现ia值 可 计 算 如 下 ：2344 1(1)()()i iii(1.10)
29、两 边 各 乘 以 (1+i)， 得 ：234 1()()()iaiii(1.11)式 (1.11)减 去 式 (1.10)得 444441(),ii iiaai 解 得i21()3i4()111119一 般 地 ， 1 元 普 通 年 金 的 现 值 公 式 为()nniia(1.12) 称 为 普 通 年 金 现 值 系 数 ， 表 示 利 率 为 i， n 期 ， 1 元 普 通 年 金ni的 现 值 。(注 意 ： 这 里 的 利 率 式 每 期 的 利 率 .)若 年 金 为 P， 年 金 现 值 为 A， 则 A 的 计 算 公 式 为1()nni iAa(1.13) 例 1 18
30、 某 企 业 准 备 在 今 后 5 年 内 ， 在 每 年 年 底 给 杰 出 员 工 发 放奖 金 10 000 元 ， 按 年 利 率 10 计 算 ， 问 该 企 业 现 在 一 次 要 存 入 多 少 钱 ？解 ： 这 个 问 题 实 际 上 为 利 率 i 10 ， 期 数 n=5， 求 普 通 年 金P=10000 元 的 现 值 。查 年 金 现 值 表 得 ， 由 公 式 (1.13)可 得 ：5103.79a 510AP 元即 现 在 必 须 一 次 存 入 37 910 元 ， 才 能 在 以 后 5 年 的 每 年 年 末 提取 10000 元 的 现 值 。例 1 1
31、9 某 学 校 在 今 后 的 10 年 中 每 半 年 发 放 一 次 奖 学 金 以 表 彰品 学 兼 优 的 学 生 ， 每 次 发 放 总 额 为 20 000 元 。 设 银 行 的 年 利 率 为 2 ， 并 假定 利 率 保 持 不 变 。 试 问 该 学 校 现 在 必 须 一 次 存 入 银 行 多 少 钱 ？解 ： 这 个 问 题 实 际 上 为 利 率 ， 求%10in， 期 数普 通 年 金 P=20 000 元 的 现 值 。 查 年 金 现 值 表 可 得 ， 所 以2018.46a2108.4639.Aa 元即 现 在 必 须 一 次 性 存 入 银 行 360
32、920.00 元 。4)分 期 偿 还在 现 实 生 活 中 ， 很 大 分 期 付 款 的 问 题 可 以 用 年 金 现 值 的 概 念 来 计 算 。例 1 20 某 笔 借 款 总 额 为 2 000 元 ， 期 限 2 年 ， 年 利 率12 ， 每 季 度 还 款 一 次 。(1)求 每 期 还 款 额 ；(2)给 出 还 款 计 划 明 细 表 ；(3)根 据 (2)给 出 的 明 细 表 ， 求 出 15 个 月 后 借 款 余 额 数 。解 ： (1)这 个 问 题 实 际 上 是 已 知 年 金 的 现 值 ， 求 每 期 的 年 金 数 。 利10率 ， 期 数 ， 查
33、年 金 现 值 表 可 得 ， 所 以 每 期12%34i248n837.02a还 款 额 为 830.907.Pa 元(2)还 款 计 划 明 细 表 如 下 还 款 计 划 明 细 表这 里 ， 第 一 期 应 还 利 息 为 应 还 本 金 为20.360.元 ， 借 款 余 额 为 元 ；284.90624.90元 49175第 二 期 应 还 利 息 为 应 还 本 金 为175元 ， 借 款 余 额 为 元 ； 其 余 类 推 。.53.1.65元 02364. (注 意 每 期 的 利 率 为 3 。 )(3)由 (2)中 的 表 可 知 ， 15 个 月 后 ， 借 款 余 额
34、 为 805.97 元 。5)借 款 余 额例 1 21 某 笔 借 款 总 额 为 20 000 元 ， 期 限 12 年 ， 年 利 率9 ， 每 季 度 还 款 一 次 。(1)求 每 期 还 款 额 ；(2)求 出 5 年 后 借 款 余 额 。期次每期 应 还 款额每期 应 还 利息每期 应 还 本金借款 余 额累计 支 付 利息0 284.902000.001 284.9060.00224.901775.1060.002 284.9053.25231.651543.45113.253 284.9046.30238.601304.85159.554 284.9039.15245.75
35、1059.10198.705 284.9031.77253.13805.97230.476 284.9024.18260.72545.25254.657 284.9016.36268.54276.71271.018 284.908.30276.600.11279.3111解 ： (1)已 知 489%202.512,4Ai a2.5元 ， ， n由 于已 超 出 年 金 现 值 表 的 范 围 ， 因 此 利 用 式 (1.12)计 算 得4848(0.5)9.702a2.5所 以 每 期 还 款 额 为 48685.4.1Pa2.5 元(2)我 们 已 经 计 算 出 P=685.64 元
36、， 而 已 还 款 期 数 20,g84820281(.5).5%0.2 .6ina.5 .， ， 因 此 由 式 (1.14)可 计 算 得 2865.60429.67gngAPa1 2. 元即 5 年 后 ， 借 款 余 额 为 14129.67 元 。以 上 我 们 都 是 假 定 利 率 保 持 不 变 ， 但 现 实 生 活 中 利 率 会 随 着 经 济 发展 状 况 而 改 变 ， 看 下 面 的 例 题 。例 1 23 某 人 向 银 行 借 款 60 000 元 用 于 购 买 汽 车 ， 期 限 20 年 ，年 利 率 10.2 ,每 月 还 款 一 次 .在 7 年 以
37、后 ， 利 率 增 长 为 年 利 率 11.1 .(1)求 前 7 年 每 月 还 款 额 ；(2)求 出 7 年 后 借 款 余 额 ；(3)计 算 利 率 调 整 后 的 每 月 还 款 额 。解 ： (1)已 知由 于0.%60.852014,Ain元 ， ，所 以 ，240240 240(.) 60.758.91.27Aa Pa .85 .85， 故 元 ，前 7 年 每 月 还 款 额 为 586.99 元 。(2)我 们 已 经 计 算 得 到 6元 ，0.85%407124in又 ， ， g因 此 所 以 7 年 后1562408156(0.8).23a. . ，的 借 款 余
38、 额 为 7156.9.237.AP. ，(3)7 年 后 ， 调 整 每 月 还 款 额 ， 相 当 于 已 知 借 款 额 为 50617.32元 ， 期 限 13 年 ， 年 利 率 (复 利 )11.1 ， 求 每 月 还 款 额 。 此 时 ， 121.%A=5067.320.92513256in， ， ，所 以 调 整 利 率 后 每 月 的 还 款 额 为16156(.)8.4a0.92 ，15607.32.841P0.92 元例 1 24 某 人 爱 好 旅 游 ， 因 此 为 自 己 建 立 了 一 个 短 期 的 旅 游 基 金 。他 估 计 前 3 年 每 月 底 他 将
39、 提 取 3 000 元 ， 后 4 年 每 年 底 将 提 取 5 000 元 。 已知 银 行 的 年 利 率 为 8 ， 保 持 不 变 。 问 他 应 在 银 行 存 入 多 少 金 额 才 能 保 证 他 的旅 游 计 划 得 以 实 施 ？解 ： 我 们 可 以 分 两 步 来 求 解 这 个 问 题 。(1)在 前 3 年 ， 103P1元 ， i=8%， n， 因 此8%2.57.0Aa元(2)后 4 年 中 ， 为 了 保 证 在 后 4 年 中342元 ， i， ，每 年 底 能 从 银 行 提 取 5 000 元 ， 第 3 年 底 (在 他 取 出 了 3 000 元
40、以 后 )他 的 旅游 基 金 金 额 应 为 3248%.1650.APa元再 将 按 复 利 3 年 期 的 存 款 换 算 成 现 值 。 即2A323(10.)650(1.8)145.8A 元所 以 此 人 应 在 银 行 存 入127.4.827.A例 1 25 某 人 原 计 划 在 5 年 之 内 每 季 度 支 付 500 元 用 以 偿 还 一笔 银 行 借 款 。 但 是 此 人 却 拖 欠 了 前 面 8 期 款 项 ， 因 此 银 行 决 定 停 止 对 他 的 贷 款 ，并 要 求 其 在 第 9 个 还 款 期 末 将 所 有 的 前 款 一 次 性 还 清 ， 如
41、 果 银 行 的 利 率 为8 ， 此 人 将 一 次 支 付 多 少 钱 ？解 ： 这 个 问 题 中 要 区 分 清 楚 的 是 ： 在 第 9 个 还 款 期 末 ， 前 9 期的 普 通 年 金 终 值 ， 而 剩 余 的 11 期 借 款 余 额 作 为 普 通 年 金 的 现 值 。 这 里%24520.4in， 9%.7548.0SP元2012%93Aaa元所 以 此 人 将 一 次 性 支 付 给 银 行 款 额 为S+A= 4877.50+4893.50=9771.00 元13思 考 题1.1 普 通 年 金 和 复 利 的 区 别 是 什 么 ?1.2 在 例 19 中 ,
42、 如 果 学 校 将 无 限 期 地 发 放 奖 学 金 , 其 他条 件 不 变 , 则 应 该 一 次 性 地 存 入 多 少 钱 ?练 习 题利 用 单 利 计 算 公 式 完 成 下 表本金 P(元 )年利 率 R期数 T利息 I(元 )本利 和 S(元 )12757%4年35715%2年738017004年17001956012.5%3.5 年12500017.5%7年15312519%2.25 年149.6312756%60 月1000012 月105020%30 月1575167258.25%450 天1.2 按 复 利 计 算 公 式 求 出 下 列 各 项 投 资 的 收 益
43、 与 终 值 :投资 额 (元 )年利 率 (%)投资 期 限计息 期投资 收 益 (元 )投资 终 值 (元 )5000204年每年144750102年每季5600012.56年半年750222.5 年每2 周375508.550 月2个 月10000142年每天1.3 按 复 利 计 算 公 式 求 出 下 列 各 项 投 资 的 本 金投资 终 值 (元 )年利 率 (%)投资 期 限 (年 )计息 期投资 本 金 (元 )22000124 每季650221 每月7200142 每天16000254 每年150000152.5每2 周1.4 假 设 某 人 以 年 利 率 13%借 得
44、一 笔 款 项 , 每 2 星 期 复 利 一 次 . 问 他 所 支 付 的 实 际 年 利 率 为 多 少 ?1.5 小 李 以 总 额 为 20000 元 的 资 金 投 资 某 一 基 金 , 当 时 该 基 金承 诺 投 资 收 益 为 年 收 益 率 8%, 每 月 复 利 一 次 ,2 个 月 后 , 该 基 金 将 投 资 收 益 提高 到 9%; 又 过 3 个 月 后 , 投 资 收 益 提 高 到 10%, 并 一 直 保 持 该 收 益 率 , 同 时投 资 收 益 的 计 付 方 式 不 变 (即 每 月 一 次 ). 计 算 2 年 后 小 李 的 投 资 总 收
45、益 为 多 少 ?1.6 利 用 年 金 终 值 表 或 计 算 公 式 完 成 下 表 ：每期 支 付 额（ 元 ）期限 （ 年 ）年利 率（ %）支付 期支付 期 数支付 利 率（ %）终值 （ 元 ）25 415每月2750 312每季9010 7每年1322 213每周215 5 9每月151.7 一 对 新 婚 夫 妇 决 定 为 自 己 设 立 一 个 养 老 基 金 , 每 季 度 末 存款 350 元 , 存 期 为 40 年 . 已 知 当 时 的 年 利 率 为 13.5%, 并 假 定 利 率 保 持 不 变 . 问 40 年 后 该 对 夫 妇 的 养 老 基 金 总
46、额 为 多 少 ?若 基 金 简 历 20 年 后 利 率 下 降 为10%, 则 40 年 后 总 额 又 是 多 少 ?1.8 某 人 想 在 5 年 后 花 100000 元 购 买 一 辆 汽 车 , 为 此 他 从 现 在起 每 月 底 存 入 一 笔 钱 款 , 已 知 银 行 的 年 利 率 为 3.6%, 则 他 每 月 必 须 存 入 多 少钱 ?1.9 利 用 年 金 现 值 表 或 计 算 公 式 完 成 下 表每期 支 付 额（ 元 ）期限 （ 年 ）年利 率（ %）支付 期支付 期 数支付 利 率（ %）现值 （ 元 ）25 415每月2750 312每季9010 7
47、每年1322 213每周215 5 9每月1.10 某 人 向 银 行 借 款 100000 元 用 于 购 买 一 辆 汽 车 ， 借 款 期 限为 5 年 , 每 半 年 等 额 还 款 一 次 , 已 知 银 行 的 年 利 率 未 3.6% .(1) 求 每 期 的 还 款 额 ;(2) 给 出 还 款 计 划 明 细 表 ;(3) 3 年 后 借 款 余 额 为 多 少 ?(4) 如 果 在 还 贷 2 年 后 , 此 人 决 定 将 借 款 年 限 缩 短 围 4 年 , 则后 2 年 他 每 半 年 还 款 额 为 多 少 ?(提 示 : 实 际 生 活 中 ,改 变 借 款 期
48、 限 以 前 所 支 付的 利 息 不 在 调 整 , 而 只 对 借 款 余 额 进 行 重 新 计 算 )1.11 某 人 9 年 前 得 到 一 笔 遗 产 , 金 额 位 260000 元 . 当 时 他 将这 笔 钱 存 入 银 行 , 存 入 银 行 30 年 , 银 行 年 利 率 为 7.54%.而 他 每 2 周 从 中 等额 提 取 生 活 费 .(1) 9 年 来 , 他 每 2 周 提 取 的 金 额 是 多 少 ?(2) 现 在 他 的 银 行 帐 户 中 的 金 额 是 多 少 ?(3) 如 果 现 在 银 行 利 率 下 降 为 7.15%, 则 他 每 次 提 取 的 金 额 又 是多 少 ?1.12 某 投 资 项 目 自 第 3 年 起 , 每 年 可 得 投 资 兽 医 5000 元 , 假 设 该 项 投 资 的 报 酬 率 为 10%. 问 : (1) 10 年
