1、1（5）立体几何空间的距离一、高考要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念.2.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.3.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题.二、知识结构空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到
2、平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 .(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求
3、直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.【例题】【例 1】 如图，已知 ABCD 是矩形，AB=a,AD=b,PA平面 ABCD，PA=2c,Q 是 PA的中点.2求：(1)Q 到 BD 的距离；(2)P 到平面 BQD 的距离.解：(1)在矩形 ABCD 中，作 AEBD，E 为垂足连结 QE， QA平面 ABCD，由三垂线定理得 QEBEQE 的长为 Q 到 BD 的距离在矩形 ABCD 中，AB =a,AD=b,AE= 2ba在 RtQAE 中，QA= PA=c1QE= 22bacQ 到 BD 距离为 .22ac(2)解法一：
4、平面 BQD 经过线段 PA 的中点，P 到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BQD 的距离在AQE 中，作 AHQE，H 为垂足BDAE,BDQE,BD平面 AQE BDAHAH平面 BQE，即 AH 为 A 到平面 BQD 的距离.在 RtAQE 中，AQ=c ,AE= 2baAH= 22)(cbaP 到平面 BD 的距离为 22)(baca解法二：设点 A 到平面 QBD 的距离为 h，由3VABQD=VQABD,得 SBQDh= SABDAQ31h= 22)(bacaSBD【例 2】 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角，点 E、F 分别是 AD、BC的中点，点 O
5、是原正方形的中心，求：(1)EF 的长；(2)折起后EOF 的大小.解：如图，以 O 点为原点建立空间直角坐标系 Oxyz,设正方形 ABCD 边长为 a,则 A(0， a,0)，B( a,0,0)，C(0, a,0)，222D(0,0, a)， E(0, a, a)，F( a, a,0)4421|,cos,2|,| 804)2(4(0),),2,()2( 23,430(0|1 222 OFEaOFE aaa aEFFEOF=120【例 3】 正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，求异面直线 A1C1 与 AB1 间的距离.解法一：如图，连结 AC1，在正方体 AC1 中，A 1C1
6、AC,A1C1平面 AB1C， A1C1 与平面 AB1C 间的距离等于异面直线 A1C1 与 AB1 间的距离.连结 B1D1、BD，设 B1D1A1C1=O1,BDAC=OACBD，AC DD1，AC平面 BB1D1D4平面 AB1C平面 BB1D1D，连结 B1O，则平面 AB1C平面 BB1D1D=B1O作 O1GB1O 于 G，则 O1G平面 AB1CO1G 为直线 A1C1 与平面 AB1C 间的距离，即为异面直线 A1C1 与 AB1 间的距离.在 RtOO1B1 中，O 1B1= ，OO 1=1，OB 1= = 22B6O1G= ，即异面直线 A1C1 与 AB1 间距离为 .
7、31 3解法二：如图，在 A1C 上任取一点 M，作 MNAB1 于 N，作 MRA1B1 于 R，连结RN，平面 A1B1C1D1平面 A1ABB1，MR 平面 A1ABB1，MRAB 1AB1RN，设 A1R=x,则 RB1=1xC1A1B1=AB1A1=45，MR=x,RN=NB1= )(2(0x13)(2)1(xxRNM )当 x= 时，MN 有最小值 即异面直线 A1C1 与 AB1 距离为 .33【例 4】 如图，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形，B，侧棱 , 、 分别是 与 的中点，点 在平面90ACB21ADE1E上的射影是 的的重心 。DG（1） 求 与平面 所成角的大小
8、（结果用反三角函数值表示） ；1（2） 求点 到平面 的距离。AB解：（1）连接 ，则 即为 与平面 所成的角，EBG1D设 ， ，xCFA1EFEDB1C1A BCA1G5在 中，DEFRtFGD2则 ，132xx ,FG则 32arcsin,3,6EBDE 与平面 所成角的大小为 。BA1 i（2） 、设点 到平面 的距离为 ，1Ad ，5,2,3DE 是 直 角 三 角 形A由 ，AEDEV11即 。362,)2(3)2(3 dd、【例 5】 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，四边形 A1ABB1 是菱形，四边形BCC1B1 是矩形，ABBC，CB=3，AB=4， A1AB=60.
9、（1）求证：平面 CA1B平面 A1ABB1（2）求直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成角的正切值；（3）求点 C1 到平面 A1CB 的距离.证：（）因为四边形 BCC1B1 是矩形BCBB 1，又ABBC ，BC平面 A1ABB1，BC 平面 CA1B，平面 CA1B平面 A1ABB1.解（2）过 A1 作 A1DB 1B 于 D，连接 DC，BC平面 A1ABB1，BCA 1DA 1D平面 BCC1B1，故 A1CD 为直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成的角.在矩形 BCC1B1 中，DC= ，3因为四边形 A1ABB1 是菱形， A 1AB=60，CB=3 ，6AB=4， ，
10、321D19tanC（3）B 1C1BC 1， B 1C1平面 A1BC，C 1 到平面 A1BC 的距离即为 B1 到平面 A1BC 的距离 .连结 AB1 ，AB 1 与 A1B 交于点 O，四边形 A1ABB1 是菱形，B 1OA 1B.平面 CA1B平面 A1ABB1， B 1O平面 A1BCB 1O 即为 C1 到平面 A1BC 的距离.B 1O= ，32C 1 到平面 A1BC 的距离为 .32【例 6】 如图，四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60,在四边形 ABCD 中，D=DAB=90 ，AB=4 ，CD=1，AD=2.（1）建立
11、适当的坐标系，并写出点 B、P 的坐标；（2）求异面直线 PA 与 BC 所成的角；（3）若 PB 的中点为 M，求证：平面 AMC平面 PBC. 解（1）建立如图所示的空间直角坐标系 ,xyzDD= DAB=90 ，AB=4，CD=1，AD=2，A（2，0，0） ，C（0，1， 0） ，B （2，4，0）. 由 PD平面 ABCD，得P AD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角，PAD=60.在 Rt PAD 中，由 AD=2，得 PD= ，32 .)32,0(（2） ),0(),(BC1313452cos PA所以 PA 与 BC 所成的角为 arcos（3） .),2(,的 坐 标 为
12、中 点为 MB34)3,1)32,1( PBCzyxMA BD CP7B DCAPEFHMBCE ADBDCAPEFGMH，03242)1(PBAM)(C PBCAMCPB平 面平 面 .,.A平 面平 面【例 7】 如图，在矩形 中， ， 为 上一点，将 点沿线段ABCDaBC2EABB折起至点 ，连结 ，取 的中点 ，若有 平面 ECP、PF/PEC（1）试确定 点位置；（2）若异面直线 所成的角为 ，求证：平面 平面 ；CDE、 o60ECAD（3）在条件（2）下，求点 到平面 的距离FPEC解：（1） 为 的中点证明如下：AB取 的中点 ，连 PCGE、由条件知 ， CDF/ EAGF
13、/则 四点共面AE、平面 ，平面 平面 ，/PPCGF则四边形 为平行四边形EABACD2121、则 为 的中点B（2）所成的角为 ，CDPEA、/o60o10， aBaA3在 中， AEM aEMEo21035cs22 , aBPPA则 oA90P， 平面 MECM、ECD8平面 ， 平面 平面 PMECPEACD（3） 平面 ， 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离/AFFPEAPEC作 交 的延长线于 ，HH平面 平面 ， 平面 PECDAC， 点 到平面 的距离即点 到平面 的距离为 aA2FPEAPECa2【例 8】 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，BC A=90，AC=BC=
14、 a，A 1 在底面 ABC上的射影恰为 AC 的中点 D，又 A1BA C1.（1）求证：BC平面 ACC1A1；（2）求 AA1 与平面 ABC 所成的角；（3）求二面角 B-AA1-C 的正切值.解：（1）证明：A 1D平面 ABC，A 1DBC（2 分）又ACBC， BC平面 ACC1A1（4 分）（2）A 1D平面 ABC，A 1AD 是 AA1 与底面 ABC 所成的角由（1）知，BC平面 ACC1A1，又 A1BAC 1A 1CAC 1，ACC 1A1 是菱形 AA 1=a，A 1DA C，且 AD=DC= a，A 1AD=60即 AA1 与底面 ABC 所成的角为 602（3）
15、由（1）知，BC平面 ACC1A1，作 CNAA 1 于点 N，A 1AC 是等边三角形，点 N 是 AA1 的中点，连 NB，则 BNAA 1，BNC 是二面角 B-AA1-C 的平面角易知，CN= ，BC=a23在 RtBCN 中，tanBNC= ，32CNB二面角 B-AA1-C 的正切值为【例 9】 对棱都相等的四面体称为等腰四面体。（1）试在长方体 中，连接某些顶点作出一个等腰四面体，写作1DCBA，并探索等腰四面体的性质。 （至少写出三条，不需证明）1等 腰 四 面 体性质：四个面都是全等的三角形；9各顶点到其所对面的距离都相等；它的体积是长方体体积的三分之一。（2）证明等腰四面体的另一条性质：等腰四面体中，各侧面与底面所成二面角的余弦之和等于 1。已知：四面体 中，BCDA，各侧面与底面所成二面角分别为 。B, ,求证： 1coscos证明：过 作 底面 ， 为垂足，AOBC连接 ，D,设二面角 为 ，则 ，CACDOScos设二面角 为 ，BA则 ，COScos设二面角 为 ，则 ，BDAABDOScosBCACSSDBOOScoscos CD1责任编辑：贾亦正
