1、高 次 剩 余 规 律 初 探隆 民 工（陕西咸阳）引 言本文运用初等数论理论，力求简明的给出了高次剩余的一些基本性质和规律。定义：设 m 是一个大于 1 的正整数，a 和 b 都是正整数；且（m，a）=1 ；（m ，b）=1。当 n1 时，有anb （modm）成立，则 b 就叫做 a 对模 m 的高次剩余。定理（一）若 p 是一个素数，a 是一个正整数，（p，）=1,且有 p-1= 1 1= 2 2= s s。当 a i b （modp）则 bi 1 （modp） （1bp-1）当 ai c （modp） （1cp-1）则 ci 1 （modp） （i=1,2，s）证明：（1）由费尔马定理
2、可知 （a i ） i =ap-11 （modp）又 b i =（a i ） i 1 （modp） b i 1 （modp）（2）同理可得当 a i c （modp）则 c i 1 （modp）定理（二）若 p 是一个素数，a 是一个正整数，且（p，）=1。（1）当 a k1 （modp）则 a kn1 （modp）（2）当 ak-1 （modp） （n=1,2，）则 a k（2n-1） 1 （modp）证明：（1）（a k） n1 n （modp） a kn1 （modp）（2）同理可得（a k） 2n-1（-1） 2n-1 （modp） a k（2n-1） -1 （modp）定理（三）若
3、p 是素数，a 是正整数， （p，）=1，且有aeb （modp）（1）当 a k1 （modp）则 a k+eb （modp）（2）当 a k-1 （modp）则 a k+ep-b （modp）证明：（1） a kae1b （modp） a k+eb （modp）（2） a kae（-1）bp-b （modp） a k+ep-b （modp）定理（四）若 p 是素数，a、b、c 分别是正整数，且（p，a）=（p，b）=（p，c）=1，p=a+b。（1）当 a 2nc （modp）则 b 2nc （modp）（2）当 a 2n+1c （modp）则 b 2n+1p-c （modp）证明：（1）
4、由 p=a+b，得 a=p-b。 a 2n=（p-b） 2n=p（p-2b）+b 2n=pq+b2n式中 q 为由二项式所含 p 各项决定的一个正整数。 a 2nb 2n （modp）a2nc （modp） b 2nc （modp）（2）同理，由 p=a+b，得 a=p-b。 a 2n+1=（p-b） 2n+1=（p-b） （p-b） 2n=ap（p-2b）+b 2n=paq+ab2n式中 q 为由二项式所含 p 各项决定的一个正整数。给上两式两边同时加 b2n+1，有a2n+1+ b2n+1=paq+ab2n+ b2n+1=paq+（a+b）b 2n=p（aq+ b 2n）已知 a2n+1c
5、 （modp） b 2n+1p-c （modp）定理（五）若 p 是素数，a 是正整数， （p，a）=1，当k 为最小，使得ak1 （modp）成立时，则数集a n对模 p 可分为 k 个剩余类。证明：当 n=1,2,，k 时，在 a n 中令 a 1r 1 （modp）a2r 2 （modp） ak1 （modp）当 n=k+1,k+2,，2k 时有 a k+1r 1 （modp）ak+2r 2 （modp） a2k-11 2k-1 （modp）a2k1 （modp）以此类推因为（p，a）=1，所以r 1，r 2，r k-1是a n对模 p 分为 k 个不为零的剩余类。依次表示为amk+1r
6、 1 （modp）amk+2r 2 （modp） a(m+1)k-1r k-1 （modp）a(m+1)kr k=1 （modp）1r ip-1，m=0，1，2，定理（六）若 p 是素数，a 是正整数， （p，a）=1，在数集a n中有ak1 （modp）当a n对模 p 分为 k 个不为零的剩余类，依次分别为amk+1r 1 （modp）amk+2r 2 （modp） a(m+1)k-1r k-1 （modp） （m=0，1，2，a(m+1)kr k=1 （modp） i=1，2，,k）则在 (amk+i-ri)/p中，任截连续 p 个项，对模 p是一个完全剩余系的充要条件是（p，(a k-
7、1)/p）=1。证明： a k1 （modp）令 a k=pq+1显然 q=(a k-1)/p(ak)m-1/p=(pq+1)m-1/p由二项式原理可得当 m=0 时，(pq+1) 0-1/p=0当 m=1 时，(pq+1) 1-1/p=pq1+q当 m=2 时，(pq+1) 2-1/p=pq2+2q 当 m=j 时，(pq+1) j-1/p=pqj+jq 由上式可知，只有当（p，q）=(p, (a k-1)/p)=1 时，则在上式中任截连续 p 个项（式） ，对模 p 是一个完全剩余系。 a mk1 （modp）air i （modp） a mk+ir i （modp）故只有(p, (ak-1)/p)= (p, (amk-1)/p)=1 时，则在(amk+i-ri)/p中, 任截连续 p 个项，对模 p 是一个完全剩余系。(待续)说明：本农民工在高次剩余陆陆续续“打工”数年，归纳其性质和规律近 20 条，由于隆民工就是农民工等原因，其一直处于刀耕火种状态。现将部分成文，以后将陆续完善这些性质和规律，并对其推广和应用继续探索，以飨读者。本文意在抛砖引玉，敬请高人不吝赐教。
