1、第五章 弯曲应力,回顾与比较,内力,应力,思考：弯曲梁截面上内力的分布规律是怎样的？,5.1 纯弯曲,梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲,梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲(剪切弯曲),5.1 纯弯曲,一、平面假设 梁表面变形具有如下特征 (1) 横线（m-m,n-n）仍是直线，只是发生相对转动，但仍与纵线（a-a，b-b）正交。 (2) 纵线（a-a,b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。,梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。这一假设称平面假设。 另外还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。,5.1 纯
2、弯曲,根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线为截面的中性轴。,思考：横截面上位于中性轴两侧的各点受力情况？中性层呢？,5.1 纯弯曲,1. 变形几何关系 a-a弯曲后长度：则a-a的应变（纵向正应变）：,5.2 纯弯曲时的正应力,表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。,2. 物理关系 对于线弹性材料，当应力小于比例极限时，根据胡克定律有：,表明：正应力沿着截面高度按线性分布 。,请问：能否直接用来计算应力？,5.2 纯弯曲时的正应力,3. 静力关系,5.2 纯
3、弯曲时的正应力,注：通过截面形心（图形几何形状的中心）的坐标轴，图形对其静矩等于零。 说明：z轴通过截面形心，即z轴和x轴的位置确定了。,5.2 纯弯曲时的正应力,由于y轴是横截面的对称轴，必然有Iyz=0。,5.2 纯弯曲时的正应力,是梁轴线变形后的曲率。,EIz称为梁的抗弯刚度。,5.2 纯弯曲时的正应力,纯弯曲正应力的计算公式,得到：,问：正应力正负如何确定？说明：只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，该公式就适用。,5.2 纯弯曲时的正应力,5.3 横力弯曲时的正应力,梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。 进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁，l/h=
4、5），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，公式 仍然适用。对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁也可近似适用。,横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。 一般情况下，正应力不仅与M有关，还与 有关，即与截面的形状和尺寸有关。用 表示，则Wz称为抗弯截面系数，单位m3。,5.3 横力弯曲时的正应力,常见截面的 Iz 和 Wz,5.3 横力弯曲时的正应力,常见截面的 Iz 和 Wz,z,5.3 横力弯曲时的正应力,强度条件 对抗拉和抗压强度相等的材料（如碳钢），只要绝对值最大的正应力不超过许用应力即可； 对抗拉和抗压强度不等的材料（如铸铁），则拉和压的最大应力都应不超过各自的许用应力。,
5、5.3 横力弯曲时的正应力,例题5-1：,5.3 横力弯曲时的正应力,1.C 截面上K点正应力,2.C 截面上最大正应力,3.全梁上最大正应力,4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半径,计算支反力和C截面上的弯矩,解：,FAY,FBY,1. C 截面上K点正应力,5.3 横力弯曲时的正应力,2. C 截面最大正应力,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,5.3 横力弯曲时的正应力,3. 全梁最大正应力,最大弯矩,截面惯性矩,5.3 横力弯曲时的正应力,4. C 截面曲率半径,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,5.3 横力弯曲时的正应力,例题5-2：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知,材料的许
6、用应力,分析,弯矩 最大的截面?,抗弯截面系数 最小的截面？,5.3 横力弯曲时的正应力,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,解：,（3）B截面，C截面需校核,（4）强度校核,B截面：,C截面：,（5）结论：机车轮轴满足强度条件,5.3 横力弯曲时的正应力,练习：P165 题5.2 作业：P166 题5.4，题5.5 参看：例5.3，P146,5.3 横力弯曲时的正应力,5.4 弯曲切应力,梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 ，又有切应力 。 切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式仍然适用的基础上，假定切应力在
7、横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出切应力的计算公式。,一、矩形截面梁 如图所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q。现分析距中性轴z为y的横线 上的剪应力分布情况。 经分析可以假设： 1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 。 2）剪应力沿截面宽度均匀分布。,5.4 弯曲切应力,5.4 弯曲切应力,式中， 为微块的侧面面积， 为面积 中距中性轴为 处的正应力， 。,由微块沿x方向的平衡条件 ，得,故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力为,该切应力的计算公式也适用于其它截面形式的梁。 式中，Fs为截面上的剪力； Iz为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；
8、为面积 对中性轴的静矩。,对于矩形截面梁，可取dA=bdy1 ，于是,5.4 弯曲切应力,在截面上、下边缘处，y=h/2 , =0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，其值为,上式表明，沿截面高度, 剪应力按抛物线规律变化。,5.4 弯曲切应力,二、工字形截面梁 工字形截面梁由腹板和翼缘组成。 矩形切应力计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化。 最大剪应力在中性轴上，其值为,5.4 弯曲切应力,为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的 可以从型钢表中查得。,计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.950.97）Fs ，因此也可用下式计算 的近
9、似值。,式中h1为腹板的高度，d为腹板的宽度。,5.4 弯曲切应力,补充：静矩和形心的计算,5.4 弯曲切应力,组合截面的静矩 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:,5.4 弯曲切应力,将,代入,解得组合截面的形心坐标公式为：,（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）,组合截面的形心坐标公式,参考：P151静矩的计算,强度条件： 正应力强度条件切应力强度条件 解决三类问题： 强度校核、截面设计、许可载荷计算 某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进
10、行弯曲剪应力强度校核。,5.4 弯曲切应力,例题5-3：吊车梁如图所示，若起吊重量P=30kN,吊车梁跨度l=8m，梁材料的=120MPa， =60MPa。若梁由工字钢制成，试选择工字钢的型号。,解: 吊车梁可简化成一简支梁，如图所示。,（1）首先按正应力强度条件确定梁的截面： 当载荷作用于梁中点时，梁的弯矩为最大，其值为：,5.4 弯曲切应力,根据强度条件,有,从型钢表中查得28a工字钢的 。,（2）校核最大剪应力作用点的强度: 当小车移至支座处时梁 内剪力最大，即Fsmax=P=30kN,5.4 弯曲切应力,根据剪应力的强度条件,由型钢表查得28a工字钢的,显然最大剪应力作用点是安全的。因
11、而根据正应力强度条件所选择的截面是合用的。 本例结果表明，梁中最大剪应力是较小的，这是因为在设计型钢时，已令腹板有足够的厚度，以保证剪应力的强度。,5.4 弯曲切应力,例题5-4：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求许可载荷。,1.画梁的剪力图和弯矩图,解：,5.4 弯曲切应力,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,5.4 弯曲切应力,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,5.4 弯曲切应力,作业：P171 题5.21,5.4 弯曲切应力,5.6 提高弯曲强度的措施,1.
12、降低 Mmax,合理安排支座,合理布置载荷,合理布置支座,5.6 提高弯曲强度的措施,合理布置支座,5.6 提高弯曲强度的措施,合理布置载荷,5.6 提高弯曲强度的措施,2. 增大 WZ,合理设计截面,合理放置截面,抗弯截面系数W越大，能承受的Mmax越大； 面积A越小，越经济越轻巧； 因而选择合理的截面形状，使得截面面积A较小，而W较大。用Wz /A来衡量截面形状的合理性和经济性。,5.6 提高弯曲强度的措施,合理设计截面,5.6 提高弯曲强度的措施,合理放置截面,5.6 提高弯曲强度的措施,3、等强度梁,5.6 提高弯曲强度的措施,5.6 提高弯曲强度的措施,5.6 提高弯曲强度的措施,第五章 弯曲应力,本章小结 纯弯曲的正应力 横力弯曲的正应力弯曲切应力 矩形截面梁工字型截面梁强度条件：正应力、切应力、许用应力 提高弯曲强度的措施 合理布置支座、合理布置载荷、合理设计截面、合理放置截面、等强度梁,
