1、4.2 相似矩阵与矩阵对角化,定义4.2 设A、B都是n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得 P-1AP=B则称A与B是相似的，记为AB,一、相似矩阵,矩阵的相似关系是一种等价关系，即：,反身性：对任一n阶矩阵A，则,对称性：若 ，则,传递性：若 且 ，则,1,相似矩阵的性质：,3. 相似矩阵或者都可逆或者都不可逆；当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。,1. 若 ，则 。,2. 若 ，则 。,证：,设 ，则 ，所以A与B同时可逆 或不可逆。,若A与B同时可逆，由于,则,即,2,4. 若 ，则对任意非负整数k， 。,证：,设 ，则存在可逆矩阵P，使得,当k = 0时， ，显然,当k 0时， ，即
2、,5. 相似矩阵具有相同的特征值。,证：,设 ，则存在可逆矩阵P，使得,则,6. 相似矩阵具有相同的迹。,3,二、矩阵可对角化的条件,相似矩阵具有许多共同性质，因此我们希望在众多相似矩阵中寻找一个最简单的矩阵作为相似类的代表。只要了解最简单矩阵的性质就可以了解 A 的一些性质。那么最简单的矩阵是什么形式？,4,证：,必要性,设 ，则存在可逆矩阵P，使得,记P的列向量组为 ，则 线性无关，并且,可得,故A有n个线性无关的特征向量。,5,充分性,设A有n个线性无关的特征向量 对应的特征值依次为 ，则,令 ，则P可逆。由于,即,故 ，矩阵A与对角矩阵 相似。,6,推论 n阶矩阵A有n个互异的特征值 ，则A必可与对角矩阵 相似。,例1 把矩阵 对角化。,解：,在4.1例4中已经求出A的全部特征值为：,7,A对应于 的特征向量为：,A对应于 的特征向量为：, 令,则,8, 令,则, 令,则,9,例2 设二阶矩阵 ，求,解：,易于求出A的全部特征值为：,A对应于 的特征向量为：,A对应于 的特征向量为：,令 ，则,从而,10,于是,11,（证明略）,练习 判断矩阵 是否可与对角矩阵相似？,12,作业（习题四A）,12 14,13,14,
