1、中档题专练(一) 1.(2018 江苏盐城高三( 上) 期中) 在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=3,cos B= ,79且 =7.(1)求 b 的值;(2)求 sin(A-B)的值.2.(2018 南京师大附中高三年级模拟)如图,A,B,C 三个警亭有直道相通 ,已知 A 在 B 的正北方向 6 千米处,C 在 B 的正东方向 6 千米处.3(1)警员甲从 C 出发,沿 CA 行至点 P 处,此时 CBP=45,求 PB 的长;(2)警员甲从 C 出发沿 CA 前往 A,警员乙从 A 出发沿 AB 前往 B,两人同时出发,甲的速度为3 千米/小时,乙的速度为
2、6 千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达 B 后原地等待,直到甲到达 A 时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过 9 千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长?答案精解精析1.解析 (1)在 ABC 中,由 =7,得 accos B=7,即 3c =7,解得 c=3.79在ABC 中,由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=9+9-18 =4,b=2.79(2)因为 cos B= ,所以 B 为锐角,79故 sin B= .429又由余弦定理,得 cos A= = = ,所以 A 为锐角,且 sin A= .2+222 22+3232223 13 223所以 sin(
3、A-B)=sin Acos B-cos Asin B= - = .223 7913429 102272.解析 (1)易知在 ABC 中,AB=6, A=60,APB=75,由正弦定理得, = ,则 BP= = = =3 ( - )=9 -3 ,6322+64 1236+2123(62)4 3 6 2 2 6故 PB 的长是(9 -3 )千米.2 6(2)甲从 C 到 A 需要 4 小时,乙从 A 到 B 需要 1 小时.设甲、乙之间的距离为 f(t),要保持通话则需要 f(t)9.当 0t1 时,f(t)= (6)2+(123)226(123)60=3 9,7216+16即 7t2-16t+70,解得 t ,又 t0,1,8157 8+157所以 t1, 8157所以时长为 小时.1517当 1t4 时, f(t)= 36+(123)226(123)60=3 9, 26+12即 t2-6t+30,解得 3- t3+ ,又 t(1,4,6 6所以 1t4, 所以时长为 3 小时.综上,总时长为 3+ = (小时).1517 15+207答:两人通过对讲机能保持联系的总时长是 小时.15+207
