1、高考大题专项练五 高考中的解析几何高考大题专项练第 10 页 1.设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: +y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足 .22 =2 (1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 =1.证明: 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.(1)解 设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0). 由 得 x0=x,y0= y.=2 22因为 M(x0,y0)在 C 上,所以 =1.22+22因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.(2)证明 由题意
2、知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n), =(-3-m,t-n). 由 =1 得 -3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以 =0,即 . 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.2.(2018 全国 ,理 19)设椭圆 C: +y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,点 M 的坐标22为(2,0).(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程;(2)设
3、 O 为坐标原点 ,证明:OMA= OMB.(1)解 由已知得 F(1,0),l 的方程为 x=1.由已知可得,点 A 的坐标为 .(1,22)或 (1,- 22)所以 AM 的方程为 y=- x+ 或 y= x- .22 2 22 2(2)证明 当 l 与 x 轴重合时,OMA=OMB=0,当 l 与 x 轴垂直时,OM 为 AB 的垂直平分线,所以OMA= OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1b0)的左焦点为 F,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 ,点 A22+22 53的坐标为(b,0),且|F
4、B|AB|=6 .2(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P,且 l 与直线 AB 交于点 Q.若sinAOQ( O 为原点), 求 k 的值.|=524解 (1)设椭圆的焦距为 2c,由已知有 ,又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.22=59由已知可得,|FB|=a ,|AB|= b.2由|FB|AB|=6 ,可得 ab=6,从而 a=3,b=2.2所以,椭圆的方程为 =1.29+24(2)设点 P 的坐标为(x 1,y1),点 Q 的坐标为(x 2,y2).由已知有 y1y20,故|PQ|sin AOQ=y 1-y2.又因为|AQ|= ,2而
5、OAB= ,故|AQ|= y2.4 2由 sinAOQ,可得 5y1=9y2.|=524由方程组 消去 x,可得 y1= .易知直线 AB 的方程为 x+y-2=0,由方程组=,29+24=1, 692+4消去 x,可得 y2= .由 5y1=9y2,可得 5(k+1)=3 ,两边平方,整理得 56k2-=,+-2=0, 2+1 92+450k+11=0,解得 k= ,或 k= .12 1128所以,k 的值为 .12或 11286.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆,离心率 e= ,且椭圆过点 .12 (1,32)(1)求椭圆的方程;(2)椭圆左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2的
6、直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,则F 1AB 的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.解 (1)由题意可设椭圆方程为 =1(ab0).22+22则 解得 a2=4,b2=3.=12,12+942=1,2=2+2, 椭圆方程为 =1.24+23(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令 y10,y20).(1)证明:k- ;12(2)设 F 为 C 的右焦点,P 为 C 上一点,且 =0.证明:| |,| |,| |成等差数列,并求该数列P+ 的公差.(1)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =1, =1.214
7、+213 224+223两式相减,并由 =k 得 k=0.1-21-2 1+24 +1+23由题设知 =1, =m,于是 k=- . 1+22 1+22 34由题设得 0m ,故 k- .32 12(2)解 由题意得 F(1,0).设 P(x3,y3),则(x 3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得 x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0.又点 P 在 C 上,所以 m= ,34从而 P ,| |= .(1,-32)32于是| |= =2- .(1-1)2+21=(1-1)2+3(1-214) 12同理| |=2- .22所以| |+| |=4- (x1+x2)=3.12故 2| |=| |+| |,则| |,| |,| |成等差数列, 设该数列的公差为 d,则 2|d|=| |-| |= |x1-x2|= .12 12(1+2)2-412将 m= 代入 得 k=-1.34所以 l 的方程为 y=-x+ ,代入 C 的方程,并整理得 7x2-14x+ =0.74 14故 x1+x2=2,x1x2= ,代入 解得|d|= .128 32128所以该数列的公差为 或- .32128 32128
