1、课时作业(十二) 第 12 讲 函数模型及其应用时间 / 45 分钟 分值 / 90 分基础热身1.某公司招聘员工,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y= 其中 x4,110,2+10,10100, 代表拟录用人数, y 代表面试对象人数 .若面试对象人数为 60,则该公司拟录用人数为 ( )A.15B.40C.25D.702.某汽车销售公司在 A,B 两地销售同一种品牌的车,在 A 地的销售利润(单位:万元)为 y1=4.1x-0.1x2,在 B 地的销售利润(单位:万元) 为 y2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆) .若该公司在两地共销售 16 辆这种品牌的车,则能获得的最
2、大总利润是 ( )A.10.5 万元 B.11 万元C.43 万元 D.43.025 万元3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了一组实验数据(如下表 ),现准备用下列四个函数中的一个来近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.51 6.126y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01A.y=2x-2 B.y= (x2-1) 12C.y=log2xD.y=lo x124.某工厂产生的废气经过过滤后排放,在过滤过程中,污染物的含量 p(单位:毫克 /升)不断减少,已知 p与时间 t(单位:小时) 满足 p=p0 ,其中 p0为 t=0 时的污染
3、物含量 .又测得当 t 从 0 到 30 时,污染物含230量的平均变化率是 -10ln 2,则当 t=60 时, p= ( )A.150 B.300C.150ln 2 D.300ln 25.2018成都七中模拟 某食品的保鲜时间 y(单位:小时) 与储藏温度 x(单位:)满足函数关系式y=ekx+b(e 为自然对数的底数 ,k,b 为常数) .若该食品在 0 时的保鲜时间是 192 小时,在 22 时的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 时的保鲜时间是 小时 . 能力提升6.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 已知总收益 R 与产
4、量 x 的关系式为 R= 则总利润最大时,生产的产品为 ( )400122,0400,80 000,400, A.100 单位 B.150 单位C.200 单位 D.300 单位7.气象学院用 32 万元购置了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启动的第 1 天开始连续使用, 第 n 天的维修保养费为 4n+46(nN *)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止,则一共要使用 ( )A.300 天 B.400 天C.600 天 D.800 天8.一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出, t min 后剩余的细沙量(
5、单位: cm3)为 y=ae-bt,经过 8 min 后发现容器内还有一半的细沙,则当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,又经过的时间为 ( )A.8 min B.16 minC.24 min D.32 min9.2018北京东城区期中 光线通过一块玻璃,强度要损失 10%.设光线原来的强度为 k,通过 x 块这样的玻璃以后强度为 y,则经过 x 块这样的玻璃后光线强度 y=k0.9x,若光线强度能减弱到原来的 以14下,则至少通过这样的玻璃(lg 3 0 .477,lg 20 .3)( )A.12 块 B.13 块C.14 块 D.15 块图 K12-110.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边
6、角料(如图 K12-1),为降低消耗, 开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分 )备用,则截取的矩形铁片面积的最大值为 . 11.某商品价格 y(单位:元) 因上架时间 x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是 y=kax(a0 且 a1, xN *).若商品上架第 1 天的价格为 96 元, 上架第 3 天的价格为 54 元,则该商品上架第 4 天的价格为 元 . 12.(10 分)在十九大报告中提出的新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国” .目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁
7、、有色金属、炼化等)的产能过剩,将严重影响生态文明建设 ,“去产能”将是一项重大任务 .十九大后,某行业计划从 2018 年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为 x(0100 时, y150.因此所求人数 x(10,100, 由 2x+10=60,得 x=25,故选 C.2.C 解析 依题意,设在 A 地销售 x 辆车,则在 B 地销售(16 -x)辆车, 所以总利润 y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-10.5)2+0.110.52+32,因为 x0,16且 xN ,所以当 x=10 或 11 时, ymax=43.故选 C.3.B 解析
8、由 y 随 x 的变化趋势知 ,函数在(0, + )上是增函数,且 y 的增长速度随 x 的增大越来越快 .A 中函数增长速度不变,C 中函数是增长速度逐渐变慢的函数,D 中函数是减函数,故排除 A,C,D,易知 B 中函数最符合题意 .4.C 解析 因为当 t0,30时,污染物含量的平均变化率是 -10ln 2,所以 -10ln 2= ,所以1200300p0=600ln 2,所以当 t=60 时, p=600ln 22-2=150ln 2.5.24 解析 由题意知 192=eb,48=e22k+b, e22k= , 当 x=33 时, y=e33k+b=192 =24.14 (14)326
9、.D 解析 设总成本为 C 元,总利润为 P 元,则 C=20 000+100x,则 P=R-C=3002220 000,0400,60 000100,400. 当 0 x400 时, P=- x2+300x-20 000=- (x-300)2+25 000,x=300 时, P 取得最大值 25 000;12 12当 x400 时, P = 13 .04,140.922231又 xN *, 至少通过 14 块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的 以下 .故选 C.1410.180 解析 依题意知 = ,即 x= (24-y)(8 y0 且 a1,可得1=96,3=54, =34,=128,则
10、y=128 ,则该商品上架第 4 天的价格为 128 = =40.5(元) .(34) (34)481212.解:( 1)依题意得 (1-x)n=a,即 1-x= ,即 x=1- (nN *). (2)由题得(1 -10%)n25%, 即 ,(910) 14则 nlg lg ,即 n(2lg 3-1) -2lg 2,910 14则 n ,又 13 .09,nN *,n 的最小值为 14.2212322123故至少要到 2031 年才能使年产能不超过 2017 年的 25%.13.解:( 1)依题意知 ,当 n=2 时, y=1800;当 n=5 时, y=6000, 则 解得1800=2+,6
11、000=5+, =1400,=1000,所以 y=0,=1,14001000,2且 .(2)记使用 n 年,年平均收益为 W 元,则当 n2 时, W=60 000- 137 600+1400(2+3+n)-1000(n-1)=60 000- 137 1 1600+1400 -1000(n-1) =60 000- (137 200+700n2-300n)=60 300- 60 (1)(+2)2 1 (700+137 200 )300-2 =40 700,700137 200当且仅当 700n= ,即 n=14 时取等号,137 200所以这台收割机使用 14 年可使年平均收益最大 .14.解:
12、( 1)由已知条件得 100=a ,解得 a=50,4所以 y=50 (1 x16, xN *),所以 M=mx-5x-50 +50(1 x16, xN *).(2)由题意知,0 M150, 所以 (1 x 16,xN *)恒成立,550+500,550+50150即 (1 x16, xN *)恒成立 .50+50+5,100+50+5设 t= ,则 t1,1 14所以 恒成立 .502+50+5,1002+50+5(141)由 m -50t2+50t+5=-50 + 恒成立,(12)2352(141)得 m 当 t= ,即 x=4 时取等号 ;352 12由 m100 t2+50t+5=100 - t1 恒成立,(+14)25414得 m 当 t= ,即 x=16 时取等号 .954 14所以 m 的取值范围是 .352,954
