1、7.5 绝对值不等式挖命题【考情探究】5年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2017浙江,15,17绝对值三角不等式的应用,含绝对值不等式的解法向量的模的最值,函数最值2016浙江,8,20绝对值三角不等式的应用不等式命题的判断、数列不等式的证明含绝对值不等式的解法1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义,能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式.2.理解|x|a 的解法与几何意义.掌握|x|a,|ax+b|c,|ax+b|c 型不等式的解法.3.掌握|x-a|+|x-b|c 和|x-a|+|x-b|c 型不等式的解法.2015浙江,18绝对值三角不等式的应用,含绝
2、对值不等式的解法二次函数的最值分析解读 1.主要考查绝对值的几何意义和绝对值不等式的解法,利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式.2.绝对值不等式常与函数(例:2015 浙江,18)、导数、数列(例:2016 浙江,20)等知识联系在一起,难度较大,是近两年浙江高考命题的热点.3.预计 2020年高考中,仍会对绝对值不等式进行考查.利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式,以及含绝对值不等式的解法仍是重点之一,复习时要足够重视.破考点【考点集训】考点 含绝对值不等式的解法1.(2018浙江杭州高三教学质检,1)设集合 A=x|x+2|2,B=0,4,则 R(AB)=( ) A.R
3、 B.0C.x|xR,x0 D.答案 C 2.(2018浙江浙东北联盟期中,17)设 a,bR,a0)型的不等式的解法1.已知不等式|2x-1|-|x+1|-,故-0,此时无解.综上得-1时,式化为 x2+x-40,从而 11,2,-11,-2,2.可得 f(x)0 的解集为x|-2x3.(2)f(x)1 等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当 x=2时等号成立.故 f(x)1 等价于|a+2|4.由|a+2|4 可得 a-6 或 a2.所以 a的取值范围是(-,-62,+).方法总结 解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法求解;求含有两
4、个或两个以上绝对值的函数的最值,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.3.(2018课标全国,23,10 分)选修 45:不等式选讲设函数 f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出 y=f(x)的图象;(2)当 x0,+)时, f(x)ax+b,求 a+b的最小值.解析 本题考查函数的图象与绝对值不等式恒成立问题.(1)f(x)=-3,1时,等价于 a-1+a3,解得 a2.所以 a的取值范围是2,+).(10 分)方法指导 (1)将 a=2代入不等式,化简后去绝对值求解;(2)要使 f(x)+g(x)3 恒成立,只需 f(x)+g(x)的最小值3 即可,利用|a|+|b|ab|可求最值
5、.6.(2016课标全国,24,10 分)已知函数 f(x)= + ,M为不等式 f(x)1 的解集.解析 (1)f(x)= (4分)-4,-1,3-2,-132, y=f(x)的图象如图所示.(6分)(2)解法一:由 f(x)的表达式及图象知,当 f(x)=1时,可得 x=1或 x=3;当 f(x)=-1时,可得 x=或 x=5,(8分)故 f(x)1的解集为x|15所以|f(x)|1 的解集为 .(10分)|5解法二:根据 y=f(x)的分段函数表达式,有:当 x-1 时,|f(x)|1 的解集为x|x-1;当-11 的解集为 ;|-1-时,|f(x)|1 的解集为 x|x5.|321 的
6、解集为 .|58.(2015课标,24,10 分)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当 a=1时,求不等式 f(x)1的解集;(2)若 f(x)的图象与 x轴围成的三角形面积大于 6,求 a的取值范围.解析 (1)解法一:当 a=1时, f(x)1 化为|x+1|-2|x-1|-10.当 x-1 时,不等式化为 x-40,无解;当-10,解得0,解得 1x1的解集为 .(5分)|231. 画出 f(x)的图象 (如图所示),根据图象可得不等式 f(x)1的解集为 .(5分)|23. 所以函数 f(x)的图象与 x轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ,B(2a+1,0),
7、C(a,a+1),ABC 的面(2-13 ,0)积为 (a+1) 2.由题设得 (a+1) 26,故 a2.所以 a的取值范围为(2,+).(10 分)9.(2015江苏,21D,10 分)解不等式 x+|2x+3|2.解析 原不等式可化为 或0).|+1|(1)证明:f(x)2;(2)若 f(3)0,得 f(x)= +|x-a| =+a2.|+1| |+1-(-)|所以 f(x)2.(2)f(3)= +|3-a|.|3+1|当 a3时, f(3)=a+,由 f(3)1.(1)当 a=2时,求不等式 f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于 x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2 的解
8、集为x|1x2,求 a的值.解析 (1)当 a=2时, f(x)+|x-4|= -2+6,2,2,2-1,且当 x 时, f(x)g(x),求 a的取值范围.-2,12)解析 (1)当 a=-2时,不等式 f(x)1. 其图象如图所示.从图象可知,当且仅当 x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2.(2)当 x 时, f(x)=1+a.-2,12)不等式 f(x)g(x)化为 1+ax+3.所以 xa-2 对 x 都成立.-2,12)故-a-2,即 a.从而 a的取值范围是 .(-1,43方法总结 (1)解含有绝对值符号的不等式的关键是去掉绝对值符号,可利用零点分段讨论法把绝对值不
9、等式转化为我们熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式,也可设出函数,利用函数图象解决.(2)对于不等式恒成立求参数问题,常分离参数,进而构造函数,转化为求最值问题.14.(2012课标全国,24,10 分)选修 45:不等式选讲已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当 a=-3时,求不等式 f(x)3 的解集;(2)若 f(x)|x-4|的解集包含1,2,求 a的取值范围.解析 (1)当 a=-3时,f(x)=-2+5, 2,1,23,2-5,3. 当 x2 时,由 f(x)3 得-2x+53,解得 x1;当 2x3时, f(x)3 无解;当 x3 时,由 f(x)3 得 2x-53
10、,解得 x4,所以 f(x)3 的解集为x|x1x|x4.(2)f(x)|x-4|x-4|-|x-2| |x+a|.当 x1,2时,|x-4|-|x-2|x+a|4-x-(2-x)|x+a|-2-ax2-a.由条件得-2-a1 且 2-a2,即-3a0.故满足条件的 a的取值范围为-3,0.评析 本题考查了含绝对值不等式的解法,运用分类讨论解含绝对值的不等式,考查了学生的运算求解能力.【三年模拟】一、选择题(每小题 4分,共 12分)1.(2019届浙江嘉兴 9月基础测试,10)已知 mR,函数 f(x)= +m在2,5上的最大值是 5,则 m的|+3-1-|取值范围是( ) A. B.(-,
11、72 (-,52C.2,5 D.2,+)答案 A 2.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4 月),1)已知集合 P=x|2x-1|1,Q=0,1,2,3,4,则 PQ=( ) A.2,3,4B.(0,1)C.0,1 D.答案 D 3.(2018浙江杭州高三教学质检,9)设函数 f(x)=x2+ax+b(a,bR),记 M为函数 y=|f(x)|在-1,1上的最大值,N 为|a|+|b|的最大值,下列正确的是( )A.若 M=,则 N=3 B.若 M=,则 N=3C.若 M=2,则 N=3 D.若 M=3,则 N=3答案 C 二、填空题(单空题 4分,多空题 6分,共 20分)4.(2019届
12、浙江“七彩阳光”联盟期初联考,14)已知 a,b为实数,不等式|x 2+ax+b|x 2-7x+12|对一切实数 x都成立,则 a+b= . 答案 55.(2019届浙江高考模拟试卷(五),17)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,若对任意 x0,1都有|f(x)|M 恒成立,且不等式|a+b+2c|tM 恒成立,则 t的最小值是 . 答案 26.(2018浙江杭州第二次教学质量检测(4 月),16)设函数 f(x)(xR)满足|f(x)-x 2|,|f(x)+1-x 2|,则f(1)= . 答案 7.(2018浙江 9+1高中联盟期中,17)当 x 时,不等式|ax 2+bx+4a|2x 恒成立,则 6a+b的最大值是 .32,4答案 68.(2018浙江宁波模拟,16)已知实数 a,b,c满足:a+b+c=-2,abc=-4,则|a|+|b|+|c|的最小值为 . 答案 6
