1、第四节 导数与函数的极值、最值A 组 基础题组1.(2018 辽宁鞍山一中模拟)已知函数 f(x)=x3-3x-1,在区间-3,2上的最大值为 M,最小值为 N,则 M-N=( ) A.20 B.18 C.3D.0答案 A f (x)=3x 2-3=3(x-1)(x+1),f(x)在(-,-1)和(1,+)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,又 f(-3)=-19, f(-1)=1, f(1)=-3, f(2)=1,M=1,N=-19,M-N=1-(-19)=20,选 A.2.函数 f(x)=aex-sin x 在 x=0 处有极值,则 a 的值为( )A.-1 B.0C.1D.e答案 C
2、f (x)=ae x-cos x,若函数 f(x)=aex-sin x 在 x=0 处有极值,则 f (0)=a-1=0,解得 a=1,经检验 a=1 符合题意,故选 C.3.从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四个角截去四个相同的小正方形,制作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( )A.12 cm3 B.72 cm3 C.144 cm3 D.160 cm3答案 C 设盒子的容积为 y cm3,盒子的高为 x cm,则 x(0,5).则 y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,所以 y=12x2-104x+160.令 y=0,得 x=2 或 (舍去).203
3、当 00,当 20;当 x=-2 时, f (x)=0;当-22 时, f (x)0.由此可以得到函数f(x)在 x=-2 处取得极大值,在 x=2 处取得极小值.5.若函数 f(x)= x3+x2- 在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数 a 的取值范围是( )13 23A.-5,0) B.(-5,0)C.-3,0) D.(-3,0)答案 C 由题意, f (x)=x 2+2x=x(x+2),故 f(x)在(-,-2),(0,+)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,令 x3+x2- =- ,得 x=0 或 x=-3,则结合图象可知, 解得 a-3,0).13 23
4、 23 -3 0, 6.函数 y=xln x 有极 值,为 . 答案 小;-1解析 y=ln x+1(x0),当 y=0 时,x=e -1;当 y0 时,xe -1.y=xln x 在(0,e -1)上是减函数,在(e -1,+)上是增函数.y=xln x 有极小值,为 y =- .|=-117.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件. 13答案 9解析 y=-x 2+81,令 y=0,得 x=9 或 x=-9(舍去).当 00,函数单调递增;当 x9时,y0.故 x=-2 是
5、g(x)的极小值点.当-21 时,g(x)0,故 x=1 不是 g(x)的极值点.所以 g(x)的极小值点为 x=-2,无极大值点.10.(2019 山西长治期末)已知函数 f(x)=ln x- .(1)若 a0,试判断 f(x)在定义域内的单调性;(2)若 f(x)在1,e上的最小值为 ,求实数 a 的值.32解析 (1)由题意得 f(x)的定义域是(0,+),且 f (x)= ,因为 a0,所以 f (x)0,故+2f(x)在(0,+)上单调递增.(2)由(1)可得 f (x)= ,+2若 a-1,则 x+a0,即 f (x)0 在1,e上恒成立,此时 f(x)在1,e上单调递增,所以f(
6、x)min=f(1)=-a= ,所以 a=- (舍去).32 32若 a-e,则 x+a0,即 f (x)0 在1,e上恒成立,此时 f(x)在1,e上单调递减,所以 f(x)min=f(e)=1- = ,32所以 a=- (舍去).2若-e0,所以 f(x)在(-a,e)上单调递增,所以 f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ,32所以 a=- ,综上,a=- .B 组 提升题组1.已知函数 f(x)= -k ,若 x=2 是函数 f(x)的唯一一个极值点,则实数 k 的取值范2 (2+)围为( )A.(-,e B.0,eC.(-,e) D.0,e)答案 A f (x)= -k =
7、 (x0).设 g(x)= ,则 g(x)= ,2-24 (-22+1)(-2)(-)2 (-1)2则 g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.g(x)在(0,+)上有最小值,为 g(1)=e,结合 g(x)= 与 y=k 的图象可知,要满足题意,只需ke,故选 A.2.(2018 课标全国,16,5 分)已知函数 f(x)=2sin x+sin 2x,则 f(x)的最小值是 .答案 -332解析 解法一:由 f(x)=2sin x+sin 2x,得 f (x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2,令 f (x)=0,得 cos x= 或 cos x=
8、-1,可得当 cos x 时, f (x)0, f(x)为增函数,所以当 cos x= 时, f(x)取最小值,此时 sin (12,1) 12x= .又因为 f(x)=2sin x+2sin xcos x=2sin x(1+cos x),1+cos x0 恒成立,f(x)取32最小值时,sin x=- ,f(x) min=2 =- .32 (- 32) (1+12) 332解法二: f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x+2sin xcos x=2sin x(1+cos x),f 2(x)=4sin2x(1+cos x)2=4(1-cos x)(1+cos x)3.令 cos x
9、=t,t-1,1,设 g(t)=4(1-t)(1+t)3,g(t)=-4(1+t) 3+12(1+t)2(1-t)=4(1+t)2(2-4t).当 t 时,g(t)0,g(t)为增函数;(-1,12)当 t 时,g(t)2 时, f (x)0,即 f(x)单调递增.所以 f(x)只有极小值,且在 x=2 时, f(x)取得极小值 f(2)=4-4ln 2.所以当 a=-4 时, f(x)只有极小值 4-4ln 2,无极大值.(2)因为 f (x)= ,所以当 a0,x(0,+)时, f (x)0,即 f(x)在(0,+)上单调递增,没+2有最小值.当 a0,得 x- ,所以 f(x)在 上单调递增;2 (-2,+ )由 f (x)1,所以当 x 时,p(x)0,34 2,所以 p(x)在 上单调递增,2,因为 p =- 0,(2) 2所以 p(x)在 上存在唯一零点,记为 .2,又由(1)知,当 x 时,p(x)0.所以当 x0,时, f(x)有唯一极值点 , 为极小值点.
