1、2019 高三二轮精品【新课标文科】热点九 与圆有关的最值问题总分 _ 时间 _ 班级 _ 学号 _ 得分_ 一、选择题（12*5=60 分）1 【山东省济南外国语学校 2019届高三 1月模拟】若直线 l:x+my+2-3m=0被圆 C: 截得的线段最短，则 m的值为（ ）A-3 B C-1 D1【答案】C2设点 P是函数 图象上任意一点，点 Q坐标为 ，当 取得最小值时圆与圆 相外切，则 的最大值为A B C D【答案】C【解析】根据题意，函数 y ，即（ x1） 2+y24， （ y0） ，对应的曲线为圆心在 C（1，0） ，半径为 2的圆的 下半部分，又由点 Q（2 a， a3） ，则
2、 Q在直线 x2 y60 上，当| PQ|取得最小值时， PQ与直线 x2 y60 垂直，此时有 2，解可得 a1，圆 C1：（ x m） 2+（ y+2） 24 与圆 C2：（ x+n） 2+（ y+2） 29 相外切，则有 3+25，变形可得：（ m+n） 225，则 mn ，故选： C3 【山东省济宁市 2019届高三上期末】已知圆 ，过点 M(1，1)的直线 l与圆 C交于 A、B 两点，弦长 最短时直线 l的方程为A BC D【答案】D【解析】由题可知圆 ，所以圆心为 ，半径为 ，设圆心到直线 的距离为 ，直线 得斜率为则 ， ，当直线 与 MC连线垂直时， 最大为 ， 此时 最短，
3、且 .所以直线 得斜率为： ，又 ，所以 ，所以直线 的方程为： ，即： 故选：D4 【2018 届辽宁省凌源市高三上学期期末】已知直线 截圆 所得的弦长为 1，点 ,MN在圆 上，且直线 过定点 P，若 MN，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在依题意， 解得 r2,因为直线 l： ，故 1,P；设 MN的中点为 Qyx， ，则 ，即 ,化简可得 ,所以点 Q的轨迹是以 12， 为圆心， 62为半径的圆，所以 PQ的取值范围为 ， MN的取值范围为. 8 【2018 届湖北省襄阳市高三 1月调研】已知点 P(1，2)和圆 C： ，过点 P作圆 C的切线有两条，则
4、 k的取值范围是（ ）A. R B. 23，C. D. 230，【答案】C【解析】圆 ，因为过 P 有两条切线，所以 P在圆外，从而，解得 ，选 C9 【甘肃省武威第十八中学 2019届高三上期末】若直线 把圆分成面积相等的两部分，则 的最小值为( )A10 B8 C5 D4【答案】B【解析】圆的圆心为 ，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即 ，即 ，故，当且仅当 ，即 时，取得最小值为 .故选 B.10 【湖南省长沙市长郡中学 2019届高三上学期第三次调研】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，实轴长为 2，渐近线方程为 ， ，点 N在圆 上，则 的最小值为A B2 C D3【答案】C11 【2
5、018 届福建省泉州市高三 1月】已知直线 l： ，圆 C： .若对任意1,a，存在 l被 C截得弦长为 2，则实数 m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得，圆心 C到 l的距离即 1a解得 或 03m故实数 的取值范围是故选 C12.【四川省成都市树德中学 2019届高三 11月测试】已知圆 ，圆，过圆 M上任意一点 P作圆 C的两条切线 ，切点分别为，则 的最小值是（ ）A B3 C D【答案】D【解析】由题意，圆 的圆心为（1，0） ，半径为 1，圆 的圆心（ ， ） ，半径为 2，所以，而 ，所以两圆相离. ，要使取得最小值，需要 和 越小，且 越大才能取到
6、，设直线 和圆 交于 两点（如下图）.则 的最小值是 .= ， ，则 .所以.故选 D.二、填空题（4*5=20 分）13. 【2018 届安徽省淮南市高三第一次（2 月）模拟】过动点 P作圆： 的切线 PQ，其中 Q为切点，若 PO ( 为坐标原点)，则 Q的最小值是 .【答案】 15【解析】设 ,xy，得 ，即 ，所以点 P的运动轨迹是直线 ，所以 min135d，则 .14.【安徽省黄山市 2019届一模】点 是圆 内一点，则过点 的最短弦长为_【答案】【解析】设圆心为 C,由圆的标准方程： ，可得圆的圆心坐标为 C（2，1） ，半径为 3，由于最短弦就是垂直于 CA的弦， CA所以过
7、P点的最短弦的弦长为 2 2 故答案为：2 15.【2018 届河南省商丘市高三第一学期期末】设点 P是函数 的图像上的任意一点，点 aR，则 PQ的最小值为_【答案】 52【解析】由函数 ,得(x1) 2+y2=4,(y0)，对应的曲线为圆心在 C(1,0)，半径为 2的圆的下部分，点 Q(2a,a3)，x=2a，y=a3，消去 a得 x2y6=0，即 Q(2a,a3)在直线 x2y6=0上，过圆心 C作直线的垂线，垂足为 A，则 ，故答案为： 52. 16. 【上海市奉贤区 2019届高三一模】设 ， 是曲线 的两点，则的最大值是_【答案】【解析】由题意， 的面积为，所以 的最大值为 的最
8、大值，曲线 ，即 表示以 为圆心，以 为半径的圆，当圆内接等边三角形，三角形的面积取得最大值，此时圆 ，内接正三角形的边长为 ，此时圆内接正三角形的最大面积为 ，所以 的最大值为 .三、解答题题（6*12=72 分）17. 已知圆 ，直线 与圆相交于不同的两点 A， B（1）求实数 a的取值范围；（2）若弦 AB的垂直平分线 l过点 (2,4)P，求实数 a的值【答案】 （1） ；（2） 3.【解析】（1）把直线 代入圆的方程，消去 y整理，得 ， 由于直线 交圆于 A， B两点，故 ，即 ，解得 512a或 0，所以实数 a的取值范围是 （2）由于直线 l为弦 AB的垂直平分线，且直线 AB
9、斜率为 a，则直线 l的斜率为 1a，直线 l的方程为 ，即 w，由于 垂直平分弦 ， 故圆心 (1,0)M必在 l上，所以 ，解得 34a，由于 ，所以 符合题意18. 如图，在平面直角坐标系内，已知点 ， ，圆 C的方程为 ，点 P为圆上的动点求过点 A的圆 C的切线方程求 的最大值及此时对应的点 P的坐标【答案】 （1） 或 ；（2）最大值为 ， .【解析】当 k存在时，设过点 A切线的方程为 ，圆心坐标为 ，半径 ，解得 ，所求的切线方程为 ，当 k不存在时方程 也满足；综上所述，所求的 直线方程为： 或 ；19 【2018 届宁夏育才中学高三第四次月考】已知圆 ： ，直线 过定点 （
10、1）若 与圆相切，求直线 的方程；（2）若点 为圆上一点，求 的最大值和最小值【答案】 （1）直线方程为 ， ；（2）.【解析】试题分析：（1）根据直线和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径列式子求得 k值；（2）将式子化简得到 ，转化为点点距，进而转化为圆心到 的距离，加减半径，即求得最值.解析：（1）若直线 的斜率不存在，即直线是 ，符合题意；若直线 的斜率存在，设直线 为 ，即 由题意知，圆心 到已知直线 的距离等于半径 2，即 ，解得 故所求直线方程为 ， （2） ， 可以看作圆上的点与点 距离的平方把点 代入圆的方程： ，所以点在圆外所 以圆上的点 到 的最大距离为 ，最小距离为 （其
11、中 为圆心到 的距离） ，又 ，故最大距离为 ，最小距离为 ，所以 ， 20 【江苏省南通市 2019届高三调研】某海警基地码头 的正西方向 海里处有海礁界碑 ，过点 且与成 角(即北偏东 )的直线 为此处的一段领海与公海的分界线(如图所示).在码头 的正西方向且距离 点 海里的领海海面 处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从 处即刻出发.若巡逻艇以可疑船的航速的 倍 前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点 处截获可疑船.(1)若可疑船的航速为 海里 小时， ，且可疑船沿北偏西 的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间.(2
12、)若要确保 在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，求 的最小值.【答案】 （1） 小时；（2） .【解析】(1)因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的 2倍，可疑船的航速为 海里/小时，所以巡逻艇的航速为 海里/小时，且 ，设 ，则 ，又可疑船沿北偏西 的方向朝公海逃跑 ，所以 ， 在 中，有 ，即 ，故 ，解得 (负值舍去) 所以 小时.(2)以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，设 ，因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的 倍，所以 ，故 ，即故可疑船被截获的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆， 又直线 的方程为 ，即 ，要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，
13、则：圆心 在直线 下方，且 的轨迹与直线 至多只有一个公共点，所以 且 即 ，解得 ，故要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，则 .21.【2018 届福建省莆田第九中学高三上学期第二次月考（12 月） 】已知圆 和点 1,Ma.（1）若过点 M有且只有一条直线与圆 O相切，求实数 a的值，并求出切线方程；（2）若 2a，过点 的圆的两条弦 ACBD、 互相垂直，求 ACBD的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2) 210.【解析】试题分析：（1）由条 件知点 M在圆 上，得 214a，进而求出切线方程；（2）设 O到直线 ,ACBD的距离分别为 ，由勾股定理得 ，再根据，表示出 AC
14、BD，结合基本不等式即可求出最大值.试题解析：（1）由条件知点 M在圆 O上，所以 214a，则 3.当 3a时，点 为 1,3， 3k， 3k切 ，此时切线方程为 ，即 .当 3a时，点 M为 1,3， 3OMk， k切 .此时切线方程为 ，即 .所以所求的切线方程为 或（2）设 O到直线 ,ACBD的距离分别为 ，则 .又有 ，所以 .则.因为 ，所以 2194d，当且仅当 时取等号，所以 ，所以 .所以 ，即 ACBD的最大值为 210.22.已知椭圆 的离心率为 3，且经过点 1(3,)2M，圆 2C的直径为 1的长轴.如图， C是椭圆短轴端点，动直线 过点 且与圆 2C交于 ,AB两
15、点， D垂直于 AB交椭圆于点D.（1）求椭圆 1C的方程；学- 科网（2）求 ABD 面积的最大值，并求此时直线 AB的方程.【答案】 （1）214xy（2）【解析】 （1）由已知得到 32ca,所以 ,即 24ab.又椭圆经过点 1(,)M,故 ,解得 ,所以椭圆的方程是214xy（2）因为直线 ABCD且都过点 (,0)当 斜率存在且不为 0 时,设直线 ,直线 ,即 ,所以圆心 (0,)到直线 AB的距离为 21dk,所以直线 AB被圆 2C所截弦由 得, ,所以 , ,所以 ,令 ,则 ,当 ,即 时,等号成立,故 ABD面积的最大值为 163,此时直线 AB的方程为 ,当 斜率为 0 时,即 /ABx,此时 ,当 AB的斜率不存在时,不合题意;综上, D面积的最大值为 163,此时直线 AB的方程为 .
