1、 1函数极值的概念若函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小，；而且在点 附近的左侧_，右侧_，就把点 叫做函数的极小值点， 叫做函数 的极小值若函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大，；而且在点 附近的左侧_，右侧_，就把点 叫做函数的极大值点， 叫做函数 的极大值极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值2可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数 在 处取得极值的必要条件是_充分条件：可导函数 在 处取得极值的充分条件是 在 两侧异号3函数极值的求法一般地，求函数 的极值的方法是：解方程 当 时：（1）如果在 附近的左侧 ，
2、右侧 ，那么 是_；（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是_K 知识参考答案：1 23极大值 极小值K重点 利用导数求函数极值的方法K难点 函数极值的应用K易错 对函数取得极值的充要条件理解不到位求函数的极值（1 ）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求 的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然（2 ）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为 0 的几个 x 值的大小入手） 已知函数 （ 且 ） ，求函数 的极大值与极小值【答案】见解析【解析】由题设知 ， 令 得 或 当 时，随 的变化， 与 的变化如下：
3、0+ 0 0 +极大值 极小值则 ， 当 时，随 的变化， 与 的变化如下：0 0 + 0 极小值 极大值则 ， 故 ， 【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小函数极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件已知函数 在 ， 处取得极值（1 ）求 ， 的值；（2 ）求
4、 在点 处的切线方程【答案】 （1） ， ；（2 ） （2 ） ，则 ，得 又由 ，得 从而，得所求切线方程为 ，即 已知 （1 ）令 ，求 的单调区间；（2 ）已知 在 处取得极大值，求实数 a 的取值范围【答案】 （1）见解析；（2） （2 ）由（1 ）知， 当 时， 单调递增所以当 时， ， 单调递减当 时， ， 单调递增所以 在 x=1 处取得极小值，不合题意当 时， ，由() 知 在 内单调递增，可得当 时， ， 时， ，所以 在(0，1) 内单调递减，在 内单调递增，所以 在 处取得极小值，不合题意当 时， ， 在(0，1)内单调递增，在 内单调递减，所以当 时， ， 单调递减，不
5、合题意当 时， ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以 在 处取得极大值，合题意综上可知，实数 的取值范围为 1函数 在 处取得极值，则实数 的值为A BC D2函数 的极值点的个数是A0 B1C 2 D无数个3如图是 的导函数的图象，现有四种说法： 在 上是增函数； 是 的极小值点； 在 上是减函数，在 上是增函数； 是 的极小值点以上说法正确的序号为A BC D4函数 在 上的极小值点为A0 BC D5设 ，若函数 有大于零的极值点，则A BC D6设 ，若函数 有大于 的极值点，则A BC D7函数 的极小值为 _8已知函数 有极大值和极小值，则实数 的取值范围是_9已知
6、函数 ，则函数 的极大值为 _10已知函数 （1 ）求曲线 在点 处的切线方程；（2 ）求函数 的极值11已知函数 （ 为实数） ， （1 ）讨论函数 的单调区间；（2 ）求函数 的极值12已知函数 在 处有极值 （1 ）求实数 的值；（2 ）判断函数 的单调性并求出单调区间13已知函数 存在极小值，则实数 的取值范围为A BC D14设函数 满足 ， ，则当 时函数A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值15已知 ，若 在区间 上只有一个极值点，则实数 的取值范围为A BC D16已知函数 ，当 时，函数 的极值为 ，则_17若函数 在区间 内
7、有极大值，则实数 的取值范围是_18已知函数 （e 为自然对数的底数， ， ） （1 ）当 时，求函数 的单调区间和极值；（2 ）若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围19已知函数 （1 ）若曲线 在 处的切线与 轴垂直，求函数 的极值；（2 ）设 ，若 在 上单调递减，求实数 的取值范围20已知函数 （1 ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；（2 ）设函数 ，讨论 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值21 （ 2017 新课标全国 II）若 是函数 的极值点，则 的极小值为A BC D122 （ 2018 北京文）设函数 （1 ）若曲线 在点 处的切线斜率为 0，求 a；（2 ）
8、若 在 处取得极小值，求 a 的取值范围23 （ 2018 新课标全国文）已知函数 （1 ）设 是 的极值点求 ，并求 的单调区间；（2 ）证明：当 时， 24 （ 2018 新课标全国）已知函数 （1 ）讨论 的单调性；（2 ）若 存在两个极值点 ，证明： 25 （ 2018 新课标全国）已知函数 （1 ）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；（2 ）若 是 的极大值点，求 26 （ 2017 江苏）已知函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点 （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1 ）求 关于 的函数关系式，并写出定义域；（2 ）证明： ；（3 ）若 ， 这两个函数的所有极值之和不
9、小于 ，求 的取值范围1 【 答案】B【解析】 ，函数在 处取得极值，则 ，可得故选 B2 【 答案】A【解析】 ，由 可得 ，该方程无解，因此函数 无极值点故选 A3 【 答案】B4 【 答案】C【解析】因为 ，所以 ，令 ，得 或，由 可得 ；由 可得 或 ，所以函数 在区间 上为减函数，在区间 和区间上均为增函数，所以函数 的极小值点为 故选 C5 【 答案】A【解析】因为 ，所以 ，由题意知， 有大于 0 的实根，可得 ，因为 ，所以 ，所以 ，故选 A6 【 答案】C【解析】函数 的导数为 ，函数 有大于 的极值点，即 有大于 的实根，所以函数 与函数 的图象在 y 轴右侧有交点，所
10、以 ，故选 C7 【 答案】【解析】 ，令 ，得 ，当 或 时，当 时， ，所以当 时，函数 取极小值，且极小值是 8 【 答案】【解析】因为 ，所以 ，又因为函数 有两个极值，所以 有两个不等的实数根，所以 ，即 ，解得 或 故实数 的取值范围是9 【 答案】10 【 答案 】 （1） ；（2 ） ， 【解析】 （1）由题意可得 ，故 又 ，故曲线 在点 处的切线方程为 ，即（2 ）由 可得 或 ， 随 的变化情况如下表所示， 极大值 极小值 ， 11 【 答案 】 （1） 在 上单调递增，在 上单调递减；（2）极大值为 ，无极小值【解析】 （1）由题意得 ，当 时， 恒成立，函数 在 上单
11、调递增；当 时，由 可得 ，由 可得 ，故函数 在 上单调递增，在 上单调递减12 【 答案 】 （1） ；（2 ） 的递减区间是 ，递增区间是 【解析】 （1）由题可得 ，则 ，所以 （2 ）由（1 ）可知 ，则函数 的定义域为 ，令 ，即 ，解得 或 （舍去） ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 13 【 答案 】A【解析】 ，因为 存在极小值，所以方程有两个不等的正根，设为 ， 故 ，所以 的取值范围为 ，故选 A14 【 答案 】D【解析】由题意得 ，令 ，则 ，因此当 时， ；当 时， ，故 ，因此当 时， 恒成立，所以当 时
12、函数 既无极大值也无极小值，故选 D15 【 答案 】A16 【 答案 】【解析】 ， ， ，或 ，当 时， ，此时函数 没有极值，又 ， ， ，17 【 答案 】【解析】由 可得 ，因为函数 在区间 内有极值，且 ，所以方程 在在区间 内有解，即方程 在区间 内有解，解得 或 (舍去)构造函数 和 ，由 数形结合可得 为函数 的极大值点，故 ，即 ，则实数 的取值范围是 18 【 答案 】 （1）当 时， 的单调递增区间是 ，无单调递减区间，无极值；当 时， 的单调递减区间是 ，单调递増区间是 ，极小值为 ，无极大值；（2） （2 ）由 ，可得 ，因为 ，所以 ，即 对任意 恒成立，记 ，则
13、 ，因为 ，所以 ，即 在 上单调递增，故 ，所以实数 的取值范围为 19 【 答案 】 （1）极大值为 ，极小值为 ；（2） 【解析】 （1）由 可得 ，由题意知 ，解得 ，所以 ，当 时， 或 ；当 时， 所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，所以 的极大值为 ，极小值为 （2 ）由 可得，由 在 上单调递减可得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，令 ，则 ，所以 在 上单调递增故 ，所以 ，故实数 的取值范围是 20 【 答案 】 （1） ；（2 ）见解析【分析】 （1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；（2 ）由 ，通过讨论确定 的单调性，再由单调性确定极
14、值（2 ）因为 ，所以，令 ，则 ，所以 在 上单调递增，因为 ，所以当 时， ；当 时， 当 时， ，当 时， ， ， 单调递增；当 时， ， ， 单调递减；当 时， ， ， 单调递增所以当 时 取到极大值，极大值是 ，当 时 取到极小值，极小值是 当 时， ，当 时， ， 单调递增；所以 在 上单调递增， 无极大值也无极小值【名师点睛】 （1）求函数 f(x)极值的步骤：确定函数的定义域； 求导数 f(x)；解方程 f(x)0，求出函数定义域内的所有根；检验 f(x)在 f(x)0 的根 x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在 x0处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在
15、x0处取极小值 （2）若函数 yf(x )在区间(a，b) 内有极值，那么 yf(x) 在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值21 【 答案 】A【解析】由题可得 ，因为 ，所以 ， ，故 ，令 ，解得 或 ，所以 在 上单调递增，在上单调递减，所以 的极小值为 ，故选 A【名师点睛】 （1）可导函数 yf (x)在点 x0处取得极值的充要条件是 f (x0)0，且在 x0左侧与右侧 f (x)的符号不同；（2）若 f(x)在(a，b) 内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值22 【 答案 】 （1） ；（2） 23 【
16、答案 】 （1） ；f（x）在（0 ，2）单调递减，在（2，+）单调递增；（2）证明见解析【分析】 （1）先确定函数的定义域，对函数求导，利用 f（2）=0 ，求得 ，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；（2）结合指数函数的值域，可以确定当 a 时，f （x），之后构造新函数 g（x）= ，利用导数研究函数的单调性，从而求得 g（ x）g（1 ）=0 ，利用不等式的传递性，证得结果【解析】 （1）f（x）的定义域为 ，f （x）=ae x 由题设知，f（2）=0 ，所以 从而 ， 当 02 时， 0所以 f（ x）在（0，2 ）单调递
17、减，在（2，+）单调递增（2 ）当 a 时，f（x ） 设 g（x）= ，则 ，当 01 时，g（x）0所以 x=1 是 g（x）的最小值点故当 x0 时，g（x ）g（1）=0因此，当 时， 24 【 答案 】 （1）当 时， 在 上单调递减，当 时 在上单调递减，在 单调递增；（2）证明见解析【分析】 （1）首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；（2）根据 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定 ，令 ，得到两个极值点是方程 的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果（2 ）若 ，令
18、得， 或 当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在单调递增（2 ）由（1 ）知， 存在两个极值点当且仅当 由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 由于，所以 等价于 设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， ，所以 ，即25 【 答案 】 （1）证明见解析；（2 ） （2 ）若 ，由（1）知，当 时， ，这与 是 的极大值点矛盾若 ，设函数 由于当 时， ，故 与 符号相同又 ，故 是 的极大值点当且仅当 是 的极大值点如果 ，则当 ，且 时， ，故 不是 的极大值点如果 ，则 存在根 ，故当 ，且 时， ，所以 不是 的极大值点如果 ，则 则当 时， ；当 时
19、， ，所以 是 的极大值点，从而 是 的极大值点综上， 26 【 答案 】 （1） ， ；（2 ）证明见解析；（3） 【思路分析】 （1）先求导函数的极值： ，再代入原函数得，化简可得 ，根据极值存在条件可得；（2）由（1）得 ，构造函数 ，利用导数研究函数单调性，可得 ，即 ；（3）先求证 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于 ，构造差函数 ，利用导数研究其单调性， 在 上单调递减而，故可得 的取值范围【解析】 （1）由 ，得当 时， 有极小值 因为 的极值点是 的零点，所以 ，又 ，故 因为 有极值，故 有实根，从而 ，即 当 时， ，故 在 R 上是增函数， 没有极值；当 时， 有两个相异的实根 ， 列表如下：x+ 0 0 +极大值 极小值故 的极值点是 从而 因此 ，定义域为 （3 ）由（1 ）知， 的极值点是 ，且 ， 从而记 ， 所有极值之和为 ，因为 的极值为 ，所以 ，
