1、2019 高三二轮精品【新课标理科】热点十一 圆锥曲线的“三定”与探索性问题 总分 150 分 时间 120 分钟 班级 _ 学号 _ 得分_（一）选择题（12*5=60 分）1 【山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末】双曲线 ： ，当 变化时，以下说法正确的是（ ）A焦点坐标不变 B顶点坐标不变 C渐近线不变 D离心率不变【答案】C【解析】当 由正数变成复数,则焦点由 x 轴转入 y 轴，故 A 错误.顶点坐标和离心率都会随 改变而变，故 B,D 错误.该双曲线渐近线方程为 ，不会随 改变而改变，故选 C.2.【湖北省 2019 届高三 1 月联考】如图，点 为双曲线 的右顶点，点 为双
2、曲线上一点，作 轴，垂足为 ，若 为线段 的中点，且以 为圆心， 为半径的圆与双曲线 恰有三个公共点，则 的离心率为（ ）A B C2 D【答案】A【解析】由题意可得 A（ a，0） ，A 为线段 OB 的中点，可得 B（2 a，0） ，令 x2 a，代入双曲线的方程可得 y b，可设 P（2 a， b） ，由题意结合图形可得圆 A 经过双曲线的左顶点（ a，0） ，即| AP|2 a，即有 2a ，可得 a b， e ，故选： A3.【2018 届福建省福州市高三上学期期末】过椭圆 的右焦点作 x轴的垂线，交C于 ,B两点，直线 l过 C的左焦点和上顶点.若以 AB为直径的圆与 l存在公共点
3、，则 C的离心率的取值范围是（ ）A. 50, B. 5,1 C. 20, D. 2,1【答案】A4.点 M 到点 F（ 4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为( )A. xy162 B. C. xy24 D. xy24【答案】B【解答】依题意，点 M 到点 F（4，0）的距离与它到直线 的距离相等.则点 M 的轨迹是以F（4，0）为焦点、 为准线的抛物线.故所求轨迹方程为 .5.已知圆 92yx的弦过点 P（1，2） ，当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ）A B 02y C 0 D x 【答案】A.【解析】因为弦长最短，所以该直线与直线 OP 垂直，又因为 2OP
4、k，所以直线的斜率为 12，由点斜式可求得直线方程为 250xy，故选 A.6 【2018 届湖南省常德市高三上学期期末】已知 AB、 分别为双曲线 的左右顶点，两个不同动点 PQ、 在双曲线上且关于 x轴对称，设直线 PQ、 的斜率分别为 mn、 ，则当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）A. 3 B. 52 C. D. 62【答案】B【解析】设 所以 12ba时 取最小值，此时 52ca ，选 B 7 【2018 届安徽省马鞍山市高三上学期期末】已知圆 与抛物线 4yx的准线相切，则 a的值是( ) A. 0 B. 2 C. 0或 1 D. 0 或 2【答案】D【解析】 24yx的准线方程为
5、 的圆心 ,0a到 1x的距离为 1,a圆相切， 或 2a，故选 D.8.【2018 届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三 1 月联合模拟】已知双曲线 的右支与抛物线 24xy交于 ,AB两点， F是抛物线的焦点， O是坐标原点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）A. 62 B. 3 C. 2 D. 3【答案】A9. 【贵州省遵义市 2019 届高三第一次联考】过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 ：和圆 ： 作切线，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】圆 C1：（ x+4） 2+y24 的圆心为（4，0） ，半径为 r12；
6、圆 C2：（ x4） 2+y21 的圆心为（4，0） ，半径为 r21，设双曲线 x2 1 的左右焦点为 F1（4，0） ， F2（4，0） ，连接 PF1， PF2， F1M， F2N，可得|PM|2| PN|2（| PF1|2 r12）（| PF2|2 r22）（| PF1|24）（| PF2|21）| PF1|2| PF2|23（| PF1| PF2|） （| PF1|+|PF2|）32 a（| PF1|+|PF2|32（| PF1|+|PF2|）322 c328313当且仅当 P 为右顶点时，取得等号，即最小值 13故选： D10.【山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月模拟】
7、已知直线 l 过点 A(-1,0)且与B： 相切于点 D，以坐标轴为对称轴的双曲线 E 过点 D，一条渐近线平行于 l，则 E 的离心率为（ ）A B2 C D【答案】B【解析】 （1）求椭圆 的标准方程；（2）设点 为椭圆长轴的左端点， 为椭圆上异于椭圆 长轴端点的两点，记直线 斜率分别为 ，若 ，请判断直线 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 【答案】 （1） （2）过定点【解析】（1）由点 在椭圆 上，且椭圆 的离心率是 ，可得 ，可解得：故椭圆 的标准方程为 .（2）设点 的坐标分别为 ，（）当直线 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得： ， ，（
8、）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，联立 ，消去 得： ，由 ，有 ，由韦达定理得： ， ，故 ，可得： ，可得： ，整理为： ，故有 ，化简整理得： ，解得： 或 ，当 时直线 的方程为 ，即 ，过定点 不合题意，当 时直线 的方程为 ，即 ，过定点 ，综上，由（） （）知，直线 过定点 .19【吉林省高中 2019 届高三上期末】在直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ，两点.（1）证明： 为定值.（2）若点 的坐标为 ，且 ，证明： .【答案】 （1） 定值 2 （2）见解析【解析】（1）证明：设 ， ，由 得 ，则 ，从而 为定值.（2）证明：设线段 的中点为 ， ， ， .
9、 ， ，则 ，即 .设 ，则 是增函数， ，且 ， ，故 .20 【陕西省榆林市 2019 届高考模拟第一次测试】已知动直线 与焦点坐标为 ，离心率为 的曲线 相交于 两点（ 为曲线 的坐标原点） ，且 .（1）求曲线 的标准方程；（2）证明： 和 都为定值.【答案】 （1） （2）详见解析【解析】（1）曲线 的离心率为 ，该曲线为椭圆，曲线 的焦点坐标为 ， ， ， ，曲线 的标准方程为（2）当直线 的斜率不存在时，当 关 于 轴对称，设 ， 得 ， ， 在椭圆上，得 ，又 ，得联立 与 ，可得 ，同理可得：当直线 的斜率 存在时，设直线 的方程为 ，代入 ，得， ，且直线与曲线 有两个交点
10、，由根 与系数关系的 ， ，因为 到直线 的距离 ， ，令 ，即有 ，可推出 ，得即 ，此时,综上所述， ，21 【2018 届四川省绵阳南山中学高三二诊】已知椭圆 的焦距为 2，且经过点2,1.过点 0,2D的斜率为 k的直线 l与椭圆交于 ,AB两点，与 x轴交于 P点，点 A关于 x轴的对称点 C，直线 B交 x轴于点 Q.（1）求 k的取值范围；（2）试问： OP是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】 （1）由已知得21ba， 2c， ， ，所以椭圆方程为214xy设直线 l的方程为 k，与椭圆214xy联立得 .由 得 2，所以 .（
11、2）令 1,Axy， 2,Bxy，则 1,Cxy，则 ， .由 2ykx中，令 0y得 2Pxk，即 ,0.设直线 BC的方程为 ，令 0y得 .将 12kx， 2ykx代入上式得：所以 ，为定值.22.【2018 届天津市耀华中学高三上学期第三次月考】已知椭圆 的一个焦点在直线:10lx上，且离心率 12e.（1）求该椭圆的方程；（2）若 P与 Q是该椭圆上不同的两点，且线段 PQ的中点 T在直线 l上，试证： x轴上存在定点 R，对于所有满足条件的 P与 Q，恒有 R；（3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论.【答案】 （1）2143xy（2）见解析（3）见解析【解析
12、】试题分析： 利用椭圆的性质，离心率计算公式 cea及 22bc即可求出；分直线 PQ的斜率存在与不存在两种情况： PQ斜率存在时，设出其方程，与椭圆方程联立得到关于斜率的方程式，从而得到 ， 坐标间的关系式.假设 x轴上存在定点 R，对于所有满足条件的 PQ， ，恒有R，得到点 R的坐标，即证命题存在；当直线 的斜率不存在时，易知 R成立 ，命题得证；分类讨论，利用等腰直角三角形的性质和两点间的距离关系及其根与系数的关系即可得到满足条件的直线斜率 k存在即可；解析：（1）椭圆 的一个焦点在直线 :10lx上， 1c，又 2e， ，该椭圆的方程为2143xy. 2kb， ，将 34bk代入 0得 214k，假设在 x轴上存在定点 ,Pmn， ， ， 14m，即 ,0R，当直线 PQ的斜率不存在时，直线 PQ垂直于 x轴，此时 PQ显然成立，综上， x轴上存在定点1,04R.（3）假设 P能为等腰直角三角形，则 0RP， ，又 ， ，216k，符合（*） ，学=科网在（2）的条件下， PQR能为等腰直角三角形.
