1、0,第三章 资本资产定价模型,谭松涛 中国人民大学财政金融学院,2017年6月,引言,Markowitz的投资组合管理理论是在在均值方差框架下考察了投资者对风险资产组合的选择过程。 投资组合管理理论开创了现代金融理论的先河。然而，这一理论也有自身的问题。 第一，该理论把金融资产的收益率作为已知的出发点，而没有深究这些资产为什么会有这样的收益率，更没有告诉我们资产价格是如何受到投资者偏好以及资产特征的影响。第二，投资组合管理理论告诉人们，通过构建投资组合可以消除一个资产中的某些风险。,1,引言,这就意味着并不是单个资产的总风险决定了该资产的价格水平。那么，单个资产的价格与风险之间究竟有什么关系呢
2、？ 这些问题直到1964年才由Sharpe给出了一个答案。随后，Lintner（1965）、Mossin（1966）也分别独立地给出了他们的证明。 这就是资本资产定价模型（CAPM）。,2,本章主要内容,两种基本的资产定价方法 一般均衡模型 无套利模型 资本资产定价模型 资本资产定价模型的经济含义 资本资产定价模型的扩展 零Beta资本资产定价模型 多因素资本资产定价模型,3,两种基本的资产定价方法,现代理论金融经济学的一个核心内容就是如何在不确定市场环境下为金融资产进行定价。换句话说，就是给定某种金融资产在未来所有可能状态下的价值，如何确定这一资产在当前的价值。 二十世纪五十年代之后金融经济
3、学领域发展出两种主流的金融资产定价方法，一般均衡定价模型和套利定价模型。 一般均衡模型是在一般均衡框架下通过经济主体最大化自身的目标函数以及市场出清来获得均衡状态下的价格体系。 套利定价模型则是在无套利假设下通过套利机会的消除来获得市场中各金融资产的价格水平。,4,一般均衡模型,1874年1月，在瑞士洛桑大学执教的Warlas在“交换的数学理论原理”一文中，首次提出了一般经济均衡理论的主要观点。在随后的80年内，经过了J. Von Neunmann、W. Leontiev、P. Samuelson、J. Hicks等一批数学家和经济学家的努力，Arrow和Debreu终于在1954年给出了一般
4、经济均衡存在性的严格证明。,5,一般均衡模型,一般经济均衡描述的是这么一种经济状态。 经济体中有两类经济活动人员消费者和生产者。消费者追求消费效用最大化，生产者追求生产利润最大化，二者的经济活动分别形成市场上各种商品的需求和供给。 市场的供需状况会影响商品的价格，而价格又会进一步影响需求和供给。 随着供给和需求的不断调整，市场上每一个商品最终都会有一个确定的价格水平，在这个水平下，总供给和总需求相等，而每个消费者和生产者也都能实现他们最大化的目标。,6,一般均衡模型,1953年Arrow在“证券在风险承担的最优配置中的作用”一文中把证券理解为在不确定的状态下有不同价值的商品。Debreu认为金
5、融产品无非是不同时间、不同状态下有着不同价值的商品。通过拓广商品空间的维数，我们可以将原来的一般经济均衡模型拿来处理金融产品。,7,一般均衡模型,但是，后来大家发现，金融市场和一般商品市场之间存在一个本质的不同，那就是金融市场的不确定性。在确定性市场环境中，消费者和生产者面临的商品数量都是确定的值，相应地效用水平也是确定的。而在不确定性市场环境中，商品数量是一个随机变量，变量的取值依赖于未来经济状态。如果仍然使用确定性环境下的效用函数，那么效用函数的值也将是一个依赖于未来经济状态的随机变量。这样以来，人们就无法直接通过函数值来进行决策。,8,一般均衡模型,为了解决这一问题，经济学家们引入了Vo
6、n Neunmann和Morgenstern在1944年提出的期望效用函数理论，将经济个体在不确定环境下的决策行为描述为最大化期望效用函数的过程。 借助期望效用函数这一工具，证券市场一般均衡的形成过程就可以看成是通过两个方面的相互影响来完成的。 一方面，给定市场中可供交易的证券，以及它们未来的支付以及现在的价格，投资者从最大化个人期望效用的角度选择最优证券持有量。 另一方面，投资者对证券的需求会共同影响证券的价格，一旦价格使得对证券的需求恰好等于它的供给，这时，投资者选择了他们的最优持有量，并且市场出清。,9,无套利定价模型,1958年起，Modigliani和Miller发表了一系列的文章探
7、讨公司的财务政策与公司价值之间的关系。这些讨论一方面产生了Modigliani-Miller定理，并开启了公司财务这门新的学科，另一方面他们在文中将无套利假设作为一个“公理”，然后从这一假设出发对金融资产进行定价。 所谓的无套利假设是指在一个完善的金融市场中不存在套利机会，也就是无成本地获取无风险利润的机会。 从微观的角度看，无套利假设是指如果两个资产（组合）在未来每一个状态下的支付都是一样的，那么这两种资产（组合）的价格应该是一样的。（如果赌博1明天天晴的时候给你10元，下雨给你-6元，这个赌博价值3元。那么天晴给你20元，下雨给你-12元的赌博，定价就应该等于6元）,10,无套利定价模型,
8、某种程度上讲，Modigliani和Miller的无套利假设其实只是“均衡定价论”的一个推论，即达到一般均衡的价格体系一定是无套利的。 但是，无套利定价方法不需要对投资者的偏好以及禀赋进行任何假设，也不需要考虑金融资产的供给和需求等问题。 这样以来，我们就可以脱离“均衡定价方法”的复杂框架，从而直接对金融资产进行定价。,11,无套利定价模型,当然，“套利定价方法”也存在一些缺陷。例如，这种方法只能就事论事，由此无法建立全市场的理论框架。 而且，无套利假设的这条“公理”显然只有在非常理想的市场条件下才会成立。因此它被证券市场中的技术分析流派所排斥，因为后者的出发点就是不断在证券市场中寻求套利机会
9、。 不过无套利假设是否成立可以看做市场是否有效的标志。套利机会很多的市场显然不会是一个有效的市场。在这样的市场中定价问题不可能有稳定的解。 而定价问题可以作为理论问题来研究是，必须要求市场有这种无套利假设。,12,资本资产定价模型,模型假设： 1）市场中存在大量的投资者，每一个投资者的财富相对于所有投资者财富总和来说是微不足道的。换句话说，投资者是资产价格的接受者，单个投资者的交易行为无法影响资产价格 2）所有投资者都是理性的，追求投资资产组合的收益最大化和方差最小化。即他们都采用Markowitz的资产组合选择模型进行投资决策。 3）在投资选择过程中，所有投资者对证券的评价和经济局势的看法都
10、是一致的。这样以来，投资者关于证券收益率的概率分布期望是一致的。此外，我们还假设所有投资者拥有相同的投资期限。,13,资本资产定价模型,4）投资者的交易对象仅限于公开金融市场上的资产。对于非交易性资产，如人力资本等不在模型考虑范围之内。 5）投资者可以在固定的无风险利率水平上借入或者贷出任何额度的资产。 6）市场中不存在证券交易费用和税收。 在以上假设下，我们可以得出如下结论：,14,资本资产定价模型,结论一：所有投资者都将持有包含所有可交易资产的市场资产组合。 什么是市场组合？ 为什么投资者都要持有相同的组合？ 投资者持有的组合为什么就是市场组合？,15,资本资产定价模型,当我们把所有个人投
11、资者的资产组合加总起来的时候，借与贷将相互抵消，加总的风险资产组合价值等于整个经济中全部财富的价值。 其中，每个股票在该组合中的比例等于该股票的市值占所有股票市值的比例。 这一资产组合就是市场资产组合，我们记为M。,16,资本资产定价模型,由于CAPM假设认为，所有投资者都将按照Markowtiz的均值方差模型进行投资组合的选择，而且他们的投资期限与投资信念都相同，因此，他们必然会选择相同的最优风险组合。 投资者持有的组合必然是市场组合这是市场价格调整的结果。 如果投资者持有的最优资产组合中不包括某只股票。这就意味着市场中所有投资者对该股票的需求都为零。那么，该股票的价格将会下跌，当股价变得异
12、常低廉时，它对投资者的吸引力就会相当大。最终，投资者会将该股票吸纳到最优股票的资产组合中。 因此，价格的动态调整保证了所有股票都能进入最优资产组合中，问题只是以什么价位进入。,17,资本资产定价模型,结论二：市场资产组合M不仅在有效边界上，而且M也是资本配置线与有效边界的切点。由于所有投资者都是采用Markowitz的均值方差模型进行投资组合选择的，因此，最终所有投资者选择的最优风险资产组合一定是在有效边界上，而且是资本配置线与有效边界相切的点。,18,资本资产定价模型,当市场中存在无风险资产和多个风险资产的情况下，资本配置线（CAL）就变成一条通过无风险资产和市场资产组合的直线，此时，我们称
13、其为资本市场线（Capital Market Line，简写为CML）。 资本市场线可以用如下方程式来描述,19,资本资产定价模型,资本市场线,20,资本资产定价模型,结论三：单个资产的风险溢价与市场资产组合M的风险溢价是成比例的，与相关市场资产组合的证券的Beta系数也成比例。即：其中，Beta定义为,21,资本资产定价模型,我们注意到，CAPM是一个市场均衡模型。既然市场达到均衡，那就意味着证券的供给和需求相等，市场达到出清，而且市场中每个参与者都能实现自身效用最大化。,22,资本资产定价模型,市场组合的收益可以表示为组合中每个资产收益率的加权平均，即市场组合的方差就等于组合中每个资产与市
14、场组合的协方差的加权平均值求和符号中每一项可以视为第i个资产对市场组合方差的贡献。,23,资本资产定价模型,另一方面，第i个资产对市场组合的风险溢价贡献程度是 因此，第i个资产的收益风险比率就可以表示为,24,资本资产定价模型,这一比率测度的是投资者对组合中某资产所要求的风险溢价水平（又称风险价格）。 当市场达到均衡的时候，对于所有资产而言，这一数值都是相等的。即做一个变换得到,25,资本资产定价模型,这就意味着即或者,26,资本资产定价模型,这说明，当市场达到均衡时，每个资产的风险价格与市场组合的风险价格等同。 即这个式子稍作变形就可以得到CAPM表达式。 因此，CAPM意味着单个证券的合理
15、风险溢价取决于单个证券对市场组合风险的贡献程度。当市场达到均衡时，每个资产或者资产组合的单位风险获得的风险溢价水平是相同的。,27,资本资产定价模型的理论推导,首先要从市场组合是切点组合开始。由于切点组合是所有风险资产组合中与无风险资产连线的斜率达到最大的点，因此，切点组合必然是如下最优化问题的解。,28,资本资产定价模型的理论推导,我们记将风险资产组合的期望收益和标准差带入斜率表达式中，我们得到,29,资本资产定价模型的理论推导,令,30,资本资产定价模型的理论推导,这样以来，我们就有,31,资本资产定价模型的理论推导,由于方差协方差矩阵是正定的，因此，最优化问题的求解只需要满足一阶条件，即
16、将偏微分的表达式带入一阶条件中，我们得到,32,资本资产定价模型的理论推导,令则上式可以写为,33,资本资产定价模型的理论推导,进而这样以来，如果令我们就得到N个方程构成的方程组由此，我们可以求出 ，然后通过标准化，就可以得出优化问题的解,34,资本资产定价模型的理论推导,另一方面，由于市场组合M是切点组合，因此进而这样以来，我们就有,35,资本资产定价模型的理论推导,由于即这样以来，我们就得出,36,资本资产定价模型的理论推导,进一步令我们就有进一步变换得到,37,资本资产定价模型的理论推导,该式的左端是任意风险资产期望收益率与无风险资产收益率的差，我们称之为该风险资产的风险溢价。 该式表明
17、，任意的风险资产的风险溢价与市场风险资产组合的风险溢价成正比，与该风险资产的Beta值也成正比。,38,Beta的意义,接下来，我们考虑某一包含n个资产的资产组合P，并假设每个资产在组合中的权重为wk。这样以来，对每个资产应用资本资产定价模型,39,Beta的意义,在每个式子两边分别乘以该资产的权重，并对n个式子相加，我们得到即,40,Beta的意义,由于资本资产定价模型对资产组合同样成立，因此比较上面两个式子可以发现，这就意味着资产组合的Beta值等于组合中每个资产Beta值的加权平均，而且权重就是每个资产在组合中的权重。,41,Beta的意义,由于资本资产定价模型对市场组合也成立，因此，这
18、意味着市场中所有资产的Beta值加权平均后等于1。如果某一资产的Beta值高于1，那就说明该资产收益率的波动大于市场组合收益率的波动；如果资产的Beta值低于1，那就说明该资产收益率的波动小于市场组合收益率的波动。,42,Beta的意义,此外，Beta还是衡量资产风险水平的一个指标。只是与投资组合选择模型中的标准差指标不同，Beta衡量的是资产的系统性风险，而某种意义上说标准差衡量的是资产的总风险。 在定价过程中，资产的价格只与该资产的系统性风险的大小有关，与其非系统性风险的大小无关。换句话说，市场只是针对系统性风险进行风险补偿，投资者如果额外承担了非系统性风险是无法获得额外收益的。,43,证
19、券市场线（SML）,期望收益beta关系曲线就是证券市场线由于市场组合的beta值为1，因此，SML的斜率为市场资产组合的风险溢价 。当横轴的beta=1的时候，这点是市场资产组合的beta值。这时，相应的纵轴为市场资产组合的期望收益率。,44,证券市场线（SML）,45,Security Market Line,证券市场线（SML）刻画的是作为资产风险的函数的单项资产的风险溢价。测度单项风险的工具不再是资产的方差或标准差，而是资产对于资产组合方差的贡献度。我们用beta来测度这一数值。显然，证券市场线（SML）对于有效率资产组合与单项资产都是适用的。,46,CAL、CML和SML,CAL：资
20、产配置线，描述的是有效率资产的期望收益与标准差的关系。是过无风险资产与有效边界相切的线。（资产的两个特征之间的关系，不牵涉投资者的问题） CML：市场配置线，描述的是当市场中所有投资者有同质预期时，有效率资产的期望收益与标准差的关系。过无风险资产与市场组合的线。 SML：证券市场线，描述的是市场均衡时资产的期望收益与系统性风险（用Beta度量）的关系。无论是单个资产还是资产组合都在SML上。,47,Capital Market Line and Security Market Line,48,SML与业绩评估,由于证券市场线是期望收益Beta关系的几何表示，因此， “公平定价”的资产一定在SM
21、L上。也只有在SML上的资产，其期望收益与风险才是相匹配的。 这样以来，SML就为评估投资业绩提供了一个基准。如果用beta值衡量一项资产的投资风险，我们就可以得到该资产“应该获得”的期望收益（或者说为弥补风险应该获得收益）。如果实际期望收益大于该收益，那么该资产就被认为是个“好”资产，换句话说就是它现在的价格被低估了。,49,SML与业绩评估,Jensen (1968)在考察市场中基金经理的投资业绩是否能够系统地超过大盘收益的时候构造了该指标。 等于实际期望收益与正常期望收益之差。,50,SML与业绩评估,例： 某股票的 值为1.2，期望收益为17短期国债的利率为6市场的期望收益为14 那么
22、通过计算可得，为了弥补该股票的风险，该股票应该获得的期望收益为6%+1.2*(14%-6%)=15.6% 这意味着Alpha=1.4%,51,SML与业绩评估,52,CAPM的扩展形式,Fischer Black： Zero Beta CAPMRobert Merton : Muti-factor CAPM,53,Zero Beta CAPM,Black Fischer,1972, “Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing,” Journal of Business, Vol.45, No.3, pp.444-455.,54,M
23、otivation,对于投资组合管理，我们目前学到的知识有如下几点： 在一个不存在无风险资产的世界里，投资者将在Markowitz有效边界上选择某个投资组合 当假定存在无风险资产的时候，就产生了资本市场线（CML），CML优于Markowitz有效边界。 由CML我们又得到了CAPM。,55,Motivation,在推导CAPM的过程中，我们有这么几个假设： 市场中存在无风险资产 投资者能够以无风险利率借款或者贷款 借款和贷款的利率是相同的。然而，现实当中，严格意义上的无风险资产是不存在的，即便是美国短期国债也只能说是近似的无风险资产。 此外，现实经济中，投资者借款和贷款的利率往往是不同的。,
24、56,Zero Beta CAPM,为了使模型更好地描述现实世界，Black（1972）考察了市场中不存在无风险资产以及借款贷款利率不相等情况下的CAPM.Black发现，无论是无风险资产的存在性还是投资者以无风险利率借款和贷款的要求都不是CAPM成立的必要条件。然而，当市场中不存在无风险资产的时候，CAPM的形式会发生一定的变化。,57,Zero Beta CAPM,Black的思想主要如下: 由于无风险资产的收益不存在波动性，因此它不会随市场一起变化。进而，无风险资产的Beta值为零。 如果我们能够构造出一个投资组合，使这个投资组合的收益与市场无关，那么这个资产的Beta值就为零。,58,
25、Zero Beta CAPM,Black 证明，如果可以构造出零Beta组合的话，CAPM就将被修正为如下形式：其中， 是零Beta组合的期望收益率， 是风险溢价。 CAPM的这一形式并没有发生太大变化，只不过这里用零Beta组合的期望收益率代替了无风险利率。,59,不包括无风险资产但包括零Beta投资组合的资本市场线,60,Zero Beta Portfolio,A risky assets return is uncorrelated with the market returns its beta is zero when the average of assets covariance
26、s with the returns on other assets just offsets the variance of the assets return. Such a risky asset is riskless in the market portfolio in the sense that it contributes nothing to the variance of the market return,61,Zero Beta PortfolioShort Sell,接下来的问题在于，投资者如何获得零Beta组合？ 基本的原则是借助卖空操作。 卖空是指卖出自己并不拥有
27、的资产，以期从预期的资产价格的下跌中获利。 通常的买卖，投资者A在9月1日以10元的价格将股票i卖给投资者B。货物的交割日也是9月1日。,62,Zero Beta PortfolioShort Sell,卖空，投资者A在9月1日以10元的价格将股票i卖给投资者B，资金在这一天交割，但是货物的交割日是9月10日。 这样以来，投资者A就没有必要在9月1日的时候就拥有股票i。他可以在9月10日的时候从市场中以当日的市场价购买i，然后再交割给投资者B。 对于投资者A来说，他这样做是因为他认为该股票的价格在未来会下跌，从而他能够以低于10元的价格买入股票，支付给投资者B。,63,Zero Beta Po
28、rtfolio,当市场中存在卖空机制的时候，我们就可以创造出一个与市场组合无关的投资组合。该组合中既包括实际拥有的股票，又包括卖空的股票。 当价格上升的时候，投资组合中实际拥有的股票将会获利，从而产生正的收益；而哪些卖空的股票将会导致损失，从而产生负的收益。 只要适当调整投资组合中各资产的权重，我们就能使整个投资组合的收益不随市场而变化。,64,Selection Among Zero-beta Portfolios,65,Selection Among Zero-beta Portfolios,假设我们可以构造出许多零Beta组合，应该选择哪个呢？ 例如，右图中的P1和P2，它们都不在Mar
29、kowitz有效边界上，但它们都是可行组合。如果可以在P1和P2中进行选择的话，投资者应该选择哪个呢？ 答案是P1。在所有可能的零Beta组合中，投资者将选择风险最小的那个组合，该组合称为最小方差零Beta组合。,66,Problem,现实中，并非所有投资者都能进行卖空操作。许多机构投资者是被禁止卖空或者在卖空方面受到限制的。 这样以来，Black的模型虽然避免了对“以无风险利率借款和贷款”这一条件的依赖，但是，它仍然不能反映所有投资者面临的现实世界。因为它所要求的可以无限制的卖空并非所有投资者都能做到的。,67,Multifactor CAPM,Merton Robert C., 1973,
30、 “An Intertemporal Capital Market Pricing Model,” Econometrica, Vol.41, No. 5, pp.867-887.,68,Motivation,Markowitz投资组合理论和CAPM都假设，投资者关心的惟一风险就是证券价格在未来的不确定性。然而，现实中投资者通常还关心其他会影响他们将来消费商品和服务能力的风险。例如： 与未来劳务收入有关的风险 消费品未来的相对价格 未来的投资机会,69,Motivation,在承认投资者面临这些风险的前提下，Merton(1973)以消费为基础对象扩展了CAPM，推导出当人们面临这些额外市场风险来源时，在其生存期间的最优消费组合。Merton推出的这一模型被称为多要素CAPM，其基本形式如下：,70,Multifactor CAPM,71,Multifactor CAPM,这一表达式说明，除了市场风险之外，投资者还要为其承担的、与每一个额外风险来源有关的风险取得补偿。如果不存在额外的风险来源，上式就减少到只剩下投资组合的期望收益率，也就是CAPM的基本形式。,72,谢 谢！,
