1、27.2.1相似三角形的判定(3),（2）DEBCADEABC,判定三角形相似的方法,知识回顾,（1）A=D, B= E, C= F,ABCDEF,（3）,ABCDEF,（4） ,A=D,ABCDEF,这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？,三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？,三个内角对应相等。,思考,相 似,画 ，使三个角分别为60，45, 75 。,同桌分别量出两个三角形三边的长度； 同桌这两个三角形相似吗?,即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_,相似,一定需三个角吗？,如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三
2、角形相似,相似三角形的识别方法：,思 考： 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？,观察,C,C, A=A， B=B, ABC ABC,用数学符号表示：,相似三角形的识别,(两个角分别对应相等的两个三角形相似),问题引入：,观察两副三角尺，其中同样角度（30与60，或45与45）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？,求证： ABCABC,已知：在ABC 和ABC中, A=A, B=B, A=A， B=B, ABC ABC,用数学符号表示：,判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
3、那么这两个三角形相似。,两角对应相等，两三角形相似。,相似三角形判定方法,1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等；,3、（判定定理1）三组对应边的比相等的两个三角形相似。,2、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。,4、（判定定理2）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。,5、（判定定理3）两角对应相等的两个三角形相似。,如图所示，在两个直角三角形ABC和ABC中，BB90，AA，判断这两个三角形是否相似,解： BB90（已知），,AA（已知），, ABCABC（两个角分别对应相等的两个三角形相似）,基础演练,1、下列图形中两
4、个三角形是否相似？,(1),(2),(3),(4),2、根据下列条件,判断ABC和ABC是否相似,并说明理由: (1)A=35,AB=12cm,AC=15cm, A=35,AB=36cm,AC=45cm,(2)AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm, AB=20cm,BC=25cm,AC=40cm.(3)A=105, B=15;A=105, B=15,基础演练,B=60,3. 已知：DEBC，EFAB. 求证：ADEEFC.,解: DEBC，EFAB（已知）,ADEBEFC （两直线平行，同位角相等）,AEDC（两直线平行，同位角相等）, ADEEFC（两个角分别对应相等的两个三角形相
5、似）,如图,弦AB和CD相交于O内一点P, 求证:PA PB = PCPD,例题讲解,常见 图形,变式：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P，结论还成立吗？,变式：上题中，重合为一点时，又会有什么结论？,O,O,1、已知如图直线BE、DC交于A ， E= C 求证：DAAC=ABAE,D,E,A,B,C,证明： E=C DAE=BAC ABC ADE AC :AE=AB :AD DA AC=AB AE,练习,2.已知D、E分别是ABC的边AB,AC上的点，若A=35, C=85,AED=60 则ADAB= AEAC,3、判断题： 所有的直角三角形都相似 . （ ） 所有的等边三角形都相似. （
6、） 所有的等腰直角三角形都相似. （ ） 有一个角相等的两等腰三角形相似 . （ ）,第一种情况, ABC ABC,顶角相等,第二种情况, ABC ABC,底角相等,第三种情况,两三角形不相似,顶角与底角相等,填一填 （1）如图3，点D在AB上，当 时， ACDABC。 （2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件 ，就可以使ADE与原ABC相似。, ACD, B,(或者 ACB ADB),DE/BC,D,(或者 C ADE),(或者 B ADE),D,3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。,已知：在RtABC中，CD是斜边AB上的高。,此结论可以称
7、为“母子相似定理”,今后可以直接使用.,求证： ABCACDCBD,P49练习2,思考题,1,已知DE BC 且1=B ，则图中共有 对相似三角形。, DEBC,ADEABC, 1=B ，A=A,ACDABC,ADE ACD, DEBC, EDC=DCB，,又 1=B,DECCDB,4,D,B,C,A,18,2.如图直线BE、DC交于A, ADAC=AEBA， 求证：E=C,如何证明DEAC？,E,A,B,D,C,解： A= A ABD=C ABD ACB AB : AC=AD : AB AB2 = AD AC AD=2 AC=8 AB =4,3.已知如图， ABD=C AD=2 ， AC=8
8、，求AB,A,B,D,C,4、如图：在Rt ABC中， ABC=900，BDAC于D问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？,解： 图中有三个直角三角形，分别是： ABC、 ADB、 BDC, ABC ADB BDC,如果，当满足什么条件时， ？,猜一猜：,答案： ,相似三角形的识别方法有那些？,方法1：通过定义,方法5：通过两角对应相等。,课 堂 小 结,（这可是今天新学的，要牢记噢！),方法2：平行于三角形一边的直线。,方法3：三边对应成比例。,方法4：两边对应成比例且夹角。,.有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？,.顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？,解答题
9、：,如图，在RtABC的一边AB上有一点P(点P与点A，B不重合），过点P作直线截得的三角形与ABC相似，想一想满足条件的直线共有多少条？试画出图形并简要说明理由.,思考：若三角形为任意三角形，点P为三角形任意一边上的点，则这样的直线有几条？,我们来试一试,常见 图形,例5：如图，ABC中，AD是BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F 求证： ABF CAF,乐业大石围天坑是我们百色市有名的旅游景点，为了测量一个峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标点O，再在他们所在的这一侧选点A、B、D，使得ABAO, DBAB,然后确定DO和AB的交点C，测得
10、AC=60米，CB=30米，BD=12米，你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？,一、填空题 1_三角形一边的_和其他两边_，所构成的三角形与原三角形相似 2如果两个三角形的_对应边的_，那么这两个三角形相似 3如果两个三角形的_对应边的比相等，并且_相等，那么这两个三角形相 似 4如果一个三角形的_角与另一个三角形的_，那么这两个三角形相似,5在ABC和ABC中，如果A56，B28，A56，C28，那么这两个三角形能否相似的结论是_理由是_,6在ABC和ABC中，如果A48，C102，A48，B30，那么这两个三角形能否相似的结论是_理由是_ 7在ABC和ABC中，如果A34，AC5cm，AB4c
11、m，A34，AC2cm，AB1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是_，理由是_ 8在ABC和DEF中，如果AB4，BC3，AC6；DE2.4，EF1.2，FD1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是_，理由是_,8如图6，已知ABCDEF，AB=6，BF=2，CE=8，CA=10，DE=15求线段DF，FC的长,相似三角形对应高的比等于相似比, ABC A1B1C1B = B1又ADB = A1D1B1 =900 ADB A1D1B1（角角）,D,D1,证明：,相似三角形对应角平分线的比等于相似比, ABC A1B1C1 B = B1，BAC = B1A1C1 AD，A1D1分别是BAC
12、和B1A1C1的角平分线 BAD = B1A1D1 ADB A1D1B1（角角）,D,D1,证明：,相似三角形对应中线的比等于相似比,D,D1,相似三角形判定方法,1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等；,3、（判定定理1）三组对应边的比相等的两个三角形相似。,2、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。,4、（判定定理2）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。,5、（判定定理3）两角对应相等的两个三角形相似。,已知：,ABCA1B1C1.,求证：,你能证明吗？,RtABC 和 RtA1B1C1.,如果一个直角三角形的斜边和一条
13、直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。,判定三角形相似的定理之四,ABCA1B1C1.,即： 如果,那么,RtABC 和 RtA1B1C1.,课堂小结,1. 相似图形三角形的判定方法：,通过定义平行于三角形一边的直线三边对应成比例两边对应成比例且夹角相等两角对应相等两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,（三边对应成比例，三角相等）,（SSS）,（AA）,（SAS）,（HL）,对应角相等。对应边成比例。对应高的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。,2. 相似三角形的性质：,（1）所有的等腰三角形都相似。 （2）所有的等
14、腰直角三角形都相似。 （3）所有的等边三角形都相似。 （4）所有的直角三角形都相似。 （5）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。 （6）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。 （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。 （8）相似的两个三角形一定大小不等。,1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。,随堂练习,2. ADBC于点D， CEAB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？,50,30,100,30,30,3. 下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？,A,C,B,A1,C1,B1,D,E,F,A,B,C,60,相似,相似,4. 过ABC(CB)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与ABC相似，这样的直线有几条？,C,D ,B,C,A,D,E,E,B,C,A,D, ADE ABC, AED ABC,A=A AED=C,A=A AED=B,作DE，使AED=C,作DE，使AED=B,这样的直线有两条：,5. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_。6. 若ABC与ABC相似，一组对应边的长为AB=3 cm，AB=4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_。7. 若ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个ABC的最小边长为12 cm，那么ABC的最大边长是_。,全等,43,24cm,
