1、典型题目,分解因式,一、判断是否是是分解因式,把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。,练习：1、下列从左到右是分解因式的是（ ） A. x(ab)=axbx B. x 3=x(1- ) C. x21=(x+1)(x1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c E.(x+3)(x3) =(x3)(x+3) F.6a2b=3ab2a,C,2、下列分解因式中，正确的是（ ） A3m26m=m(3m6) Ba2b+ab+a=a(ab+b) Cx2+2xyy2=(xy)2 Dx2+y2=(x+y)2,C,二、找公因式,找公因式的方法：1：系数为 ； 2、字母是 ； 3、字
2、母的次数 。,各系数的最大公倍数,相同字母,相同字母的最低次数,练习：5x225x的公因式为 ； 2ab24a2b3的公因式为 ， 多项式x21与(x1)2的公因式是 。,例题：把下列各式分解因式 m2（a-2）+m（2-a） (x-y)3-y(y-x)2 ab(m-2)+b(2-m) (4)n(m-n)3-m(n-m)2,三、（1）、提公因式法：,（2）运用公式法：,a2b2（ab）（ab） 平方差公式 ,1、有且只有两个平方项； 2、两个平方项异号。,能使用平方差公式分解因式的多项式的特点：,例题：把下列各式分解因式x24y2,（3）运用公式法：,a2 2ab b2 （ab）2 a2 2a
3、b+ b2 （ab）2 完全平方式 ,能使用完全平方公式分解因式的多项式的特点：,1、有两个平方项； 2、两个平方项同号。 3、含有交叉项的正负2倍。,例题：把下列各式分解因式9x2-6x+1,解：原式=(3x)2-2(3x) 1+1=（3x-1)2,习题：注意解题步骤！ 1、若4x2+（m-1）xy+25y2是完全平方式，求m的值。 2、x2+x+a=（x+b）2，求a，b的值。,习题1：把下列各式分解因式 4（m+n）2-12（m+n）+9,-a2+2a3-a44a2-12a（x-y）+9（x-y）2,四、利用分解因式进行计算： (1)（-2）2012+（-2）2013 ; (2) ; (
4、3)1.222229-1.333324 ;,五、利用完全平方式配方求值： (1)x2-6x+8y+y2 +25=0，求2x-3y的值 ; (2) m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m、n ;,六、说理题： (1)不论a、b为何值，代数式 a2b2-2ab+3一定为正值吗？ (2)对于任意的自然数n， 3n+2-2n+3 +3n-2n+1一定是10的整数倍吗？说明理由。,七、讨论：已知m、n为正整数，且m2=n2+45，求数对（m，n）,八、应用： (1)把20cm长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5cm2，求这两段铁丝的长？,(2)已知x+y=m，2
5、x+3y=m-1 若 A=x（2x+3y）+y（2x+3y）-2x-3y，求A的最小值； 若 B=3（3x+2y）2-12x（3x+2y）+12x2，求B的值。,十字相乘法,公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),例题：把下列各式分解因式, X2-5x+6 a2-a-2,解：原式=（x-2)(x-3),解：原式=(a+1)(a-2),=(x3)(3x1),=(5x3)(x4),二次齐次方程,1.十字相乘法分解因式： (1)x2-5x-6 ; (2) a2b2-7ab+10 (3)m3-m2-20m; (4)3a3b-6a2b-45ab;,2.十字相乘法分解因式: (1)3x2+1
6、1x+10; (2)2x2-7x+3 (3)6x2-7x-5; (4)5x2+6xy-8y2; (5)2x215x+7; (6)3a2-8a+4 (7)5x2+7x-6; (8)6y2-11y+-10 3.已知多项式2x3-x2-13x+k有一个因式是2x+1,求K的值.,分组分解法：,分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去,1、分组后可以提公因式,2、分组后可以运用公式,(1)可按相同的系数或相 同 的系数比进行分组。如：,2ax3ay3by2bx,(2ax+2bx)+(3ay+3by),1、分组后能提取公因式,2、分组后能运用公式，如：,a22ab21,（a22a1）b2,分解因式（xy
7、+1）（x+1）（y+1）+xy,例题：把下列各式分解因式, 3x+x2-y2-3y x2-2x-4y2+1,解：原式=(x2-y2)+(3x-3y),=(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-y)(x+y+3),原式=x2-2x+1-4y2=(x-1)2-(2y)2=(x-1+2y)(x-1-2y),4)分组分解： (1)分组后提取公因式；(2)分组后用公式。,分解因式:(1)20(x+y)+x+y; (2)2m-2n-4x(m-n); (3)ac+bc+2a+2b;(4)a2+ab-ac-bc; (5)xy-y2-yx+xz;(6)4x2+3z-3xz-4x. (7)x2-y2+ax+
8、ay;(8)4a2-b2+6a-3b; (9) 1-m2-n2+2mn;(10)9m2-6m+2n-n2. (11)4x2-4xy+y2-a2;(12)a2-b2+2bc-c2.,2.分解因式： (1)3ab-2a+6bc-4c (2) 4m2-6m+3n-n2 (3) x2-6x-y2+9 (4) (ax-by)2-(bx-ay)2 (5)2x2+x-1 (6)3a2b2-4ab+1 3.(x-2)2+y2-2y+1=0,求xy的值. 3.已知x2+4y2+2x+4y+2=0,求x2-4y的 值。,5配方法：,通过加减项配出完全平方式后，再把二次三项式分解因式的方法叫配方法。, 对任意多项式
9、分解因式，都必须首先考虑提取公因式。, 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。,一提,二套,三分,四查,再考虑分组分解法,检查：特别看看多项式因式是否分解彻底,先看有无公因式， 再看能否套公式， 十字相乘试一试， 分组分解要彻底。 四种方法反复用， 不能分解连乘式。,4、叙述因式分解的一般步骤：,因式分解的规律：1、首先考虑提取公因式法；2、两项的在考虑提公因后多数考虑平方差公式。3、三项的在考虑提公因后考虑完全平方公式。4、多于三项的在考虑提公因后，考虑分组分解。5、分解后得到的因式，次数高于二次的必须再考虑是否能继续分解，确保分解到不能再分解为止。,
