1、第 1 页 共 9 页圆锥曲线高考题精选 答案1已知椭圆 1C：21(0)yxab的右顶点为 (1,0)A，过 1C的焦点且垂直长轴的弦长为 1（I）求椭圆 的方程；（II ）设点 P在抛物线 2： 2)yxhR上， 2在点 P处的切线与 C交于点 ,MN当线段AP的中点与 MN的中点的横坐标相等时，求 h的最小值解析：（I）由题意得 2,1ab所求的椭圆方程为214，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II ）不妨设 212(,)(,)(,),xyPth则抛物线 2C在点P处的切线斜率为 2xty，直线MN 的方程为2yth，将上式代入椭圆 1C的方程中，得 2()0xth，即2440
2、tt，因为直线MN与椭圆 1有两个不同的交点，所以有4216()，设线段MN的中点的横坐标是 3x，则21()xt，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设线段PA的中点的横坐标是 4，则 t，由题意得 34x，即有 2(1)0tht，其中的22(1)0,h或 h；当 3时有 2，因此不等式 216()4tt不成立；因此 1h，当 时代入方程 1tt得 t，将 ,t代入不等式 216()40ht成立，因此 h的最小值为12.已知双曲线2:(0,)xyCab的离心率为 3，右准线方程为 3x（）求双曲线 的方程；（）设直线 l是圆 2:Oxy上动点 00(,)Py处的切线， l与双曲线 C交于
3、不同的两点 ,AB，证明 O的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得23ac，解得 1,3ac， 22bca，所求双曲线 C的方程为21yx.（）点 00,Pxy在圆 2xy上，圆在点 0,Pxy处的切线方程为 0y，化简得 02.由 012xy及 20得 22000348x，切线 l与双曲线C交于不同的两点A、B ，且 x， ，且 2016438xx，设A、B两点的坐标分别为 12,，则2001212,343xx， cosO，且 10102ABxyy，2120101204xx2
4、2022000884334xx220083. AB的大小为 .第 2 页 共 9 页【解法2】（）同解法1.（）点 00,Pxy在圆 2xy上，圆在点 0,Pxy处的切线方程为0xy，化简得 .由 01及 20得22000348x 2348xyx 切线 l与双曲线C交于不同的两点A、B ，且 0， 20，设A、B两点的坐标分别为 12,xy，则2200121,34xyx， 1OAB， O的大小为 90.（ 0且 ， 2200,y，从而当 2034x时，方程和方程的判别式均大于零）.3.设椭圆E: 2ab（a,b0）过M （2， ） ，N( 6,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E 的方程；（
5、 II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 OAB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: 21xy（a,b0）过M （2， ） ，N( ,1)两点,所以2461ab解得284a所以 2b椭圆E的方程为2184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 OAB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组 2184xykm得 22()8xk,即 22(1)480kxm, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则= 22216()8(4)0kkk,即 20k12248
6、kmx,22221212112(8)4()()11mkyxmxmxk要使 OAB,需使 0,即 280k,所以 230,所以 2380又 240m,所以238,所以 23,即 6或 6,因为直线 ykx为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk,22831mrk,r,所求的圆为 283,此时圆的切线 ykx都满足63或 63,而当切线的斜率不存在时切线为 6x与椭圆2184xy的两个交点为 26(,)3或2(,)满足 OAB,综上, 存在圆心在原点的圆 283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 OAB.第 3 页 共 9 页因为12248kmx,所以22222
7、11148(4)()()()11kmkmxx, 222221118()|()()ABxykk4242353k, 当 0时 2|1k因为 248k所以 21084k,所以 2324k, 所以 46|33AB当且仅当 时取”=”.当 0k时, 46|3AB. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为 2(,)或 26(,),所以此时 46|3AB,综上, |AB |的取值范围为 6|33AB即: 4|3【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.4. 设
8、 mR,在平面直角坐标系中,已知向量 (,1)amxy,向量 (,1)bxy,ab,动点 (,)Mxy的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知 4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且 OAB(O为坐标原点), 并求出该圆的方程 ;(3)已知 m,设直线 l与圆C: 22R(1R2)相切于A 1,且 l与轨迹E 只有一个公共点B 1,当R为何值时,|A 1B1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因为 ab, ()mxy, ()bxy,所以 210abxy, 即 21xy. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当m=
9、0时,方程表示两直线 ,方程为 ;当 时, 方程表示的是圆当 且 时,方程表示的是椭圆; 当 0m时,方程表示的是双曲线.(2).当 4时, 轨迹E 的方程为214y,设圆心在原点的圆的一条切线为 ykxt,解方程组 214kxty得22()xkt,即 22(1)840kxt,要使切线与轨迹 E恒有两个交点A,B, 则使= 66()tkt,即 210t,即 2t, 且12284txk 2222112112(4)84()()1kkttkyxttxktxt ,要使 OAB, 需使 120,即224504tttkk,所以 2540t, 即 25t且 1, 即 25恒成立.所以又因为直线 ykx为圆心
10、在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 21tr,22()5trk, 所求的圆为 2xy.第 4 页 共 9 页xyoxA xBD当切线的斜率不存在时,切线为 52x,与214xy交于点 )52,(或 )52,(也满足 OAB.综上, 存在圆心在原点的圆 2y，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当 41m时,轨迹E 的方程为 2,设直线 l的方程为 ykxt,因为直线 l与圆C: 22xyR(1R2)相切于A 1, 由（2）知 2tRk, 即 (1)tRk ,因为 与轨迹E只有一个公共点B 1,由（2）知 24yx得 24()xt, 即 22(14)840kxt有唯一解
11、则= 22261()16()0ktktkt, 即 21t, 由得22341Rtk, 此时A,B重合为B 1(x1,y1)点, 由12284txk中 21x,所以,221463tkR, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以2221143Ryx,所以 22112| 5OBy,在直角三角形OA 1B1中, 21244|5()AOAR因为 24当且仅当2()R时取等号,所以 21|,即当 ,时|A 1B1|取得最大值,最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.5.已知曲线 2:Cyx与直线 :0ly
12、交于两点 (,)Axy和 (,)Bxy，且 ABx记曲线 C在点 A和点 B之间那一段 L与线段 AB所围成的平面区域（含边界）为 D设点 Pst是 L上的任一点，且点 P与点 和点 均不重合（1）若点 Q是线段 的中点，试求线段 PQ的中点 M的轨迹方程； （2）若曲线 22251:4Gaa与 有公共点，试求 a的最小值解：（1）联立 xy与 得 ,BAx，则 A中点 )25,1(Q，设线段 的中点 M坐标为 ),(y，则25,tsx，即 25,1ytxs，又点 P在曲线 C上， )1(2xy化简可得 82y，又点 是 L上的任一点，且不与点 和点 重合，则 21，即 45，中点 M的轨迹方
13、程为 12x（ 45x）.（2）曲线 2225: 0Gxaya，即圆 E： 29)()(2ya，其圆心坐标为 ),(aE，半径 57r由图可知，当 0时，曲线 2 1: 05Gx与点 D有公共点；当 0a时，要使曲线 221:45xy与点 D有公共点，只需圆心 到直线 :20lxy的距离57|2|ad，得 0a，则 的最小值为 527.第 5 页 共 9 页6.已知椭圆 12byax（ 0a）的两个焦点分别为 )0(,)0,(21cFc，过点 )0,(2caE的直线与椭圆相交于点A,B两点，且 |2|,/1BFAF（求椭圆的离心率（）直线AB的斜率；（）设点C与点A关于坐标原点对称，直线 2上
14、有一点H(m,n)( m)在 CA1的外接圆上，求 mn的值。【答案】（1） 3ace（2） 3k（3） 5n【解析】 （1）解：由 |,/2121BFAF，得 21|12AFBE,从而 212ca，整理得 23ca，故离心率 3ace（2）解：由（1）知， 22cb，所以椭圆的方程可以写为 2263cyx设直线AB的方程为 )(xky即 )3(xky由已知设 ),(),1BA则它们的坐标满足方程 2263)(cyxk 消去y整理，得 0671832222 cc依题意， ,0)482kc而 2221 3,kxkx，有题设知，点B为线段AE的中点，所以 213xc联立三式，解得219,9cc，将
15、结果代入韦达定理中解得 k(3)由（2）知， 2,0x，当 3k时，得A ),0(由已知得 )2,0(cC线段 1AF的垂直平分线 l的方程为 ,2cxcy直线l与x轴的交点 ,是 AF1的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 22)()(cx直线 B2的方程为 cxy，于是点 ),(nmH满足方程组 )(2492cmn由 0，解得,35ncm，故 52n当 3k时，同理可得 5【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。7. 已知椭圆21(0)xyab的左、右焦点分别为 12F、 ，离
16、心率 2e，右准线方程为 2x。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点 1F的直线 l与该椭圆交于 MN、 两点，且 263FN，求直线 l的方程。【解析】（I）由已知得 2ca，解得 2,c 21bc 所求椭圆的方程为21xy（II）由（I）得 1(,0)F、 2(,)第 6 页 共 9 页若直线 l的斜率不存在，则直线 l的方程为 1x，由 21xy得 2设 2(1,)M、 2(,)N， 2(,)(,)(4,0)FMN，这与已知相矛盾。若直线 l的斜率存在，设直线直线 l的斜率为 k，则直线 l的方程为 1ykx，设 1Mxy、 2(,)N，联立 2()1ykx，消元得 22()40x 21
17、2,k， 1222(1kykx， 又 2122(,)(,)FxyFNxy 1,)FMNy 22222 186( 13kkx化简得 4203170k解得 740或 舍 去 )k 所求直线 l的方程为 1或yxx 8.已知，椭圆C以过点A（1， ），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1） 求椭圆C的方程；（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 ）由题意，c1,可设椭圆方程为2114xyb。因为A在椭圆上，所以 2194b，解得 2b3， 4舍所以椭圆方程为 243y （）设直线方程：得 ()2kx，代入2143xy得
18、 2 23+(3)()10kxkx（ ）设（ Ex， y），（ F， y）因为点（1， 2）在椭圆上，所以241E， 3Eyk。 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以 k代 ，可得234()Fkx， 3Fykx。所以直线EF的斜率 ()21FEFEEykxkx。即直线EF的斜率为定值，其值为 1。9.已知，椭圆C过点A 3(,)2，两个焦点为（1，0），（1，0）。(1)求椭圆C的方程； (2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为 2914b，解得 23b， 24（舍
19、去）所以椭圆方程为2143xy。 （）设直线AE方程为： 3(1)ykx，代入 xy得 2()(3)()0kxkxk设 (x,)E, ()F,因为点 (,)2A在椭圆上，所以 214FEy第 7 页 共 9 页又直线AF的斜率与 AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得234()1xFk32Eykx所以直线EF的斜率()21FEFEEykxkx即直线EF 的斜率为定值，其值为 。 1已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆C的离心率为 ，且经过点 ，过点P（2，1）的直线 与椭圆C在x21)3,(l第一象限相切于点M .（1）求椭圆C的方程；（2）求直线 的方程以及点M的坐标；l（3）是否存过点
20、P的直线 与椭圆C相交于不同的两点 A、B，满足 ？若存在，求出直1l 2PMB线l 1的方程；若不存在，请说明理由 .2已知抛物线 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 过点 交抛物线于 两点24yx(1,0)MyNlM,AB（）证明：直线 的斜率互为相反数；,NAB（）求 面积的最小值；（）当点 的坐标为 ，且 根据（）（）推测并回答下列问题（不必说明理由）：(,0)m1)直线 的斜率是否互为相反数？ 面积的最小值是多少？ANB3已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线2:1xyCab(0)12相切60xy（）求椭圆 的方程；（）设 ， ， 是椭圆 上关于 轴对称的任
21、意两个不同的点，连结 交椭圆 于另一点 ，证明(4,)PABCxPBCE第 8 页 共 9 页直线 与 轴相交于定点 ；AExQ（）在（）的条件下，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，求 的取值范围CMNON4.在直角坐标系 中，点 到F 1 、F 2 的距离之和是4，点 的轨迹 与 轴的负半轴交于点xOyM(3,0)(,)MCx，不过点 的直线 ： 与轨迹 交于不同的两点 和 AlkxbCPQ（1）求轨迹 的方程；C（2）当 时，求 与 的关系，并证明直线 过定点0PQ l5 已知 是椭圆C的两个焦点， 、 为过 的直线与椭圆的交点，且 的周长为 12(,0)(,FAB1F2FAB34（）求椭圆C的方程；（）判断 是否为定值，若是求出这个值，若不是说明理由.1AB6已知椭圆 的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 ， 直线21(0)xyab633:lykxm交椭圆于不同的两点 ， AB（）求椭圆的方程；（）若 ，且 ，求 的值（ 点为坐标原点）；mk0OkO（）若坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积的最大值 l32AB第 9 页 共 9 页
