1、椭圆中的一组“定值”命题圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。笔者在长时间的教学实践中，以椭圆为载体，探索总结出了椭圆中一组“定值”的命题，当然属于瀚宇之探微，现与同学们分享。希望对同学们的学习有所帮助，也希望同学们能在双曲线、抛物线等的后续学习中，能够利用类比的方法，探索总结出相关的结论。命题 1 经过原点的直线 与椭圆 相交于 M、N 两点，P 是椭圆上的动点，l )0(12bayx直线 PM、PN 的斜率都存在，则 为定值 .PNMk2证明：设 ， ， ，则),(P0yx),(1yx),(1yx（*） ，而点 P、M 均在椭圆 上，故210101
2、0kNPM 12byax， ，代入（*）便可得到 .)(220axby)(21axby 2kPN练习： 已知 A、B 分别是椭圆 的左右两个顶点，P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点，1962y则 . （答案： ）.APk命题 2 设 A、B、C 是椭圆 上的三个不同点，B、C 关于 轴对称，直)0(12bayx x线 AB、AC 分别与 轴交于 M、N 两点，则 为定值xON.2a证明：设 ， ， ，),(1y),(2y),(C2yx则直线 AB 的方程为 ，121x令 0y得 M 点的横坐标 ，12121yxxyxM同理可得 N 点的横坐标 ，于是 ，12N 21ONMyxxN由于 ，21
3、21121212221 yaxybyaxbyax 因此有 .221ONMyxN练习： 设 分别是椭圆 的上下两个顶点，P 是椭圆上异于 的动点，21B， 65 21B，直线 分别交 轴于 M、N 两点，则 . （答案：25）.21P， xON命题 3 过椭圆 上一点 任意作两条斜率互为相反数的直线交)0(12bay),(P0yx椭圆于 M、N 两点，则直线 MN 的斜率为定值 .02证明：设直线 PM 的方程为 ，则直线 PN 的方程为 ， )(0xky )(00xky联立 和 组成方程组，消去 y 可得)(00xky12ba.设 ，则0)()2)( 2002 bakxyxkyba ),(),
4、(21yxNM，可得 ，同理可得2001(kx 221ky， 则 ， ，于是20022)(bkayx2021)(bkaxx20214bkayx， 故直线 MN 的斜20021020121 )()()( kyky 率为 .021yaxbx练习： 已知椭圆 ，过点 作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，162)23,(A分别交椭圆于 P、Q 两点，则直线 PQ 的斜率为 . （答案： ）.123命题 4 分别过椭圆 上两点 作两条斜率互为相反数)0(12bayx ),(),(P00yxQ的直线交椭圆于 M、N 两点，则直线 MN 的斜率为定值.)(02yaxb证明：设直线 PM 的方程为 ，联)
5、(00xky立 和 组成方程组，消去)(00xky12bay 可得 . 设 ，0)()( 202022 bakxyaxkyba ),(),(21yxNM则 ，可得 ，2001 )(kxx 21 y同理可得 ，则 ，2002)(bayk 20021 )()(bkayxkx，200221 )()(kaxkx于是有 0021020121 )()()()( yxkxkyxyxky . 因为点 P、Q 都在椭圆上，所以 ，200bakb 120bax，两式相减可得 ，同理可得 ，令120yax )(020yaxbxy )(2121yxy， ，则)(00xtb t，将、代入便有)()(22)( 00221
6、21 ybkaxkbayaxy ，即直线 MN 的斜率为定值 .)(021xb )(02yx练习： 分别过椭圆 上两点 作两条倾斜角互补且不平行于坐1482y1,6,AB标轴的直线，交椭圆于另外两点 P、Q，则直线 PQ 的斜率为 . （答案：）.236与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论众所周知，焦点弦的性质能够体现圆锥曲线几何特征，是研究圆锥曲线时的主要对象之一，在历届高考中也占有重要的地位笔者根据焦点弦所在直线的倾斜角 、焦点分焦点弦所成的比 以及圆锥曲线的离心率 之间的关系得出一个优美结论，并结合高考试题彰显了它的重要作用，希望e能和读者共勉一结论及证明定理 已知焦点在 轴上的圆锥曲线
7、，经过其焦点 的直线交曲线于 、 两点，直线xCFAB的倾斜角为 ， ，则曲线 的离心率 满足等式：ABAFBe1cos下面以椭圆为例证明之证明：如图 1，弦 过椭圆的左焦点 ，左准线为 ，由ABFlAFB可设 ， ( )，|Ft|t0当直线 的倾斜角 为锐角时，如图（ ） ，显然 ，a1分别过 两点作 、 ，垂足分别为 ，、l1l1、过 点作 ，由椭圆的第二定义可得BDA，1 ()FBtee在 中， ，故 ，RtAB(1)cos()tA1cose如果点 、 的位置互换，则 ，则有 01 xyOABlF11D()a xyOABlF11D ()b 图当直线 的倾斜角 为钝角时，如图（ ） ，显然
8、 ，ABb01同理在 中，可得 ，故 ，RtD()cos()()BDtAe1cose如果点 、 的位置互换，则 ，则有 1cos1当直线 的倾斜角 为直角时，显然 且 ，等式成立；AB0当直线 的倾斜角 时，弦 为椭圆长轴，显然易得原等式也成立0B综上，在椭圆中等式 恒成立证毕cos1e当圆锥曲线 为双曲线（如图 2）时，同样可以证明等式 成立；当曲线 为C 1coseC抛物线（如图 3）时，离心率 ，等式简化为 （其中 ） 1e1cos0总之，在任意圆锥曲线中，对于其焦点弦所在直线的倾斜角 ，焦点分对应弦的比值 （） ，总有等式 成立，它将看似没有必然联系的三个量有机地结合在一起，显0cos
9、1e得如此和谐、优美，更加体现了数学的魅力由于在解决具体的数学问题中，大多遇到的焦点弦 的斜率 是存在且不为 0 的，所以，根ABk据直线的倾斜角和斜率的关系，不难得出：推论 1 已知焦点在 轴上的圆锥曲线 ，经过其焦点 的直线交曲线于 、 两点，直线xCFAB的斜率为 （ ） ， ，则曲线 的离心率 满足等式ABk0AFBe21ek xyOABlF11D 2图 D xyOABlF11 3图当圆锥曲线的焦点在 轴上时，同理还可得y推论 2 已知焦点在 轴上的圆锥曲线 ，经过其焦点 的直线交曲线于 、 两点，若直CFAB线 的倾斜角为 ，斜率为 （ ） ， ，则曲线 的离心率 满足等式ABk0A
10、BCe， 1sine21e（推论的证明从略，读者可以自行完成 ）二结论的应用例 1 （2008 年全国卷）已知 是抛物线 的焦点，过 且斜率为 1 的直线交 于 ，F24Cyx： FCA两点设 ，则 与 的比值等于 BFAB解析：焦点弦所在直线的倾斜角为 ， ，则由定理可得 ，45ABcos451所以 32例 2 （2008 年江西卷）过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线，与抛物线分2 (0)xpyF30别交于 、 两点（ 在 轴左侧） ，则 AByAB解析：根据抛物线的对称性知 ，设 ，由推论 2 可得 ，|F1sin30所以 13例 3 （2009 年全国卷）已知双曲线 的右焦点为 ，过
11、且斜率为210,xyCab： F的直线交 于 两点，若 ，则 的离心率为 （ ）CAB、 4FBA B C D65755895解析：由推论 1 得 ，故选 A21634e（ ）例 4 （2010 全国卷文理）已知椭圆 的离心率为 32，过右焦点 F且2 0xyCab：斜率为 （ ）的直线与 相交于 AB、 两点若 3FB，则 （ ）k0 kA1 B 2 C 3 D2解析：由推论 1 得 ，解得 ，故选 B231k2k例 5 （2010 全国卷文理）已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 的延长FCBF线交 于点 ，且 ，则 的离心率为 CDBur解析：如图 4，由题意可得 ，|Oc
12、 |a，设直线 的倾斜角为 ，则 ，osea由定理可得 ，213e所以 3由此可见，本文的结论在解决与圆锥曲线焦点弦相关的问题时非常快捷，既避免了繁琐的代数运算，又节省了不少时间，可谓是圆锥曲线有力工具之一4图 y O x D F 直线与圆锥曲线的关系问题典型例题： 例 1. （2012 年辽宁省文 5 分）已知 P， Q 为抛物线 上两点，点 P， Q 的横坐标分别为 4，2xy2，过 P、 Q 分别作抛物线的切线，两切线交于 A，则点 A 的纵坐标为【 】(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8【答案】C。【 考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法。【解析】
13、点 P， Q 的横坐标分别为 4， 2，代人抛物线方程得 P， Q 的纵坐标分别为 8，2。由 得 ， 。过点 P， Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4， 2。2xy21xy 过点 P， Q 的抛物线的切线方程分别为 。48,2yxx 联立方程组解得 。点 A 的纵坐标为 4。故选 C。1,4xy 例 2. （2012 年湖北省理 5 分）如图，双曲线 的两顶点为 ，虚轴两端点2-=10xyab12,A为 ，两焦点为 。若以 为直径的圆内切于菱形 ，切点分别为 A，B，C，D。12,B12,F12 12FB则（）双曲线的离心率 e= ；（）菱形 的面积 与矩形 的面积 的比值 。12FB1SA
14、BCD2S12=【答案】 （） ；（） 。5+125+2【考点】双曲线的离心率及实轴虚轴的相关定义，一般平面几何图形的面积计算。【解析】（）由已知 222222424=a+=+-=-3+=0bcbcacacaca，解得 。42-310e2 1+53535614ee（）由已知得 ，又直线 的方程为 ，而直线 的方程为 ，1=Sbc2BF=-byxcOA=cyxb联立解得 ，22+=xbcy ，224+cSb。22122-15+=4caecb例 3. （2012 年全国大纲卷理 12 分）已知抛物线 2:()Cyx与圆 221:()()(0)Mxyr 有一个公共点 A，且在 处两曲线的切线为同一直
15、线 l。（1）求 r；（2）设 m、 n是异于 l且与 C及 M都相切的两条直线， m、 n的交点为 D，求 到 l的距离。【答案】解：（1）设 20(,1)Ax，对 2(1)yx求导得 (1)yx。直线 l的斜率 0()k，当 0时，不合题意， 0。圆心为 1(,)2M， A的斜率20(1)xk，由 lMA知 1k，即2001()2()x，解得 0x。(0,1)A。 2215|(0)()rA。（2）设 2(,1a为 C上一点，则在该点处的切线方程为 2(1)()yaxa即 2(1)yxa。若该直线与圆 M相切，则圆心 到该切线的距离为 52，即21|2()|5()aa，化简可得 2(46)0
16、a，解得012,0,1。抛物线 C在点 ()(0,2)iai处的切线分别为 ,lmn，其方程分别为2yx 11yx 22(1)yax。得 2，将 代入得 ，故 (,)D。 D到直线 l的距离为 2|()|651d。【考点】抛物线与圆的方程，以 及两个曲线的公共点处的切线的运用，点到直线的距离。来源:Z&xx&k.Com【解析】 （1）两个二次曲线的交点 问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来。首先设出切点坐标，求出抛物线方程的导数，得到在切点处的斜率。求出圆心坐标，根据两直线垂直斜率的积为1 列出方程而求出切点坐标。最后根据点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离即圆的半径。（2）求出三条切线方程， l可由（1）求出。 m、 n的切线方程含有待定系数，求出它即可求得交点坐标，从而根据点到直线的距离公式求出 D到 l的距离。
