1、旋转动态圆1 （05 全国）如图，在一水平放置的平板 MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为 m 带电量为+q 的粒子，以相同的速率 v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔 O 射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中 。哪个图是正确的？（ BqvR）2.（2010全国理综T26）(21 分)如下图 15，在 03xa区域内存在与 xy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B.在 t=0 时刻，一位于坐标原点的粒子源在 xy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与 y 轴正方
2、向的夹角分布在 0180 范围内。已知沿 y 轴正方向发射的粒子在 0t时刻刚好从磁场边界上(3,)Pa点离开磁场。求：(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径 R 及粒子的比荷 q m;(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与 y 轴正方向夹角的取值范围；(3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。【规范解答】初速度与 y 轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图 16 中的弧 OP 所示,其圆心为 C.由题给条件可以得出OCP= (2 分)23此粒子飞出磁场所用的时间为t0= (2 分)T3式中 T 为粒子做圆周运动的周期.图 15设粒子运动速度的大小为 v,半径为 R,由几何关系可得R=
3、a (2 分)由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有qvB =m (1 分)v2RT= (1 分)2 Rv解以上联立方程,可得= (3 分)qm 23Bt0(2)依题意,同一时刻仍在磁场内的粒子到 O 的距离相同(2 分)，在 t0 时刻仍在磁场中的粒子应位于以 O 点为圆心、 OP 为半径的弧 MN 上,如图 16 所示.设此时位于 P、M 、N 三点的粒子的初速度分别为 vp、 vM、 vN.由对称性可知 vp 与 OP、v M 与 OM、v N.与 ON 的夹角均为 /3.设vM、 vN.与 y 轴正向的夹角分别为 M、 N,由几何关系有 M= (1 分) 3 N= (1 分)23对于所有此时仍
4、在磁场中的粒子,其初速度与 y 轴正方向所成的夹角 应满足 (2 分) 3 23(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切,其轨迹如图 17 所示.由几何关系可知, 弧长 OM 等于弧长 OP (1 分)由对称性可知，弧长等于弧长 (1 分)所以从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间 =2 t0 (2 分)【答案】 R = a ， = qm 23Bt0速度与 y 轴的正方向的夹角范围是 3 23从粒子发射到全部离开所用 时间 为 2 t0图 16图 173.（2010新课标全国卷T25 ） （18 分）如图所示，在 0 x a、 0 y 2范围内有垂直于 xy平面向外的匀强磁
5、 场，磁感应强度大小为 B。坐标原点 O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xy 平面内，与 y 轴正方向的夹角分布在 0 90范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 a/2到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的（1）速度的大小；（2）速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦。【思路点拨】解答本题可按以下思路分析：【规范解答】（1）设粒子的发射速度为 v，粒子做圆周运动的轨道半径为 R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式，得： Rmqv
6、B2， （2 分）由解得： qv （1 分）画出沿y 方向以 a/2 为半径做匀速圆周运动轨迹如图 所示，再画出从坐标原点 O 沿与 y 轴正方向以半径 R0（a/2R 0a）做匀速圆周运动且圆弧轨迹与磁场上边界相切时的临界轨迹，然后将临界轨迹以 O 为圆心顺时针或逆时针旋转，根据在磁场中的轨迹线的长度即可判断运动时间的长短，如下图所示。从图不难看出临界轨迹对应的运动时间最长。当 aR2时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为 C 的圆弧，圆弧与磁场的上边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为 t，依题意 4Tt，得：OCA。 （4 分）设最后离开磁场的粒子的发射速度方向与 y
7、轴正方向的夹角为 ，由几何关系可得：画出沿y 方向以 a/2 为半径做圆周运动轨迹增大半径将运动圆弧以 O 为圆心旋转圆弧轨迹与磁场上边界相切时为临界轨迹 再将临界轨迹旋转 比较得到最长时间2sinaR （2 分）cos （2 分）又 1si22 （1 分）由式解得： aR)6( （2 分）由式得： mqBv)2( （2 分）（2）由式得： 106sin （2 分）【答案】 （1） maqBv)2(（2） 106sin【类题拓展】巧解有界磁场中部分圆弧运动问题（1）分析思路三步走：1.确定圆心，画出轨迹； 2.找几何关系，定物理量； 3.画动态图，定临界状态。（2）分析方法四优法1.几何对称法
8、：粒子的运动轨迹关于入射点和出射点的中垂线对称。2.动态放缩法：速度越大半径越大，但速度方向不变的粒子圆心在垂直速度方向的直线上。3.旋转平移法：定点离子源发射速度大小相等、方向不同的所有粒子的轨迹圆圆心在以入射点为圆心，半径 R=mv0/(qB)的圆上，相当于将一个定圆以入射点为圆心旋转。4.数学解析法：写出轨迹圆和圆形边界的解析方程，应用物理和数学知识求解。本题巧妙地应用动态放缩法和旋转平移法能够很快得出带电粒子在磁场中运动时间最长的临界轨迹，问题也就迎刃而解了。练习：1、 （18 分） （2012 湖北省八校第一次联考）如图所示，在正方形区域 abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强
9、度为 B 的匀强磁场。在 t=0 时刻，一位于 ad 边中点 o 的粒子源在 abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与 od 边的夹角分布在 0180范围内。已知沿 od 方向发射的粒子在 0t时刻刚好从磁场边界 cd 上的 p 点离开磁场，BxyOp a bcdO 粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长 L，粒子重力不计，求：（1）粒子的比荷 qm；（2）假设粒子源发射的粒子在 0180范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比；（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。解：（1）初速度沿 od 方向发射的粒子在磁场中运动
10、的轨迹如图，其园心为 n，由几何关系有：, （2 分）6onp10Tt粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得 RTmBqv2)(， v， （2 分）得 （2 分）06t(2)依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到 o 点距离相等。在 t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以 o 为圆心，op 为半径的弧 pw 上。 （2 分）由图知 （2 分）65pow此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为 5/6 （2 分）（3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界 b 点相交， （2 分）设此粒子运动轨迹对应的圆心角为 ，则 （2 分）45sin在磁场中运动的最长时间 0arci12tT
11、t所以从粒子发射到全部离开所用时间为 。 （2 分）0)45arcsin(tt练习 2：S 为电子源，它只在下图所示的纸面上 360范围内发射速率相同、质量为 m、电荷量为 e 的电子，MN 是一块足够大的竖直挡板，与 S 的水平距离 OS=L。挡板左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，求：(1)要使 S 发射的电子能够到达挡板，则发射电子的速度至少为多大？ (2)若电子发射的速度为 eBL/m，则挡板被击中的范围有多大？OPa bcd nWOabcdY解：(1)从 S 发射电子速度方向竖直向上，并且轨道半径恰好等于 时，是能够达到挡板的最小发射速度。如下图， (2)如图 ，所以击中挡板上边界的电子，发射角应为与水平成30角斜向上，电子在磁场中恰好运动半圆周到达挡板上边界。若要击中挡板下边界，电子发射方向正对挡板 O 点，电子在磁场中才能恰好运动 圆周到达挡板下边界
