1、1概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案1写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；(3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标解：(1) 100,2,1 ；(2) 345,235,234,145,135,134,125,124,123；(3) ,2,1 ；(4) |),( 22 yxyx 2在10,2,1 ，432，A，5,4,3B，7,6,5C，具体写出下列各式：(1) BA；(2) BA；(3) BA
2、；(4) BCA；(5) CBA 解：(1) ,9,101,5,6,7,8A，5BA；(2) 10,9,8,7,6,5,4,3,1BA；(3)法1：10,9,8,7,6,2,1B，10,9,8,7,6,1BA，5,4,3,2BA；法2：5,4,3,2 BABABA ；(4) 5BC，10,9,8,7,6,4,3,2,1BC，4,3,2BCA，10,9,8,7,6,5,1BCA；2(5) 7,6,5,4,3,2CBA ，1,8,9,10CBA 3设20| xx，121| xxA，2341| xxB，具体写出下列各式：(1) BA；(2) BA；(3) AB；(4) BA解：(1) BBA ，22
3、3,410| xxxBBA；(2) BA ；(3) AAB ，21,210| xxxAAB；(4) 231,2141| xxxBA4化简下列各式：(1) )( BABA ；(2) )( CBBA ；(3) )()( BABABA 解：(1) ABBABABA )()( ；(2) ACBCABCBBA )()(；(3) )()()( BABBABABABA ABABAABAA )(5A，B，C表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1) CBACBACBA ；(2) BCACAB ；(3) )( CBA ；(4) BCACAB 解：(1) A，B，C恰有一个发生；(2) A，B，C中至少有
4、一个发生；(3) A发生且B与C至少有一个不发生；(4) A，B，C中不多于一个发生6对于任意事件A，B，证明： ABAAB )(3证：ABBAABAABABAAB )()( AAAA 7把事件CBA 表示为互不相容事件的和事件解：)()( CABAAACBACBA )( BCACBABAACABAA CBABCABAA )( CBABAA 8设0)( AP，0)( BP，将下列5个数)(AP，)()( BPAP ，)( BAP ，)()( BPAP ，)( BAP 按有小到大的顺序排列，用符号“”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立解：因为0)( AP，0)( BP，)()( BPAB
5、P ，故)()()()()()()()()( BPAPBAPAPBAPABPAPBPAP ，所以)()()()()()()( BPAPBAPAPBAPBPAP (1)若AB，则有)()()( BAPBPAP ，)()( BAPAP ；(2)若AB ，则有)()( APBAP ，)()()( BPAPBAP 9已知BA，3.0)( AP，5.0)( BP，求)(AP，)(ABP，)( BAP和)( BAP解：(1) 7.0)(1)( APAP；(2) BA，AAB ，则3.0)()( APABP；(3) 2.0)()()()( ABPBPABPBAP；(4) )(1)()( BAPBAPBAP
6、5.0)()()(1 ABPBPAP10设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品4解：从10件产品中任取3件，共有310C种取法，(1)记A 从10件产品中任取3件，只有1件次品，只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C中取法，另外的两件为正品，从6件正品中取得，共26C种取法则事件A共包含2614CC个样本点，21)( 310 2614 CCCAP(2)记B 从10件产品中任取3件，最多有1件次品，C 从10件产品中任取3件，没有次品，则CAB ，且A与C互不相容没有次品，即取出的3件产品全是正
7、品，共有36C种取法，则61)( 31036 CCCP，32)()()()( CPAPCAPBP (3)易知C 从10件产品中任取3件，至少有1件次品，则65)(1)( CPCP11盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率解：从10个球中任选3球，共有310C种选法，(1)记A 从10个球中任选3球，最小标号为5，事件A发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C种选法，则121)( 31025 CCAP(2)记B 从10个球中任选3球，最大标号为5，事件B发生
8、，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，4这4个数中任选，共有24C种选法，则5201)( 31024 CCBP12设在口袋中有a个白球，b个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止求最后是白球留在口袋中的概率解：设A 最后是白球留在口袋中，事件A即把ba个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为baaAP )(13一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，求下列事件的概率：(1) 6个人中至少有1人的生日在10月份；(2) 6个人中有4人的生日在10月份；(3) 6个人中有4人的生日在同一月份解：设i
9、B 生日在i月份，则iB 生日不在i月份，12,2,1 i，易知121)( iBP，1211)( iBP，12,2,1 i(1)设A 6个人中至少有1人的生日在10月份，则A 6个人中没有一个人的生日在10月份，6610 )1211(1)(1)(1)( BPAPAP；(2)设C 6个人中有4人的生日在10月份，则6 2244621041046 121115)1211()121()()()( CBPBPCCP；(3)设D 6个人中有4人的生日在同一月份，则5 2112 121115)()( CPCDP14在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点
10、在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R的概率解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x，已知，当Rx 23，弦长大于半径6R，从而所求的概率为232232 R RP15甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h，乙船的停泊时间是2h，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率解：设A 两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出，则A 一艘船到达泊位时必须等待，分别用x和y表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则10,20|),( xyyxyxA，从而1207.024 2221232124)( )(
11、)( 2 222 AAP；8993.0)(1)( APAP16甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解：设A 甲击中目标，B 乙击中目标，C 目标被击中，则BAC ，由题设知A与B相互独立，且6.0)( AP，5.0)( BP，所以)()()()()( ABPBPAPBAPCP 8.0)()()()( BPAPBPAP，从而43)( )()( )()|( CP APCPACPCAP17某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1，河流乙泛滥的概率是0.2，又当河流甲
12、泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3，求在该时期内这个地区被淹没的概率，7又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？解：A 甲河流泛滥，B 乙河流泛滥，C 该地区被淹没，则BAC ，由题设知1.0)( AP，2.0)( BP，3.0)|( ABP，从而)()()()()( ABPBPAPBAPCP 27.0)|()()()( ABPAPBPAP，15.0)( )|()()( )()|( BP ABPAPBPABPBAP18设n件产品中有m件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率解：设A 有一件产品是不合格品，B 另一件产品也是不合格品，iD 取出的两件产
13、品中有i件不合格品，2,1,0i，显然，21 DDA ，21DD ，2DBAB 从n件产品种任取两件，共有2nC种取法；若1D发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，则该不合格品只能从m件不合格品中取得，共有1mC种取法；另一件为合格品，只能从mn件合格品中取得，共有1 mnC 种取法，则事件1D中共有11 mnmCC 个样本点，)1( )(2)(2111 nn mnmCCCDP n mnm，类似地，)1( )1()( 222 nn mmCCDP nm，所以)1( )1()(2)()()()( 2121 nn mmmnmDPDPDDPAP ，)1( )1()()( 2 nn mmDPABP，于
14、是所求概率为12 1)( )()|( mnmAPABPABP81910件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率解：设iA 第i次取得合格品，3,2,1i，则所求概率为12878792103)|()|()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP20设事件A与B互不相容，且1)(0 BP，证明：)(1 )()|( BPAPBAP 证：事件A与B互不相容，则0)( ABP，)(1 )()(1 )()()(1 )()( )()|( BPAPBP ABPAPBP BAPBP BAPBAP 21设事件A与B相互独立，3.0)( AP，45.0)
15、( BP，求下列各式的值：(1) )|( ABP；(2) )( BAP ；(3) )( BAP；(4) )|( BAP解：事件A与相互独立，事件A与B也相互独立，(1) 45.0)()|( BPABP；(2) )()()()( ABPBPAPBAP )()()()( BPAPBPAP 615.0；(3) 385.0)(1)(1)()()( BPAPBPAPBAP；(4) 7.0)()|( APBAP22某种动物活到10岁的概率为0.92，活到15岁的概率为0.67，现有一只10岁的该种动物，求其能活到15岁的概率解：设A 该种动物能活到10岁，B 该种动物能活到15岁，显然AB，由题设可知92
16、.0)( AP，67.0)( BP，所以9267)( )()( )()|( AP BPAPABPABP923某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂的次品率为5%一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率解：设A 电灯泡是次品，1B 电灯泡由甲厂生产，2B 电灯泡由乙厂生产，则A 电灯泡是合格品由题设可知6.0)( 1 BP，4.0)( 2 BP，04.0)|( 1 BAP，05.0)|( 2 BAP，044.0)|()()|()()( 2211 BAPBPBAPBPAP，所以956.0)(1)( APAP24已知男
17、子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设A 选出的人是色盲患者，B 选出的人是男性，B 选出的人是女性，由题设可知21)()( BPBP，05.0)|( BAP，0025.0)|( BAP，则2120)|()()|()( )|()()|( BAPBPBAPBP BAPBPABP25甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5和0.7，又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6和1现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率解：设1A，2A，3A分别表示甲、乙
18、、丙射击击中敌机，iB 敌机被击中i次，3,2,1i，C 敌机坠毁，则3213213211 AAAAAAAAAB ，3213213212 AAAAAAAAAB ，3213 AAAB ，10由题设可知4.0)( 1 AP，5.0)( 2 AP，7.0)( 3 AP，2.0)|( 1 BCP，6.0)|( 2 BCP，1)|( 3 BCP，则)()()()( 3213213211 AAAPAAAPAAAPBP )()()()()()()()()( 321321321 APAPAPAPAPAPAPAPAP 36.0，类似地，51.0)( 2 BP，14.0)( 3 BP，由全概率公式得458.0)|
19、()()( 31 i ii BCPBPCP26三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31和41问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：分别设事件A，B，C为甲、乙、丙破译密码，则三人中至少有一人能将此密码译出可表示为CBA ，有)()()()()()()()( ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP )()()()()()()()()()()()( CPBPAPCPBPCPAPBPAPCPBPAP 5327甲袋中装有n只白球、m只红球，乙袋中装有N只白球、M只红球今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解：设A 从甲
20、袋中取出白球，B 从乙袋中取出白球，则由题设可知mn nAP )(，mnmAP )(，11)|( MN NABP，1)|( MN NABP，由全概率公式，得)|()()|()()( ABPAPABPAPBP )1)( )1( NMnm mNNn28从区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的和小于1.2的概率11解：设x和y分别为所取的两个数，显然10 x，10 y，即试验的样本空间为边长为1的单位正方形，记2.1|),( yxyxA，由几何概型，有68.011 8.08.02111)( AP29一个系统由4个元件联结而成(如图)，每个元件的可靠性(即元件能正常工作的概率)为r ( 10 r )
21、，假设各个元件独立地工作，求系统的可靠性解：设iA 第i个元件能正常工作，4,3,2,1i，B 系统能正常工作，则4314214321 )( AAAAAAAAAAB ，由题知rAP i )(，iA相互独立，4,3,2,1i，所以)()( 431421 AAAAAAPBP )()()( 4321431421 AAAAPAAAPAAAP )()()()()()()()()( 4321431421 APAPAPAPAPAPAPAPAPAP 3)2( rr30某篮球运动员投篮命中的概率为0.8，求他在5次独立投篮中至少命中2次的概率解：设A 该篮球运动员5次独立投篮中至少命中2次，iB 该篮球运动员5
22、次独立投篮中命中的次数，5,1,0 i，则由题可知5432 BBBBA ，10 BBA ，iB互不相容，5,1,0 i，所以)()(1)(1)( 10 BPBPAPAP 9933.02.08.02.08.01 41155005 CC31设概率统计课的重修率为5%，若某个班至少一人重修的概率不小于0.95，1 32 412问这个班至少有多少名同学？解：设该班有n名同学，A 该班每名同学概率统计课重修，iB 该班n名同学中有i名同学概率统计课重修，C 该班n名同学中至少有1名同学概率统计课重修，则 ni in BBBBC 121 ，0BC ，由题可知05.0)( AP，nnnCBPCPCP 95.
23、0195.005.01)(1)(1)( 000 ，由题意，应有95.095.01 n，解得59n32某种灯泡使用时数在1000h以上的概率为0.6，求3个灯泡在使用1000h以后最多有1个损坏的概率解：设A 该种灯泡使用时数在h1000以上，iB 3个灯泡在使用h1000以后有i个损坏，3,2,1,0i，C 3个灯泡在使用h1000以后最多有1个损坏，则10 BBC ，由题知6.0)( AP，iB互不相容，3,2,1,0i，所以648.06.04.06.04.0)()()(2113300310 CCBPBPCP33甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，求：(1)二
24、人进球数相等的概率；(2)甲比乙进球数多的概率解：设A 甲篮球运动员投篮命中，B 乙篮球运动员投篮命中，iA 甲篮球运动员投篮命中i次，3,2,1,0i，iB 乙篮球运动员投篮命中i次，3,2,1,0i，C 甲、乙进球数相等，D 甲比乙进球数多，由题可知A与B相互独立，iA相互独立，iB相互独立，iA与iB相互独立，7.0)( AP，6.0)( BP，13iiii CAP 33 3.07.0)(，iiii CBP 33 4.06.0)(，3,2,1,0i，(1) 30 i iiBAC 303030 )()()()()( i iii iii ii BPAPBAPBAPCP 3208.0；(2)
25、3310201 )( BABBABAD ，从而有)()( 3310201 BABBABAPDP )()( 3310201 BAPBBAPBAP )()()()( 33120201 BAPBAPBAPBAP )()()()()()()()(33120201 BPAPBPAPBPAPBPAP 4362.034若三事件A，B，C相互独立，证明：BA及BA都与C相互独立证：(1) )()( BCACPCBAP )()()( ACBCPBCPACP )()()( ABCPBCPACP )()()()()()()( CPBPAPCPBPCPAP )()()()()( CPBPAPBPAP )()()()(
26、 CPABPBPAP )()( CPBAP 所以BA与C相互独立(2) )()( BCACPCBAP )()( ABCPACP )()()()()( CPBPAPCPAP )()()()( CPBPAPAP )()()( CPABPAP )()( CPBAP ，所以BA与C相互独立35设袋中有1个黑球和1n个白球，每次从袋中随机摸出一球，并放入一个白球，连续进行，问第k次摸到白球的概率是多少？解：设A 第k次摸到白球，A 第k次摸到黑球，A发生表示前1k次摸球摸到的都是白球，第k次摸到的是黑球前1k次14摸球，每次摸到白球的概率均为nn 1，第k次摸到黑球的概率为n1，每次摸球相互独立，可知nnnAP k 1)1()( 1 ，则nnnAPAP k 1)1(1)(1)( 1
