1、- 1 -习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时 , 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故 ；,7651(2) 掷一颗匀称的骰子两次 , 观察前后两次出现的点数之和 ;解： ；124,32(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以 ；,2103(4) 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：;,4jij(5) 检查两件产品是否合格 ;解：用 0 表示合格,
2、 1 表示不合格，则 ；1,0,5(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于 T1, 最高气温不高于 T2);解：用 表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：xy；216,Tx(7) 在单位圆内任取两点 , 观察这两点的距离 ;解： ；07x(8) 在长为 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.l解： ；lyxxy081.2 (1) A 与 B 都发生, 但 C 不发生; ；AB(2) A 发生, 且 B 与 C 至少有一个发生; ；)(C(3) A,B,C 中至少有一个发生; ；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;
3、；CBABA(5) A,B,C 中至少有两个发生; ；(6) A,B,C 中至多有一个发生; ；(7) A;B;C 中至多有两个发生; ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 设样本空间 , 事件 = ,20xA15.0x6.18.0xB具体写出下列各事件：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ABB（1 ） ；18.0x(2) = ；.5(3) = ; BA28.0xx(4) = 6.1501.6 按从小到大次序排列 , 并说明理由.)(),(,(), BPABAP解：由于 故 ，而由加法公式，有：,AB)()(P1.7 解
4、：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为： 175.0)()()( WEPEWP- 3 -(2) 由于事件 可以分解为互斥事件 ，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事WEW件 概率为： 1.0)()(PEP(3) 昆虫未出现残翅 , 也无退化性眼睛的概率为： .8250)(1)(EWP1.8 解：(1) 由于 ，故 显然当 时 P(AB) BA, ),(),(BAPA取到最大值。 最大值是 0.6.(2) 由于 。显然当 时 P(AB) 取到最小)()()(P 1)(值，最小值是 0.4.1.9 解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0. 至少有一个发生的概率为：CBA
5、, 7.0)()()()()()( ABCPBCPPCBAP1.10 解（1 ） 通过作图，可以知道， 3.0)()(BPABP（2 ） 61)()(ABP7.0)(1)()( )()(1)3 AB由 于1.11 解：用 表示事件“杯中球的最大个数为 个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有iAi种，每种放法等可能。46- 4 -对事件 ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 432 种，故1A 83)(1AP(选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列) 。对事件 ：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此3A3 个球，选法有 4 种) ，故
6、。16)(3AP69183)21.12解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为 36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2 ，1）。故前后两次出现的点数之和为 3 的概率为。8同理可以求得前后两次出现的点数之和为 4，5 的概率各是 。91,2(1) 1.13 解：从 10 个数中任取三个数，共有 种取法，亦即基本事件总数为 120。1203C(1) 若要三个数中最小的一个是 5，先要保证取得 5，再从大于 5 的四个数里取两个，取法有 种，故所求概率为 。624C20(2) 若要三个数中最大的一个是 5，先要保证取得 5，再从小于 5 的五个数里取两个，取
7、法有 种，故所求概率为 。1025 11.14 解：分别用 表示事件：321,A(1) 取到两只黄球 ; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则。,16)(,3468)( 21421 CPCP 316)()(213APAP1.15 - 5 -解： )()()( BPABPAP由于 ，故0)(B 5.0)()()( 1.16(1) （2）);(BAP);(BAP解：（1） ;8.054.1)(1)( BAPAP（2） ;6)()(注意：因为 ，所以 。5.0BAP5.0)(1(BAP1.17 解：用 表示事件“第 次取到的是正品”（ ），则 表示事件“第 次取到的i i 3
8、,21ii i是次品”（ ）。3,211 12153421(),()()20498PAPAPA(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品 ”的概率为：。3125()8PA(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：1231213125435()()()09182PA（3 ） 事件“第三次取到次品 ”的概率为：此题要注意区分事件（1）、 (2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用 表示事件 “第 次取到的是正品”（iAi），2,i- 6 -则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为： ；而事件1)(2AP
9、“第二次才取到次品”的概率为： 。区别是显然的。1)()(2121AP1.18。解：用 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数 ”。用 表示事件“从)2,10(iA iB第二箱中取到的是次品”。则 21 212044146(),(),(),999CCCPPPA， ， ，0()2BA1()BA23()根据全概率公式，有： 283)()()()( 2100 ABPPP1.19解：设 表示事件“所用小麦种子为 等种子”，)3,21(iAi表示事件“种子所结的穗有 50 颗以上麦粒”。B则 ， ，123()0.9,()0.5,()0.,PPA1()0.5BA2()0.15PBA，根据全概率公式，有：
10、3A 4705.)()()()( 33221 B1.20 解：用 表示色盲， 表示男性，则 表示女性，由已知条件，显然有：BA因此：,025.)(,05.)(,49.0)(,51.)( ABPPA- 7 -根据贝叶斯公式，所求概率为： 1502)()()()()( ABPAPBAPBAP1.21 解：用 表示对试验呈阳性反应， 表示癌症患者，则 表示非癌症患者，显然有：BAA,01.)(,95.0)(,95.0)(,5.0)( BPAP因此根据贝叶斯公式，所求概率为： 2945)()()()()( ABPAPBAPBAP1.22 (1) 求该批产品的合格率 ;(2) 从该 10 箱中任取一箱,
11、 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少?解：设， , 321 产 品 为 丙 厂 生 产产 品 为 乙 厂 生 产产 品 为 甲 厂 生 产 BBB，则产 品 为 合 格 品A（1 ） 根据全概率公式， ，该批94.0)()()()( 321 BAPBAPBPA产品的合格率为 0.94.（2 ） 根据贝叶斯公式， 941)()()()( 32111同理可以求得 ，因此，从该 10 箱中任取一箱, 再从这箱中任472)(,927)(3ABP取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：。47291- 8 -1.23解
12、：记 =目标被击中 ，则A 94.0)71(8.0)9.1()(1)( AP1.24 解：记 =四次独立试验，事件 A 至少发生一次， =四次独立试验，事件 A 一次也不4 4发生。而 ，因此 。所以5904.)(AP 4096.)()1)(4 PAP2.81,8.0)(三次独立试验中, 事件 A 发生一次的概率为： 。384.06.23)(1)(3 APC二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时，P(A-B)=P
13、(A)-P(B)当 A= 时，P( )=1- P(B)（12）条件概率定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 为事件 A 发生条件下，)(PB事件 B 发生的条件概率，记为 。)/(A（16）贝叶斯公式，i=1，2，n。nj jjiii BAPAP1)/()/(此公式即为贝叶斯公式。- 9 -第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/362.2 解：根据 ，得 ，即 。1)(0kX10kae1ea故 ea2.3 解：用 X 表示甲在两次投篮中所投中
14、的次数，XB(2,0.7)用 Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, YB(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2=00112222 002 2.73.460.73.406.73.46.3124CCC(2)甲比乙投中的次数多PXY= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1=102021022 2 2.73.46.73.46.73.460.5282.4 解:（1）P1X 3= PX=1+ PX=2+ PX=3= 155(2) P0.50（3 ）设 FY(y)， 分别为随机变量 Y 的分布函数和概率密度函数，则()
15、fy当 时，y020YPXyP当 时， 22 1() xyYFy Xed- 16 -对 求关于 y 的导数，得()YF2 2 2() () (ln)111()0y yYeeefy 02.23 :XU(,)1(0Xfxx其 它（1 ）2lny当 时 2()2lnln0YFPXyPyly当 时222 01()2lnlnyeyYFPXyPyXePdx对 求关于 y 的导数，得到 ()Y 221()()0yyYeflnly（2 ），当 y1或 -时 ()cos0YFyPXyP,当 时 arcos1arY ydx对 求关于 y 的导数，得到()YF211(arcos)()0Yfyy1y其 它- 17 -
16、（3 ） 当 y1或 0时 ()sin0YFyPXyP， 0当 时 arcsin0arcsin()0arcsinarcsin11YyyFPXPyPyXdxdx 对 求关于 y 的导数，得到()Y21arcsin(arcsin)() 10Y yfy y 01其 它第三章 随机向量3.1 P1X 2,3Y 5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)F(2,3)= 31283.2YX1 22 0=2345c3=31245c0- 18 -3.4（1）a= 9（2 ） 5（3 ）1 11200 0(,)(6)(6)99|y yPXYDdxdyxd 12320 865)59 37|yy3.5 解：（ 1
17、） (2) 22200000(,) (|)|(1)yxyxuvvuvyuxyxFededee（2 ） (2)22000002232300() (|)11)(|)|x xxy vxyxx xxxPYXededyede3.6 解： 2 22 2 201()()(1)axya rPxy ddxy22 22 2001()()(1)|a addrra3.7 参见课本后面 P227 的答案3.8 311120003()(,) 2|X yxfxfydx222000()(,)|yff,()20Xxf其 它 23()Yyf1其 它- 19 -3.9 解： X 的边缘概率密度函数 为：()Xfx当 时， ，10x
18、或 ,0fyf12 22200 1()4.8(2)4.84.81()4.8(2).4().4()|Y yyx xXfxdxyfydyx或当 时，12200().8().().4()|x xXfdyxY 的边缘概率密度函数 为：Yfy 当 时， ，10y或 (,)0fx()Yfy 当 时，1 12 214.824.84.8|Y yyfxdxy22.4(3)y3.10 （1）参见课本后面 P227 的答案（2 ） 26()0xXdyf1其 它 6=0x（ -） 1x其 它6()0yYdxf1其 它 60y（ -） 1其 它3.11 参见课本后面 P228 的答案3.12 参见课本后面 P228 的
19、答案3.13（1）- 20 -20()()3Xxydfx01其 它 23x01x其 它120()()3Yxydfy02其 它 1=36y02其 它对于 时， ，2y()0Yfy所以 2| 3(,)1()60XYYxyfxyf1其 它 26+0xy1x其 它对于 时，01x()Xfx所以 2| 3(,)()0YXXxyfxyfy2其 它 360xy2其 它111222|000331 7|()2 5406YXyyPYfyddd3.14X Y 0 2 5 X 的边缘分布1 0.15 0.25 0.35 0.753 0.05 0.18 0.02 0.25Y 的边缘分布 0.2 0.43 0.37 1由
20、表格可知 PX=1;Y=2=0.25PX=1PY=2=0.3225- 21 -故 P;P yYxXyYxiiii 所以 X 与 Y 不独立3.15X Y 1 2 3 X 的边缘分布1 69118312 31a b +a+bY 的边缘分布 2a+ 91b+181由独立的条件 则P;P yYxXyYxiiii 22;XY3P3;PY1i可以列出方程 aba)9(3(1)83ba0,解得 91,2ba- 22 -3.16 解（1）在 3.8 中 ()20Xxf其 它 23()0Yyf1其 它当 ， 时，02x01y()XYfxy2(,)xfy当 或 时，当 或 时，0()XYf0,fx所以， X 与
21、 Y 之间相互独立。（2）在 3.9 中， 2.4()()0Xxf01x其 它2.4(3)()0Yyfy其 它当 ， 时，1xy()XYf2222.4().(34)5.76()34)xyxy=，所以 X 与 Y 之间不相互独立。,fxy3.17 解： xeyxefx ddyxf 02)1(),()( )(2021),()(fyxfyx),(1)(2yxfyxefx故 X 与 Y 相互独立3.18 参见课本后面 P228 的答案- 23 -第四章 数字特征4.1 解： ()1iEXxp0.9iYy甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同乙机床生产的零件的质量较好
22、。4.2 解： X 的所有可能取值为：3 ，4，53510.PC2354.X24350.6P().1.350.64iEXxp4.3 参见课本 230 页参考答案4.4 解： 1(),2,3.nPXp121 1() ()ninpEx 4.6 参考课本 230 页参考答案4.7 解：设途中遇到红灯次数为 X，则 (3,0.4)B()40.312EXnp4.8 解- 24 -xdfXE)()(xd)30(1301521502500+10001500 4.9 参见课本后面 230 页参考答案4.10 参见课本后面 231 页参考答案4.11 解:设均值为 ,方差为 ,则 XN( , )根据题意有 :2
23、2)96(1)96(XP)72)(1t%3.2,解得 t=2 即 =1297.0)(t所以成绩在 60 到 84 的概率为 )127-84X12-60P(84)XP(60-)1(2-0.84364.12 2222().1.01EX- 25 -2222(54)0.(514)0.3(54)0.(534)0.1EX4.13 解： 0000()()2 |xxxxxYEXedeede22330001() |XxxxEdee4.14 解： 34RV设球的直径为 X,则： 1()0fxbaxb其 它333 424()112()()=()66|b baaXEVExdxba4.15 参看课本后面 231 页答案
24、4.16 解:xyfdyxfxx 41302),()( ydfyy 322, 54)()(10xxXE31043 dyydYf 10310310 2122),()( xxyxy dyfXE3)()(05224df 521022 yyfEY- 26 -156)()( 222YXEE4.17 解X 与 Y 相互独立， 1 153500 52()()2()()|y yEXxdexde5552()433|yye4.18，4.19，4.20 参看课本后面 231，232 页答案4.21 设 X 表示 10 颗骰子出现的点数之和， 表示第 颗骰子出现的点数，iX(1,20) i则 ，且 是10ii1210
25、,独立同分布的，又 12()66iEX所以1010()()35iiii4.22 参看课本后面 232 页答案4.23 2222()0.41.301EX222()D2222()0.31.50.31.EY222().9.4EY4.24 4 242224430201111()()63|Xxdxdxx22()3DE- 27 -4.25 1()40Xxydfx1x其 它 =201x其 它112222()(VarEXxdx11323|xx1()40Yydfy其 它 =201y其 它112222()()VarEYydy11323|yy4.26 因为 XN(0,4),YU(0,4)所以有 Var(X)=4 V
26、ar(Y)= 34故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+ =3416Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 2894.27 参看课本后面 232 页答案4.28 1212()()()n nXXXEZEEn 12()nn 12() ()()()nXXXDZDDn 22122 2()()()nEEn 后面 4 题不作详解- 28 -第五章 极限理5.3解：用 表示每包大米的重量，则 ,iX()10iEX2()0.1iDX102(,)(10,.)iiNn10 1012 (0,1)0.i i ii i iXXZ Nn1010910(9)( )iiiiPXP 10()()
27、()()102()10.9865.4 解：因为 服从区间0,10上的均匀分布，iV01()52iE210()iD20020111 0(),()(25,)1iiiiVNVN202020111() (0,)53iii iiiEZ NDV202011 510(105)(15)(5)()3ii VPPPVP- 29 -105()(0.387).435.5 解：方法 1：用 表示每个部件的情况，则 ，iX1,0iX正 常 工 作损 坏 (1,0.9)iXB,()0.9iEp()(1).9iDp10,0.,0.1)iiNnN 101010.9(0,1)3()i i ii i iXpXZ Nn101010
28、9850(85)(85)()3iii ii iPXPXP()(.923方法 2：用 X 表示 100 个部件中正常工作的部件数，则(10,.9)B).0Enp()(1)0.91DXnp,(1)9,XNN(0,)3(XZN0(,1)3(1npXZ9085(85)(85)()310.923XPP- 30 -5.6 略第六章样本与统计6.16.3.1 证明 :由 = +b 可得，对等式两边求和再除以 n 有nbanniiniiXY11)(由于 niiY1niiX1所以由 可得= =Ynbanii1Xa6.3.2 因为 Yniinii 2112)( bXainini 212)()2(2 221 XabXabnini niiini 122212niiai1222 )(
