1、高中选修-,高二数学备课组 任小勇,3.1.1 平均变化率,问题情境,某市2004年3月18日、4月18日、4月20日的最高气温分别为3.5、18.6、33.4,气温曲线如图所示:,问题1,哪一段时间气 温变化得更“大”？,问题2,哪一段时间气 温变化得更“快”？,t(d),20,30,34,2,10,20,30,A (1, 3.5),B (32, 18.6),0,C (34, 33.4),T (),2,10,以3月18日作为第一天，温度随时间变化的图象如左图.,问题1,问题2,图中哪一段图像更“陡峭”？,如何量化图像的“陡峭”程度？,问题1 你能用数学语言来解释BC段曲线的陡峭程度吗？,t(
2、d),20,30,34,2,10,20,30,A (1, 3.5),B (32, 18.6),0,C (34, 33.4),T (),2,10,化 曲 为 直,（1）仅考察 的大小，能否精确量化BC段陡峭的程度？,（2）还必须考察什么量？,（3）曲线上BC之间的一 段几乎成了直线，由此联 想到如何量化直线的倾斜 程度？,问题如果将上述气温曲线看成是函数y =f(x)的图象, 则函数y = f(x)在区间1，34上的平均变化率为,A,C,y=f(x),o,1,34,x,y,f(1),f(34),问题3在区间1,x1上的平均变化率为,o,1,34,x,y,A,C,y=f(x),x1,f(x1),f
3、(1),f(34),问题3 在区间x2，34上的平均变化率为,f(1),f(34),你能否归纳出 “函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率”的一般性定义吗？,一般地，函数 在区间上 的平均变化率为,建构数学理论,注意：不能脱离区间而言,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”,建构数学理论,(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的斜率.,（以直代曲思想）,（数形结合思想）,定义理解,问题解决 如图，请分别计算气温在区间1，32和区间32，34上的平均变化率.,o,1,32,34,t (d),T(),气温在区间1
4、，32 上的平均变化率约为0.5； 气温在区间 32，34上的平均变化率为7.4。,平均变化率的“大小”与图像的“陡峭”程度有什么关系？,思考:,变式探究,向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量y与水深x的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状( ),B,例 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后容器甲中水的体积V (t)=105-0.1t(单位:cm3）,平均变化率的绝对值越大,则变化越快.,（1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.,（2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.,数学应用,.负值代表了什么?,.哪个秒内变化快?,(1)求函数的增量y=f(x2)-f(
5、x1)； (2)计算平均变化率 .,题后反思,求函数的平均变化率的步骤:,例2 已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：,（1）1，3； （2）1，2； （3）1，1.1； （4）1，1.001.,4,3,2.1,2.001,（5）0.9，1； （6）0.99，1； （7）0.999，1.,变题:,1.99,1.9,1.999,课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？,数学应用,例3 已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算在区间-3，-1，0，5上 f(x)及g(x) 的平均变化率.,数学应用,思考:一次函数y=kx+b在区间m,n上的平均变化率有什么特点？,1.平均变化率的定义：,这节课我的收获是什么？,2.平均变化率的意义:,3.求平均变化率的步骤：,4.思想方法：,大量生活中的实例,建立数学模型,数学应用,数学因运用而美丽!,祝同学们学习进步！,谢谢各位老师！ 再见！,
