1、 习题1 2.设一个工人生产了4个零件，Ai表示事件“他生产的第i个零件是正品” (i=1，2，3，4)，试用诸Ai表示下列事件： （1）没有一个产品是次品； （2）至少有一个产品是次品； （3）只有一个产品是次品； （4）至少有三个产品不是次品. 解：（1） 4321 AAAA （2） 4321 AAAA （3） 4321432143214321 AAAAAAAAAAAAAAAA （4） 43214321432143214321 AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 3.在房间里有10个人，分别佩载着从1号到10号的纪念章，任意选3人，记录其纪念章的号码. （1）求最小的号码为5的概率；
2、（2）求最大的号码为5的概率. 解：（1）设A表示“3人中最小号码为5”，则 , 251310 CkCn 083.0121)( 310251 CCnkAP . （2）设B表示“3人中最大号码为5”，则 , 241310 CkCn 05.0201310242 CCnkBP ）（ . 4.已知在10个晶体管中有2个次品，从中取2次，每次随机地取1只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）二只都是正品；（2）二只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品. 解： 622.045282102811 CCnkp ； 022.0451121022 Cnkp ； 356.0451621
3、0121833 CCCnkp ； 178.0458210121843 ACCnkp 。 6.将3个球随机放入4个杯子中去，求杯中球的最多个数为1的概率。 解： 8364244334 Pnkp 7. 从自然数1，2，100中随机取出一个，求“能被6整除或能被8整除”的概率. 解：设“能被6整除”用A表示，“能被8整除”用B表示， ,10016)( AP ,10012)( BP ,1004)( ABP .24.0100 41216)()()()( ABPBPAPBAP 8.从有8名男生、4名女生的小组中选出3个代表，求选出的代表中至少有一名女生的概率。 解：设选出的代表中没有一名女生表示为A，则
4、,5514)( 31238 CCAP .55411)(31238 CCAP 10设 ,5.0)(,1.0)(, BPAPBA 试求P(AB)，P( BA )，P( BA )。 解：P(AB)= P(A)=0.1； P( BA )=P(B)=0.5； P( BA )= 9.01.01)(1)( ABPABP 。 11.设事件A、B及AB的概率分别为p, q及r，求P(AB)，P( BA )，P( BA )。 解： ,)()()()( rqpBAPBPAPABP .)()()()( qrABPAPABAPBAP .1)(1)(1)( rBAPBAPBAP 12.已知P(A)=0.7; P( BA
5、)=0.3，试求P(AB)。 解：由 )(7.0)()()()( ABPABPAPABAPBAP 得 4.03.07.0)( ABP ，从而P( AB)=10.4 = 0.6。 注意：教材上题目印刷错误 13.盒中有10小球，其中有4个是红色，从中任取两球，已知取出的两球至少有一个是红色，求另一球也是红色的概率。 解：设取出的两球至少有一个是红色用A表示，则 324564524)()()(21024210161421 CCCCCAPAPAP ， 故 2.0513/215/2)( )()( 22 AP APAAP 为所求。 14.设30件产品中有3件次品，现逐个检查，试求查完20个产品时正好查出
6、3件次品的概率。 解：由题意知第20件产品为次品，前面19件产品中17件为正品2件为次品，故所求概率为 406017121302018273203!20!19!191030102720302317272030231727 CCCCCPCCP 15设A、B相互独立，P（AB）=0.6，P（A）=0.4，求P（B）. 解： )()()()( ABPBPAPBAP )()()()( BPAPBPAP 故有 314.014.06.0)(1)()()( APAPBAPBP 16. 设P（A）0，P（B）0，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立. 证 若A、B互不相容，即 AB ，则P（AB）0
7、. 而P(A)0，P(B)0，所以 P(A)P(B)0，从而P(AB)P(A) P(B)，即A、B不独立。 反过来，若A、B相互独立，则P(AB)P(A) P(B)0，从而P(AB)0，故AB. 17.加工某种零件需经过3道工序，各道工序的次品率分别为1%，4%，5%，假定各道工序互不影响，求加工后所得零件不是次品的概率。 解：设Ai表示经第i道工序加工是正品，则所求概率为 903.095.096.099.0)()()()( 321321 APAPAPAAAPp 。 18.三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 0.5，0.6，0.7，问能将此密码译出的概率是多少？ 解 设三人各自译
8、出密码分别用 A、B、C 表示，则密码被译出可表示为CBA ，从而 )()()()()()()()( ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP )()()()()()()()()()()()( CPBPAPCPBPCPAPBPAPBPBPAP 7.06.05.07.06.07.05.06.05.07.06.05.0 =0.94 或者 94.006.013.04.05.01)()()()(1 CPBPAPCBAPp 。 19.甲、乙两人独立地向同一目标射击一次，他们的命中率分别为0.5和0.4，求已知目标被命中的条件下甲命中的概率是多少？ 解：设甲、乙命中目标分别用A、B表示，目标被命中用
9、C表示，则 7.02.04.05.0)()()()()( ABPBPAPBAPCP 757.05.0)()()( CPACPCAP 注：若求已知目标被命中的条件下仅由甲命中的概率是多少，则为 737.06.05.0)()()( CPCBAPCBAP 21某车间有5台车床，每台车床由于种种原因，时常需要停车，设各台车床停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为1/3，试分别求在任一时刻车间里有0，3，5台车床处于停车状态的概率. 解：此题为5重伯努利概型。 22.设甲、乙两个篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.6，现每人投篮三次，试求：（1）两人进球数相等的概率。（2）甲
10、比乙进球数多的概率。 解：设甲、乙两人的进球数分别为x和y，则 （1） 321.06.07.04.06.03.07.04.06.03.07.04.03.0)( 3322322321321333 CCCCYXP（2） 436.0)4.06.04.06.04.0(7.0)4.06.04.0(3.07.04.03.07.0)(2232133321332233213CCCCCYXP23一商店出售的某种型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的 50%，另两家工厂的产品各占 25%，已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.90、0.80、0.70，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率。
11、解：设A表示随意取出一只晶体管是合格品，Bi（i=1,2,3）分别表示取出的产品由甲、乙、丙厂家生产，则由全概率公式有 8.07.025.08.05.09.025.0)()()(31iii BAPBPAP 24.设一枚深水炸弹击沉潜艇的概率为 ,31 击伤的概率为21，击不中的概率为61，若潜水艇击伤两次也将导致其下沉，试求施放4枚深水炸弹能击沉潜艇的概率。 25.有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是 121,31,41 ，而乘飞机不会迟到，结果他迟到了，试求他是乘火车来的概率为多少？ 解：设
12、4321 , BBBB 分别表示乘火车、轮船、汽车、飞机来，A表示迟到，则由贝叶斯公式 41111)()()()()(iii BAPBPBAPBPABP .2112/11.03/12.04/13.04/13.0 26.炮战中，在距目标250米、200米、150米处射击的概率分别为0.1，0.7，0.2，而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05，0.1，0.2，现在已知目标被击中，求击中目标的炮弹是由250米处射出的概率. 解：设 321 , BBB 分别表示自250米，200米，150米处射击，A表示命中目标，由贝叶斯公式 )( )()()( 111 AP BAPBPABP 3111)()(
13、)()(iii BAPBPBAPBP .2312.02.01.07.005.01.0 05.01.0 27设有来自三个地区的各10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。 （1）求先抽到的一份是女生表的概率p。 （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。 解：设 321 , BBB 分别表示报名表来自三个地区。 （1）设A1表示先抽到的一份是女生表，则 ;9029255311573110331)()()(3111 iii BAPBPAPp （2）设 2A 表示抽到的第二份是男生表，则所求概率为 )
14、()()(22121 APAAPAAPq 而 )( 2AP ;90612520311583110731)()(312 iii BAPBP )( 21AAP ;92313131)()( 22512015215181721017133121 PCCPCCPCCBAAPBPiii 故 612090/61 9/2)( )()(22121 APAAPAAPq 28袋中放有a个白球和b个黑球，随机取出一个，然后放回，并同时再放进与取出的球颜色相同的球c个，再取第二个球，这样连续取3次，求取出的3个球中头两个是黑球，第三个是白球的概率. 解：设“第i次取出的是黑球”用Ai表示，i=1,2,3，则取出三个球中
15、头两个是黑球第三个是白球可表示为 321 AAA ，因此 )()()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP cba bcba caba a 2 29.甲袋中有a个白球、b个黑球，乙袋中有个白球、个黑球，某人从甲袋中任取两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两个全是白球的概率是多少？ 解：设A1表示“从甲袋中取出2只白球”，A2表示“从甲袋中取出1只白球、1只黑球”，A3表示“从甲袋中取出2只黑球”，B表示“从乙袋中取出2只白球”，则 321 AAA ，由全概率公式有 )()()()()()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP 22222222121
16、1222222CCCCCCCCCCCCC ababbababaa 30.某工厂生产的产品以100件为一批，抽样检查时，从每批中任取10件来检查，如发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每批中次品最多不超过4件，且次品从0到4是等可能的，求一批产品通过检查的概率。 解：Bi（i=0，1,2,3，4）分别表示这批100件产品中有i件次品，A表示产品通过检查，则 1)( 0 BAP ， 9724587178)(;245178)(;11089)(;9.0)(1010010964101001097310100109821010010991CCBAPCCBAPCCBAPCCBAP有全概率公式 81
17、8.0)(2.0)()()(4040 iiiii BAPBAPBPAP 31设一批产品共 100 件，其中 4 件次品，其余皆为正品。现从中任取 3件来检查，如发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。但检查时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01，求这批产品经检查后被认为是合格的概率。 解：设Bi分别表示从100件产品中任取3件，其中有i（i=0，1,2,3）件次品，A表示这批产品被认为合格，则 3,2,1,0,)( 31003964 iCCCBPiii 310034331001962423100296131003960 )(;)(;4)(;)(CCBPCCCBPCCBPCCBP 33222130 01.0)(;01.095.0)(;01.095.0)(;95.0)( BAPBAPBAPBAP 有全概率公式 30)()()(iii BAPBPAP 0.7586
