1、1概率论第一章 随机事件及其概率 .1第二章 随机变量及其概率分布 6第三章 多维随机变量及其概率分布 11第四章 随机变量的数字特征 .14第五章 大数定律与中心极限定理 19第六章 统计量及其抽样分布 .21第七章 参数估计 .24第八章 假设检验 .272第四章 随机变量的数字特征1单个随机变量的期望 为 连 续 型为 离 散 型XdxfPEXii,)(例 1 设 ，则 413021EX例 2 设 X 的分布密度为 ，则其 他,02)(xxf 101010322)()( xdxdxf2单个随机变量函数的期望设 X 为随机变量， 是普通函数，则 是随机变量，且)(xgy()YgX*(),(
2、) ()iiixpXEgfdfx当 为 离 散 型当 为 连 续 型 ， 且 具 有 密 度例 3 设 X 的分布如例 1，求 的期望3)(Xg解： 4251402)(33E例 4 设 X 的分布密度 如例 2，求 的期望)(xf Xg)(解： 10102/3)()( dxxdfE 54231102/5当 （其中 ）时， ，即为 X 的方差2)()xgEXDXEg)()3dxfxXPEXDXi i)()( 222 例 4 设则 ，021)(EX 021EY)(22XD（方差大者，取值分散）1)()10(2Y注： 是重要常用公式2EX例 5 设随机变量 X 具有概率密度 ，求 DX其 他,011
3、,)(xxf解：因 是分段函数，故求 时也要随之分段积分)(xf 2,EX 0110)()(dxdxdfEX2222 61)(x于是 6EXD3 函数的期望),(YX设 是普通函数，则 是随机变量，其数学期望 EZ 等于,yxgZ),(YgZ ),(),(),(, ),(),(,),( yxfXdxyfyx YXPyxgPEijijii jiji 密 度为 连 续 型 ， 且 具 有 分 布当 为 离 散 型当例 6 设 分布律为 ，),(YX XYgZ),(4则 61)1()1()0()10()() PPPXYE例 设 的分布密度 ，则),( 其 他,2),( xyxyxfdfXYEg)(,
4、 10101002)(2x xx dyydy101043当 时，其中 ，则)(),(21yxyg EYX21,是 X，Y 的协方差，即XEY)(),(21Cov（重点）)(当 时，其中21),(yxyg 22121, DYXEYX*为 X，Y 的相关系数2121 12()()(,)(,)XYCovEY 期望 的重要性质（1） （常数）cC（2） EX)(（3） )(YY推广： cbacba)(（4）若 X，Y 相互独立，则 ()EX方差 的重要性质)(D（1） 0c，其中 c 为常数X)(5（2） DXc2)(特别 （3）若 X，Y 相互独立，则 DYX)(bab22)(（4） ,2)( YX
5、CovDXY例 设 X，Y 相互独立，且 ，则4,37)(Y91)(3422DXD协方差 的运算性质：),(Cov（1） ),(Yv（2） ，其中 a，b 为常数aboX)(,（3） Y),Cov(),(Co2121 （4）若 X，Y 相互独立，则 ，从而 ，即 X 与 Y 不相关0P注：一般地，若 X，Y 独立，则 X，Y 必不相关（即 ） ；反之不真，即 X，Y 不相关推不出0)ov(,X，Y 独立。重要特例是：若 为正态分布，则 X，Y 独立等价于 X，Y 不相关（即 ）),( P例 设 的分布律为 ，求),(Y xyPYXCovDE),(,解：易知故 ， , 2143)1(,2431)
6、( EYEX 12EX12EY6，43)21()(22EXD43)21(DY1,( YCov*,)0.25137XYD例 设 ，则 *),()2,941,(N12(,)3CovXY例 设 为连续型，则 X 与 Y 不相关的充分必要条件是_（选择题）),(YX（A）X，Y 独立 （B） （C）EYE)( EYX)(（D） ),( 0,(212N解法 1（排除法）：排除（A） ，因 X，Y 独立 不相关（故非充要条件） ；排除（B） ，这一等式成立不需任何条件；排除（D） ，由 服从正态分布及 知 X，Y 独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论 故),(P 选（C）解法 2（直接证明）：当
7、时， ，故 X，Y 不相关；反之亦然。 EY)( 0E-()Cov(, 7第五章 大数定律与中心极限定理1贝努利大数定律贝努利大数定律：设 ， 为 A 在 n 次观测中发生的频率，则对任给的正数 有P)( 1)(limPnA2中心极限定理设 相互独立，同分布，从而它们有相同的期望 和相同的方差,21X2，其中 为标准正态分布函数)(lim1xnPnii )(x注：中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似正态分布，即当 n 很大时 近似某正态分布niiX1，为了便于查表近似计算，将 标准化（从而标准化后其近似分布 ）),(2NniiX1 ),0(NnXDEniiniininiii 1111故上
8、述随机变量的分布函数 ，即)(xFn)(1xnXPnii 在应用中心极限定理，大多用上式的形式更进一步的特别场合为：若 相互独立同 分布时，上式化为,21X),1(B8)1()(1 pqxnpqXPnii 这一式子在应用也较为常用例 1 计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互独立的随机变量 ，且都服从 ，求,21X)5.0,(300 个数相加的误差总和的绝对值小于 10 的概率。解：易知第 i 个加数的误差 满足： ， ，故iXi )5.0,(,0iiDEn 301301 251iiiiDX故所 954.01)2(123030301 iiii XPP9第六章 统计量及其抽样分布1设总体 X)
9、(,xfF则其样本 相互独立，同分布 ，n 为样本容量n21 )(xF从而 ),(21nx i nin xFx1121 )(,( i nin ffxff1121 )()(),(例 1 设总体 X ，则 从而其样本的联合密度函数为),(2N2/)(2)(xexf),(1nx 2121 )(p1),( niinnf2常见统计量常见统计量：设总体为 X， 为其样本，nx,21 2,DXE不含任何未知参数的样本 的函数称为统计量),(（1）样本均值 ， ， ，这结论对任何总体都成立。nix1EnXD2进一步的，若总体 X ，则 ，从而 ),(2N),(2NnxU/)1,0(N（2）样本方差 ，niix
10、S122)( 21)(niixS，2E2n（3）若总体 X ，则有 与 相互独立，且),(2Nxs1021222 )()(niixsnx)1(n *nst/)(t（4）若总体 X 与总体 Y 相互独立， 与 分别为其样本，X ，Ynx,1 mY,1 ),(21N),(2，其中 ， ，则ni miii ySxS1 21221 )(,)( nix1miy1122)(0,)yUNn21/SF)1,(mF进一步的，若 ，则有21mnSyxtw)()(2)(nt其中 2)1()(12S3.关于 分布的密度曲线及分位数Ftx,2（1） 分布若 ，则 ，2x)(nnDxE2,2)(2nxP从而 1P11而
11、F 分布的密度曲线与上图相似。（2） 分布t若 ，则t)(n0EtPt 分布的密度曲线 关于 y 轴对称，故有)(xf )()(1ntt例 设总体 ， 是容量 n 的样本均值，求X)1,(U)(,xDE解：由总体 ，知 ， ，,0EX312D31,02故 ，0xEn/12例 设总体 X ， 为其样本，则),(2Nnx,21 212)1()(nxEnii证明： niix122)()( )1()(212nEnii即 221)()(xnii12第七章 参数估计1矩法估计：矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量设 X 为总体， ， ， 为其样本E2DXnx,21则 的矩估计 x的矩估计 2212
12、)(niixS例 1 设总体 ，其中 皆未知， 为其样本，求 的矩估计X),(2N2, nx,21 2,解：因为 ，故Ex，故2D2nS例 2 设总体 ， 未知，求 的矩估计X),0(U解：因为 ，故 （矩法方程） ，由此解得 ，即为 的矩估计Ex2x2例 3 设总体 ，其中 ，未知 为其样本，求 P 的矩估计),1(PB10n,21解：由 ，故 P 的矩估计EXx2极大似然估计设总体 X，具有概率密度函数 ， 其中 为未知参数，其变化范围为 ， 为其样本，);(xf H H nx,21则似然函数为 niixfL1);()(若存在 使 ，则称 为 的极大似然估计Lma),(L H L一般求法：
13、由题设，求出 的表达式niixf1);(13取对数： *1ln()l(;)niiLfx求导并令其等于 0，建立似然方程 *ln()0dL解之即得 的极大似然估计2例 4 设 是总体 X 的样本，总体概率密度为nx,21 )1(,0);()1( 其 他xxf求 的矩估计 和极大似然估计12解：（1）由 解得 为 之矩估计xdxEX1)1(1 1x（2）似然函数 ni niiniifL1 )(1)(1);()( *1ln()l()lniix解得 的极大似然估计niidL10llniix12l例 5 设总体 X ， ， 为其样本，求 的极大似然估计),0(Unx,21 解： 由于按常规方法建立的似然
14、方程无解，故用极大似然估计的定义解之设 nxnx,ma)(21欲使似然函数 达最大，取 即可niifL1);()(1 )(nx注 其 他,0,)(21nnx3估计量的评价标准（1）无偏性：若 ，则 为 的无偏估计E14（2）有效性：若 、 皆为 之无偏估计，且 D ，则称 较 有效12 2112（3）相合性：若 的估计量 满足 ， ，则称 为 之相合估计),(1nnxnElim0linDn4参数的区间估计设总体 ， 为其样本X),(2Nnx,21则 的置信度 的区间估计为（1） 已知时；2 2/2/,unxx（2） 未知时；)1(),1(22tsts（见书中 P.162 表）例 6 设总体 ，
15、且 ，则 的 0.95 置信区间为X),(2N21,4nx653.,7.196.412unx注请查看教材中正态总体参数的区间估计一览表15第八章 假设检验1 假设检验的基本思想：小概率事件在一次抽样中是几乎不可能发生的例 1 设总体 ，其中 未知， 为其样本X)1,(Nnx,21试在显著性水平 下检验假设；00:H01:这里， 即为小概率事件的概率，当 真时， 00:Hnxu/1/00)1,(N则 )(2/uP即事件 即为小概率事件，当它发生时，即认为原假设 不真，从而接受对立假设)(2/ 0H01:H2 两类错误以例 1 为例，上述 的取值完全由样本 所决定，由于样本的随机性，假设检验可能犯
16、以下两nxu/10nx,1类错误：第一类错误： （拒 真） ，也即检验的显著性水平P0H第二类错误： （接受 不真） （接受 真）P10H在样本容量 n 固定时， 相互制约，当减小 时， 的值会增大，反之亦然。, 163正态总体 参数的假设检验),(2N（1）首先要会判断所讨论问题是否为假设检验问题例 2 从一批灯泡中随机抽取 50 个，分别测得其寿命，算得其平均值 （小时） ，样本标准差190x（小时） ，问可否认为这批灯泡的平均寿命（ ）为 2000 小时。 490s 分析：本题中虽然没说总体（寿命）服从什么分布，但由于样本容量 ，可按正态总体处理， “可否认为平50n均寿命为 2000 小时”等价于作检验 20:0H（2）检验问题主要是对提出的假设检验确定出检验的拒绝域，这可参考指定教材第八章正态总体检验一览表。
