1、习题三1、 设 的分布律为(,)XY123698a求 。a解：由分布律的性质，得，即 ，1,0ijip1169839a，a解得， 。29注：考察分布律的完备性和非负性。2、设 的分布函数为 ，试用(,)XY(,)Fxy表示：Fxy(1) ；(2) ；Pabc0PYb(3) ,解：根据分布函数的定义 ，得X(1) ；,PaXbYcPbYc(,)()Fa(2)0,0(,)(0)Fb(3),PXaYPXYbPXaYb()(,)3、设二维随机变量 的分布函数为，分布律如下：,Fxy123440162630Y试求：(1) ；(2)13,42PXY；(3) ,(,)F解：由 的分布律，得(,)XY(1)1
2、3,042P1,21,3PPXY；546(2)12,34PXY1,P,2；016(3)(2,3),3FXY1,2PP。,1504641684、设 ， 为随机变量，且XY0,3/7,PXY4求 max(,)解 。(0)()50,7PXY注：此题关键在于理解 表max(,)0示 ，然后再根据概率的加法()()XY公式。5、 只取下列数值中的值：,，且相应概率(0)1(,/3)(2,0依次为 。请列出 的概5,6,)XY率分布表，并写出关于 的边缘分布解：（1）根据 的全部可能取值以(,及相应概率，得 的概率分布表为)1020653XY（2）根据 的边缘分布与联合分布的关系，得 1020657133
3、XPYjY所以， 的边缘分布为 0172kYp6、设随机向量 服从二维正态(,)XY分布 ，其概率密度函数2(0,1N为，201(,)xyfxye求 PXY解：由图形对称性，得，故 。12PXY注：本题的求解借助与图形的特点变得很简单，否则若根据概率密度函数的性质 3 进行求解会相对复杂些。7、设随机变量 的概率密度为(,)XY602,4(,),其 它kxyyfxy，（1）确定常数 ；（2）求 ；1,3PXY（3）求 ；（4）求.5分析：利用(,)(,)(,),oGGDPXYfxydfxyd再化为累次积分，其中 (,)02,4oD解：（1）由概率密度函数的完备性，得 402(,)(6)8,fx
4、ydkxydk解得 。8k（2） ；131302(,)(,)(68PXYfydxd（3） 1.51.5402()(1.5,)(,)276;83PXYfxyddxyd（4） 。4240()(,)12683xyPXYfdyd8、已知 和 的联合密度为，,01(,)其 它cxyyf试求：（1）常数 ；（2） 和 的联合XY分布函数 (,)F解：（1）由概率密度函数的完备性，得 101(,)2fxydcxyd，解得 。4c（2） (,)(,)xyFfuv0101,041,04,1或xyyxyuvdxyuvd。2,0,1,或xyy9、设二维随机变量 的概率密(,)XY度为 4.8(2),01,(,)0,
5、其 它yxyxfx求边缘概率密度 ()Yf解： 124.8(2),01()(,)0,2.43,.0, 其 它其 它 yY xdyfyfxd10、设 在曲线 ， 所围成的区()X2yx域 内服从均匀分布，求联合概率密度和边缘G概率密度解：据题意知，区域 的面积为G，2106xGSdy由于 在区域 内服从均匀分布，(,)XY故 的概率密度函数为。1,()6,()(,)00其 它其 它GxyxySfxy，226,01()(,)6,01, 其 它其 它 xXdyfxfy。6,01()(,),6,01, 其 它其 它 yY dxyfyfx注：此题求解首先必须画出区域 的图形。G然后根据图形确定积分上下限
6、。11、二维随机变量 的分布律(,)XY为 017531Y（1）求 的边缘分布律；（2）Y， ；（30|PX1|0PX）判定 与 是否独立？解：（1）由边缘分布与联合分布的关系，知 01753701YjY所以， 的边缘分布律为0.73ip（2），0,|,0,17/1523PXYPY|PYX；0,1,0,17/3015PXYPXY（3）根据二维随机变量 的分布律(,)可知其边缘分布律 01753701PYjYPXi 由于 ，所0,PXY以 与 不独立。Y12、设随机变量 的概率密度为，|1(),2xfe问： 与 是否相互独立?X|解：【法一】任意给定 0a00()11(2)2axxaPXfdee
7、|00|()112axaxxafdede所以|00,|()2112axax aPXPXfdede ，因而,|PP与 不独立。X【法二】若 与 相互独立，则对任意|X，有a，,|aa而 ，即|，|PP所以， ，解得，|(1)0Xaa或 ，很显然这是不|0PXa1PXa成立的，故 与 不是相互独立的。|13、将某一医药公司 9 月份和 8 月份的青霉素制剂的订货单数分别记为与 。据以往积累的资料知， 和 的YY联合分布律为 51253450.6.010.273.5423060.5.10X(1)求边缘分布律；（2）求 8 月份的订单数为 51 时，9 月份订单数的条件分布律解：（1）由联合分布律与边
8、缘分布律的关系，得 51253450.6.0101827335422060.5.10.891XPYjYPXi （2） ,.651| ,51083PXYY，2,2|0.518PX，53,153|10.8PXYPXY，54,154|10.8PY，5,15|10.8XPXY8 月份的订单数为 51 时，9 月份订单数的条件分布律为 51253458181XYp14、已知 的分布律如表所(,)XY示，01248326XY求：（1）在 的条件下， 的条件1X分布律；（2）在 的条件下， 的2Y条件分布律解：根据联合分布律可得边缘分布律，如下： 012480381312674512XPYjYPXi （1）
9、 根据上表，可得（2） ，0,10|13PXYPXY，,1|1/3PY，2,2|110/3XPX所以，在 的条件下， 的条件分布律为Y120p（3） 根据上表，可得（4） ，,0|201/8PXYPY，2,11|0/8PXYPY，2,1/82|PX所以，在 的条件下， 的条件分布律为Y01Yp15、已知 的概率密度函数为(,)，3,(,)0,其 它xyxfy求：（1）边缘概率密度函数；（2）条件概率密度函数解：（1）；20()(,)313,01, 其 它其 它Xxffydx1 2()(,)3301(),01,其 它 其 它Yyffxydy；（2）当 时，x；|2(,)()31,0,0其 它 其
10、 它YXXfyfyyxx当 时，1y|2 2(,)()3,1,1(1)().00, 其 它其 它XYYfyfxxyy 注：此题求解时最好画出联合密度函数不为零时的区域，以便准确的确定自变量的取值或积分上下限。16、设 与 相互独立，其概率分布XY如表所示， 210243ip4i求 的联合概率分布，(,)XY， 1P0PY解：由于 与 相互独立，故对任意 ，有,ij，, ijXi所以， 的联合概率分布为()21021864683Y12,30,1,648PXYYPXY0101(,1/2,/)3).264PYY17、某旅客到达火车站的时间 均匀X分布在早上 7：558 ：00 ，而火车这段时间开出的
11、时间 的密度函数为Y，求此人能2(5),05)其 它Yyfy及时上火车的概率解：令 7：55 看作时刻 0，以分为单位，故，即 的概率密度函数为0,5XU，1,5()0其 它Xxfx而 与 相互独立，故 的联合概率密度XY(,)XY函数为，(,)25,05,1（ 其 它fxyfyx所以，此人能及时上火车的概率为。50(,)2(213yxxPYXfdy18、设 和 是两个相互独立的随机变量， ， (0,)XU(1/)Ye（1）求 与 的联合概率密度；（2）设有 的二次方程 ，求它a0a有实根的概率解：因为 ，所以(,)；1,0()Xxfother因为 ，所以 ，(1/2)Ye12,0()yYef
12、othr又 相互独立，所以,X（1）12()(),0,0XYyfxfyeothr（2）所求概率为 22211100()xxydeed2 2100012 ().xxeded19、设随机变量 与 都服从XY分布，且 与 相互独立，求(0,1)NXY的联合概率密度函数。Y解：据题意知，由于随机变量 与 都服从Y分布，所以 与 的概率密度函数分别(,)为， ，21()xXfe， ，2yYy又由于 与 相互独立，即，(,)()Xfxf故 的联合概率密度函数为 21(,)(),.xyYfyfye20、设随机变量 与 相互独立，且分别服从二项分布 与 ，(,)Bnp(,)m求证：XY证：据题意知， ，故 与
13、 的分布律(,)XBnp(,)YmpXY分别为，1,01,2AiniPCn，()jjm又由于 与 相互独立，故Y,12, ,0AXkPkPXYk0 0ki ii ii()0(1)1kinikimkinmiCpp0()kkikiknknniCp ， 。,12A21、设随机变量 和 相互独立，XY且都等可能地取 为值，求随机变量,3和 的联合maxUin,V分布解：由题意， 和 的分布律为XY123iYp可见 ，下求UV,PiVj（1）当 时，j0（2）当 时，i,1/9PXYXYii（3）当 时，ij,2/9VPjPji所以得到关于 ， 的联合分布律为U13920322、设(,)(,(,)|02,1XYUDxyy且 ，0,1XYU求 和 的联合概,2VUV率分布解：由题意 ，1,()(,)20xyDfyother1 100,()24xDPUVPXYYfxddy， 0,0P， 2 120 1(,),4yDPUVPXYXYfxyddx3 2/01,2(,),xPfy所以， 和 的联合概率分布为UV014223、设 的联合密度函数为(,)XY，求21xyfye的密度函数。2Z解： 2 2(),)xyzFPXYzfdxy当 时，0z2(0Zz当 时，
