1、1基本不等式及其应用1基本不等式 aba b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b 22ab (a，bR)； (2) 2(a，b 同号)ba ab(3)ab 2 (a，bR)； (4) 2(a，bR )(a b2 ) a2 b22 (a b2 )以上不等式等号成立的条件均为 ab.3算术平均数与几何平均数(1)设 a0， b0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 .a b2 ab(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项4利用基
2、本不等式求最值问题已知 x0，y 0，则(1)若 xys( 和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最大值 ；s24(2)若 xyp(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最小值 2 .p选择题：设 x0，y 0，且 xy18，则 xy 的最大值为( )A80 B77 C81 D82解析 x0，y0 ， ，即 xy( )281，当且仅当 xy9 时，(xy) max81x y2 xy x y22若正数 x，y 满足 4x29y 23xy30，则 xy 的最大值是( )A. B. C2 D.43 53 54解析 由 x 0，y 0，得 4x29y 23xy2(2x)(3y )3xy (当且
3、仅当 2x3y 时等号成立)，12xy3xy30，即 xy2，xy 的最大值为 2若 2x 2y1 ，则 xy 的取值范围是( )A0,2 B2,0 C 2，) D(，2解析 2 2 x2 y1，2 xy ，即 2xy 2 2 ，xy 22x y14若实数 x，y 满足 xy0，则 的最大值为( )xx y 2yx 2yA2 B2 C42 D422 2 2 2解析 1 1 1xx y 2yx 2y xx 2y 2yx yx yx 2y x2 4xy 2y2x2 3xy 2y2 xyx2 3xy 2y2 1xy 3 2yx42 ，当且仅当 ，即 x22y 2 时取等号13 22 2 xy 2yx
4、若函数 x (x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于( )f1x 2A1 B1 C3 D42 3解析 当 x2 时，x20，f(x )(x2) 22 24，当且仅当1x 2 x 2 1x 2x2 (x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x3，即 a31x 2已知 x，y(0，) ，2 x3 ( )y，若 (m0)的最小值为 3，则 m 等于( )12 1x myA2 B2 C3 D423解析 由 2x 3( )y 得 xy3， (xy)( ) (1m ) (1m2 )，(当且仅12 1x my 13 1x my 13 yx mxy 13 m当 时取等号)， (1m2 )3，
5、解得 m4yx mxy 13 m已知直线 ax byc10(b，c0)经过圆 x2y 22y50 的圆心，则 的最小值是( )4b 1cA9 B8 C4 D2解析 圆 x2 y22y50 化成标准方程，得 x2 (y1) 26，圆心为 C(0,1)直线 axbyc10 经过圆心 C，a0b1c 10，即 bc1 (bc )( ) 54b 1c 4b 1c 4cb bcb，c0， 2 4，当且仅当 时等号成立4cb bc 4cbbc 4cb bc由此可得 b2c ，且 bc1，即 b ，c 时， 取得最小值 923 13 4b 1c已知各项均为正数的等比数列a n满足 a7a 62a 5，若存在
6、两项 am，a n使得 4a 1，则 的aman1m 4n最小值为( )A. B. C. D.32 53 94 256解析 由各项均为正数的等比数列a n满足 a7a 62a 5，可得 a1q6a 1q52a 1q4，q 2q20，解得 q2 或 q1(舍去) 4a 1，q mn 216，2 mn2 2 4，mn6aman (mn)( ) (5 ) (52 )1m 4n 16 1m 4n 16 nm 4mn 16 nm4mn 32当且仅当 时，等号成立，故 的最小值等于nm 4mn 1m 4n 324在等差数列a n中，a n0，且 a1a 2a 1030，则 a5a6 的最大值是( )A3
7、B6 C9 D36解析 a 1a 2a 1030，5(a 1a 10)30，即a1a 10a 5a 66，a 5a 62 ，62 ，即 a5a69，当且仅当 a5a 6 时取等号，a5a6 a5a6a 5a6 的最大值为 9若实数 a，b 满足 ，则 ab 的最小值为( )1a 2b abA. B2 C2 D42 2解析 依题意知 a0，b0，则 2 ，当且仅当 ，即 b2a 时， “”成立1a 2b 2ab 22ab 1a 2b ， ，即 ab2 ，ab 的最小值为 21a 2b ab ab 22ab 2 2已知 a0，b0，a，b 的等比中项是 1，且 mb ，na ，则 mn 的最小值是
8、( )1a 1bA3 B4 C5 D6解析 由题意知：ab1，mb 2b，na 2a，m n2(ab)4 41a 1b ab若 a，b 都是正数，则 的最小值为( )(1 ba)(1 4ab)A7 B8 C9 D10解析 a，b 都是正数， 5 52 9，当且仅当 b2a0 时取等号(1 ba)(1 4ab) ba 4ab ba4ab已知 a0，b0，若不等式 恒成立，则 m 的最大值为( )3a 1b ma 3bA9 B12 C18 D245解析 由 ，得 m(a3b)( ) 63a 1b ma 3b 3a 1b 9ba ab又 62 612，m12，m 的最大值为 129ba ab 9已知
9、 a0，b0，ab ，则 的最小值为( )1a 1b 1a 2bA4 B2 C8 D162解析 由 a0，b0 ，a b ，得 ab1，则 2 2 .当且仅当 ，即1a 1b a bab 1a 2b 1a2b 2 1a 2ba ，b 时等号成立22 2已知 a0，b0，ab2 ，则 y 的最小值是( )1a 4bA. B4 C. D572 92解析 依题意，得 ( )(ab) 5( ) (52 ) ，1a 4b 121a 4b 12 ba 4ab 12 ba4ab 92当且仅当Error! 即 a ，b 时取等号，即 的最小值是23 43 1a 4b 92若 log4(3a4b) log 2
10、，则 ab 的最小值是( )abA62 B72 C64 D743 3 3 3解析 由题意得Error! Error!又 log4(3a4b) log 2 ，log 4(3a4b)log 4ab，3a4bab，故 1.ab4a 3bab(ab)( )7 72 74 ，当且仅当 时取等号4a 3b 3ab 4ba 3ab4ba 3 3ab 4ba6若正数 a，b 满足 1，则 的最小值是( )1a 1b 1a 1 9b 1A1 B6 C9 D16解析 正数 a，b 满足 1，b 0，解得 a1，同理可得 b1， 1a 1b aa 1 1a 1 9b 1 1a 1 9(a1) 2 6，当且仅当 9(
11、a1)，即 a 时等号成立，9aa 1 1 1a 1 1a 19a 1 1a 1 43最小值为 6设 lnx,0ab，若 pf( )，qf ，r (f(a)f (b)，则下列关系式中正确的是( )fxab (a b2 ) 12Aqrp Bqrp Cpr q Dpr q解析 0ab， ，a b2 ab又f(x) lnx 在(0，)上为增函数，故 f f ( )，即 qp.(a b2 ) ab又 r (f(a) f(b) (lnalnb) lna lnbln(ab) f( )p，故 pr q12 12 12 12 12 ab已知函数 x (p 为常数，且 p0)，若 f(x)在(1，)上的最小值为
12、 4，则实数 p 的值为( )fpx 1A1 B2 C. D.94 74解析 由题意得 x10 ，f(x)x1 12 1，当且仅当 x 1 时取等号，px 1 p pf(x)在(1 ， ) 上的最小值为 4，2 14，解得 pp94填空题：已知 x，yR ，且 x4y1，则 xy 的最大值为_7解析 1x 4y2 4 ，xy( )2 ，当且仅当 x4y ，即Error!时，( xy)max4xy xy14 116 12 116已知实数 m，n 满足 mn0，mn1，则 的最大值为_1m 1n解析 mn0，mn 1，m0，则 f(x)4x2 (54x )3231.54 14x 5 15 4x当且
13、仅当 54x ，即 x1 时，等号成立故 f(x)4x2 的最大值为 115 4x 14x 5函数 y (x1)的最小值为_x2 2x 1解析 y ( x1) 22 2x2 2x 1 x2 2x 1 2x 2 3x 1 x 12 2x 1 3x 1 3x 1 3当且仅当(x1) ，即 x 1 时，等号成立3x 1 3函数 y 的最大值为_x 1x 3 x 1解析 令 t 0，则 xt 21，y x 1tt2 1 3 t tt2 t 4当 t0，即 x1 时，y 0；当 t0，即 x1 时，y ，1t 4t 18t 2 4(当且仅当 t2 时取等号)，y ，即 y 的最大值为 (当 t2，即 x
14、5 时4t 4 1t 4t 1 15 15y 取得最大值 )若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是_解析 由 x 3y5xy 可得 1，3x4y(3x4y )( ) 515y 35x 15y 35x 95 45 3x5y 12y5x 135 125已知 x0，y 0，x 3yxy9，则 x3y 的最小值为 _解析 由已知得 x ，x0，y0 ，y g(3)，g(x )min ，(x )3 ，a ，故 a 的取值范围是 ，)173 8x 83 83 83已知 x0，y 0，且 1，则 xy 的最小值是_1x 2y解析 x0，y0 ，x y (xy)( )3 32 (当且仅当
15、 y x 时取等号)，1x 2y yx 2xy 2 29当 x 1，y 2 时，(x y) min322 2 2函数 y12 x (x0，则 取最小值时，a 的值为_12|a| |a|b解析 ab2， 2 1，12|a| |a|b 24|a| |a|b a b4|a| |a|b a4|a| b4|a| |a|b a4|a| b4|a| |a|b a4|a|当且仅当 时等号成立b4|a| |a|b又 ab2，b0，当 b2a，a2 时， 取得最小值12|a| |a|b若当 x3 时，不等式 ax 恒成立，则 a 的取值范围是_2x 3解析 设 f(x)x (x3) 3，2x 3 2x 3x3，所
16、以 x30 ，故 f(x)2 32 3，x 3 2x 3 2当且仅当 x 3 时等号成立，a 的取值范围是(，2 32 2若对于任意 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围是_xx2 3x 110解析 ，x0，x 2(当且仅当 x1 时取等号)，xx2 3x 1 13 x 1x 1x则 ，即 的最大值为 ，故 a .13 x 1x 13 2 15 xx2 3x 1 15 15解答题：已知 x0，y 0，且 2x5y 20.(1)求 ulgxlgy 的最大值；(2)求 的最小值1x 1y解 (1)x0，y0，由基本不等式，得 2x5y2 .10xy2x5y20，2 20，xy 10，10xy当且
17、仅当 2x 5y 时，等号成立因此有 Error!解得 Error!此时 xy 有最大值 10.ulgxlgy lg(xy) lg10 1，当 x5，y2 时，ulg xlgy 有最大值 1.(2)x0，y0， ，1x 1y (1x 1y)2x 5y20 120(7 5yx 2xy) 120(7 2 5yx2xy) 7 21020当且仅当 时，等号成立由 Error!解得Error!5yx 2xy 的最小值为1x 1y 7 21020专项能力提升设 x，y 均为正实数，且 1，则 xy 的最小值为( )32 x 32 yA4 B4 C9 D163解析 由 1 得 xy8xy ，32 x 32
18、yx，y 均为正实数，xy8xy 82 (当且仅当 xy 时等号成立)，xy11即 xy2 80，解得 4，即 xy16，xy 的最小值为 16xy xy设正实数 x， y，z 满足 x23xy 4y 2z0，则当 取得最大值时， 的最大值为( )xyz 2x 1y 2zA0 B1 C. D394解析 由已知得 zx 23xy 4y 2，(*)则 1，当且仅当 x2y 时取等号，xyz xyx2 3xy 4y2 1xy 4yx 3把 x2y 代入(*)式，得 z2y 2， 2112x 1y 2z 1y 1y 1y2 (1y 1)已知 m0，a 1a20，则使得 |a ix2|(i1,2)恒成立
19、的 x 的取值范围是( )m2 1mA0， B0， C0， D0， 2a1 2a2 4a1 4a2解析 m 2(当且仅当 m1 时等号成立)，要使不等式恒成立，m2 1m 1m则 2|a ix2|(i1,2)恒成立，即2a ix22，0a ix4，a 1a20， Error!即 0x ，使不等式恒成立的 x 的取值范围是0， 4a1 4a1已知 x，yR 且满足 x22xy 4y 26，则 zx 2 4y2 的取值范围为_解析 2xy6(x 24y 2)，而 2xy ，6(x 24y 2) ，x2 4y22 x2 4y22x 24y 24(当且仅当 x2y 时取等号)又(x2y) 262xy0
20、 ，即 2xy6，zx 24y 262xy12(当且仅当 x2y 时取等号)综上可知 4x 24y 212设 a0，b0，若 是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为_31a 1b12解析 由题意知 3a3b3，即 3ab 3，ab1，a0，b0， (ab)2 22 4，当且仅当 ab 时，等号成立1a 1b (1a 1b) ba ab baab 12点(a， b)为第一象限内的点，且在圆(x 1) 2(y 1)28 上，则 ab 的最大值为_解析 由题意知 a0，b0，且(a1) 2(b1) 2 8，化简得 a2b 22(ab)6，则62ab4 (当且仅当 ab 时取等号)，令 t (t0)，则 t22t30，解得 0t1，则ab ab0ab 1， ab 的最大值为 1.正数 a，b 满足 1，若不等式 abx 24x 18m 对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值1a 9b范围是_解析 a0，b0， 1，ab(ab) 10 102 16，由题意，得1a 9b (1a 9b) ba 9ab 916x 24x18m，即 x24x2m 对任意实数 x 恒成立，而 x24x 2( x2)26，x 2 4x2 的最小值为 6，6m，即 m6.
