1、第7章 二次型,7.1 二次型及其表示方法 7.2 二次型的标准形 7.3 二次型的规范形与正定,第7章 二次型二次型的研究与解析几何中化二次曲面的方程为标准形的问题有着密切关系，其理论和丰富在数学及其它自然科学中都有着广泛应用。本章着重讨论实二次型的标准形及正定性问题，进而讨论二次型在化空间曲面的方程为标准形中的应用。,7.1 二次型及其标准形 7.1.1 二次型及其矩阵表示 在平面解析几何中，二次方程 表示一条二次曲线，为了能够知道此二次曲线的形状，我们可以选择适当的旋转角，作坐标变换 可将方程化为 由a,b的符号能够很快判断出此二次曲线的形状。 上述的二次方程的左端是一个二次齐次多项式。
2、从代数学的角度看，就是通过一个可逆线性变换将一个二次齐次多项式化成只含平方和的多项式。这样的问题，在许多理论与实际中会常常遇到。现在我们就此展开讨论。,定义7.1 n元二次齐次多项式称为n元二次型，简称为二次型。 如果二次型中的系数aij都是实数，就称为实二次型，如果所有系数都是复数，就称为复二次型。本章仅讨论实二次型。,(7.1),7.1.2 二次型的表示方法 如果令aij=aji，则（7.1）可以表示成,（7.2）,令 ，则（7.2）可以表示成。（7.3）称为二次型的矩阵表示。,（7.3）,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一
3、地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 对称矩阵A称为二次型f的矩阵; f称为对称矩阵A的二次型； 对称矩阵A的秩称为二次型f的秩。,例7.1 求下列二次型的矩阵。解 所求的矩阵为,例7.2 求下列对称矩阵A所对应的二次型。其中解 所对应的二次型为,7.1.3 二次型的线性变换 对于n元二次型 ，变换称为由变量x1,x2,xn到y1,y2,yn的线性变换。称为线性变换的系数矩阵.,（7.4）,如果令则线性变换可以表示为X=CY （7. 5）当线性变换的系数矩阵C可逆，则称为可逆线性变换 或者非奇异的线性变换。 如果是C正交矩阵，则称为正交线性变换，简称为 正交变换。 显
4、然：可逆线性替换的逆变换及乘积仍是 可逆的线性替换。,设二次型经过可逆线性替换X=CY后得到其中 ，则B也是对称矩阵。这表明二次型经过可逆线性替换后仍变为二次型，变换后的矩阵满足关系 。,7.1.4 矩阵的合同及其性质 定义7.2 设A,B是数域P上两个n阶矩阵，如果存在上n阶可逆矩阵C，使得 ，则称A,B是合同的，记作 。 矩阵的合同关系满足以下性质： 反身性：AA ； 对称性：如果AB,则BA ； 传递性：如果AB ,BC,则AC 。,显然，若A与B相似或合同，则A与B一定是等价的，反之不然。,若A与B是正交相似，则A与B一定合同，反之不然。,无论哪一种情况，都有 r(A)=r(B) 成立
5、。,7.2 二次型的标准形,7.2.1 二次型的标准形定义7.3 一个二次型经可逆变换X=CY化为如下的平方和称为二次型的标准形，其中非零项的个数是该二次型的秩。 我们的目的是给出化二次型为标准形的方法。,7.2.2 二次型化为标准形的方法1.配方法2.正交变换法3.合同变换法,定理7.1 数域P上任一n元二次型都可以经过 可逆线性替换化为标准形。,(1) 若二次型含有 的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,1.配方法,(2) 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次
6、型，然后再按(1)中方 法配方.,例7.4 用配方法化二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换矩阵C.,于是，所求的标准形为所用的可逆线性变换是,于是可逆矩阵 C是,解,由于所给二次型中无平方项，所以,例7.5,再配方，得,所用变换矩阵为,2.正交变换法(重要，要求熟练掌握）,定理7.2,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例7.6,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,4将1,2, 3单位化，,令X=QY化二次型为,得,例7.7 求一正交变换，将二次型,化为标准型，并指出 表示何种二次曲面,7.3 二次型的规范形与正定,一个实二次型，既可
7、以通过正交变换化为标 准形，也可以通过配方法化为标准形，显然，其 标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有非零 的项数是确定的，它等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实线性变换，来研究 实二次型的标准形所具有的性质,是正定二次型,不是正定二次型,7.3.2 正定二次型,例如,定义7.5,7.3.3 正定二次型的判别,定理7.6 实二次型f(X)=XT AX 为正定的充分必要条件是A的特征值全为正,证明,充分性,故,必要性,故,推论7.3 n元实二次型f(X)=XTAX正定的充要条件 是A与单位矩阵In合同。,解,它的各阶顺序主子式是,故上述二次型是正定的.,例7.8 确定的范围使下列二次型正定,解由 知,实二次型正定的充要条件,实二次型正定的必要条件,补充例7.2,(A-1)T=(AT)-1=A-1,A-1对称。,从而A*对称,（2）,所以A2实对称,补充例7.3,补充例7.4,
